ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای سایر قضایای منسوب به آگوستین-لوئی کوشی ، قضیه کوشی (ابهام زدایی) را ببینید .

ساختار جبری → نظریه گروه نظریه گروه
نشان دادن مفاهیم اولیه
پنهان شدن گروههای محدود طبقه بندی گروههای ساده محدود چرخه ای متناوب نوع دروغ پراکنده قضیه کوشی قضیه لاگرانژ قضایای سیلو قضیه هال گروه p گروه آبلیان ابتدایی گروه فروبنیوس ضرب Schur گروه متقارن S n چهار گروه کلاین V گروه Dhedral D n گروه کواترنیون Q گروه دو حلقه ای Dic n
نشان دادن گروههای مجزا شبکه های مشبک
نشان دادن گروه های توپولوژیک و دروغ
نشان دادن گروههای جبری
v t ه

در ریاضیات ، به طور خاص نظریه گروه ، قضیه کوشی آمده است که اگر G یک گروه متناهی و ص است عدد اول تقسیم سفارش از G (تعداد عناصر در G )، و سپس G شامل یک عنصر سفارش ص . که شده است، وجود دارد X در G به طوری که ص کوچکترین مثبت است عدد صحیح با X ص = E ، که در آن E است عنصر هویتاز G . نام آن از آگوستین-لوئیس کوشی گرفته شده است ، که آن را در سال 1845 کشف کرد. [1] [2]

قضیه به مربوط قضیه لاگرانژ ، که می گوید که منظور از هر زیرگروه از یک گروه محدود G منظور از تقسیم G . قضیه کوشی دلالت بر این دارد که برای هر مقسوم علیه p درجه اول G ، زیر گروهی از G وجود دارد که ترتیب آنها p است - گروه چرخه ای ایجاد شده توسط عنصر در قضیه کوشی.

قضیه کوشی است که توسط تعمیم قضیه اول Sylow را به ، که نشان میدهد که اگر P N قدرت حداکثر است ص تقسیم منظور از G ، سپس G است یک زیر گروه از سفارش ص N (و با استفاده از این واقعیت که یک ص -Group است قابل حل ، یک می تواند نشان دهد که G دارای زیرگروه هایی با ترتیب p r برای هر r کوچکتر یا مساوی n است ).

فهرست

• 1بیانیه و اثبات
  • 1.1اثبات 1
  • 1.2اثبات 2
• 2استفاده می کند
  • 2.1مثال 1
  • 2.2مثال 2
• 3یادداشت
• 4منابع
• 5لینک های خارجی

بیانیه و اثبات [ ویرایش ]

بسیاری از متون قضیه را با استفاده از استقراء قوی و معادله کلاس اثبات می کنند ، اگرچه برای اثبات قضیه در مورد ابلیان به طور قابل ملاحظه ای ماشین آلات کمتری نیاز است . همچنین می توان اقدامات گروهی را برای اثبات استناد کرد. [3]

قضیه کوشی  -  اجازه دهید G یک گروه محدود و p یک اول باشد. اگر P تقسیم سفارش از G ، سپس G یک عنصر سفارش ص .

اثبات 1 [ ویرایش ]

ما برای اولین بار اثبات مورد ویژه ای است که که در آن G است آبلی ، و سپس در حالت کلی؛ هر دو اثبات با القای n  = | G | ، و به عنوان حالت شروع n  =  p بی اهمیت است زیرا هر عنصر غیر هویتی اکنون دارای دستور p است . ابتدا فرض کنید G ابلیان است. نگاهی به هر غیر هویت عنصر ، و اجازه دهید H باشد گروه دوری آن را تولید. اگر p تقسیم شود | H | سپس a | H |/ p یک عنصر مرتب p است . اگرp تقسیم نمی شود | H | ، سپس مرتبه [ G : H ] گروه عامل G / H را تقسیم می کند ، بنابراین در فرضیه استقرایی یک عنصر مرتبه p وجود دارد. آن عنصر برای x در G کلاس xH است و اگر m به ترتیب x در G باشد ، x m  =  e در G می دهد ( xH ) m  =  eH در G / H ، بنابراینp تقسیم بر m ؛ همانطور که قبلاً x m / p در حال حاضر یک عنصر مرتبه p در G است ، اثبات مورد abelian را تکمیل می کند.

در حالت کلی، اجازه دهید Z شود مرکز از G است که زیر گروه آبلی. اگر p تقسیم شود | Z | ، سپس Z شامل یک عنصر مرتبه p در مورد گروههای abelian است ، و این عنصر برای G نیز کار می کند. بنابراین ممکن است فرض کنیم که p ترتیب Z را تقسیم نمی کند . از آنجا که p تقسیم می شود | G | و G اتحاد منفصل Z و از کلاسهای ترکیب از عناصر غیر مرکزی است ، یک کلاس مزدوج از یک عنصر غیر مرکزی وجود دارد aکه اندازه آنها با p تقسیم نمی شود . اما معادله کلاس نشان می دهد که اندازه [ G  : C G ( a )] است ، بنابراین p ترتیب متمرکز کننده C G ( a ) a را در G تقسیم می کند ، که زیر گروه مناسبی است زیرا a مرکزی نیست. این زیر گروه شامل یک عنصر مرتبه p با فرضیه استقرایی است ، و کار ما تمام شده است.

اثبات 2 [ ویرایش ]

در این اثبات از این واقعیت استفاده می شود که برای هرگونه عمل گروهی (حلقوی) از درجه اول p ، تنها اندازه های ممکن مدار 1 و p است که از قضیه تثبیت کننده مدار بی واسطه است .

مجموعه ای که گروه چرخه ای ما باید روی آن عمل کند مجموعه است

از p -چندین عنصر G که محصول (به ترتیب) هویت می دهد. چنین p -tuple به طور منحصر به فرد توسط تمام اجزای آن به جز آخرین مورد تعیین می شود ، زیرا آخرین عنصر باید معکوس حاصلضرب عناصر قبلی باشد. یکی همچنین می بیند که عناصر p - 1 را می توان آزادانه انتخاب کرد ، بنابراین X دارای | G | ص -1 عناصر است که توسط بخش پذیر ص .

در حال حاضر از این واقعیت که در یک گروه اگر ab = e سپس ba = e باشد ، نتیجه می شود که هرگونه تغییر چرخه ای اجزای یک عنصر X دوباره یک عنصر X می دهد . بنابراین می توان یک عملكرد گروه حلقوی C p به ترتیب p بر X را با جایگزینی های چرخه ای اجزاء تعریف كرد ، به عبارت دیگر كه ژنراتور منتخب C p ارسال می كند

به

همانطور که اشاره شد ، مدارهای X تحت این عمل اندازه 1 یا اندازه p دارند . اولین مورد دقیقاً برای آن دسته های چندگانه اتفاق می افتد برای کدام به با شمارش عناصر X بر مدار و کاهش مدول p ، می توان دریافت که تعداد عناصر راضی کننده استبر p بخش پذیر است اما x = e یکی از این عناصر است ، بنابراین باید حداقل p - 1 راه حل دیگر برای x وجود داشته باشد ، و این راه حل ها عناصر مرتبه p هستند . این اثبات را کامل می کند.

موارد استفاده [ ویرایش ]

یک نتیجه عملا فوری قضیه کوشی خصوصیات مفید از محدود است p-groups ، که در آن P اول است. به طور خاص، یک گروه محدود G است p -Group (یعنی تمام عناصر آن دارند سفارش ص ک برای برخی از عدد طبیعی K ) اگر و تنها اگر G است سفارش ص N برای برخی از عدد طبیعی N . یکی می تواند از حالت ابلی قضیه کوشی در اثبات استقرایی [4] اولین قضیه های سیلو استفاده کند ، مشابه اولین اثبات بالا ، اگرچه شواهدی نیز وجود دارد که از انجام این مورد خاص به طور جدا خودداری می کند.

مثال 1 [ ویرایش ]

اجازه دهید G یک گروه محدود است که در آن X 2 = E برای همه عناصر X از G . سپس G است سفارش 2 نفر برای بعضی از غیر عدد صحیح منفی N . بگذار | G | است متر . در مورد m 1 است ، سپس G = { e } . در مورد m ≥ 2 ، اگر m دارای ضریب اول فرد p باشد ، G دارای عنصر x است که در آن x p =e از قضیه کوشی با فرض در تعارض است. بنابراین m باید 2 n باشد. [5] G یک گروه abelian است و G یک گروه 2 گروه abelian ابتدایی یا گروه بولی نامیده می شود. مثال معروف Klein چهار گروهی است .

مثال 2 [ ویرایش ]

یک گروه ساده ابلی یا { e } یا گروه حلقوی C p است که ترتیب آنها عدد اول p است . اجازه دهید G یک گروه abelian باشد ، سپس همه زیرگروه های G زیر گروه های عادی هستند . بنابراین ، اگر G یک گروه ساده باشد ، G فقط زیرگروه معمولی دارد که یا { e } یا G است . اگر | G | = 1 ، و سپس G است { E } . مناسب است. اگر | G | ≥ 2، اجازه دهید a ∈ G e نباشد ، گروه حلقویزیر گروه G و استاست { E } ، پس از آن اجازه دهید n ترتیب باشدبه اگر n بی نهایت باشد ، پس

بنابراین در این مورد ، مناسب نیست. سپس n متناهی است. اگر n مرکب باشد ، n بر q اول که کمتر از n است تقسیم می شود . از قضیه کوشی ، زیرگروه H وجود خواهد داشت که ترتیب آن q است ، مناسب نیست. بنابراین ، n باید یک عدد اول باشد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_theorem_(group_theory)