در تجزیه و تحلیل عملکردی و زمینه های مربوط به ریاضیات ، یک فضای بردار توپولوژیکی یک فضای بردار توپولوژیکی (TVS) است با این ویژگی که هر زمان که نقاط به تدریج به یکدیگر نزدیک می شوند ، نقطه ای وجود داردایکسکه همه آنها به آن نزدیکتر می شوند مفهوم "نقاطی که به تدریج نزدیکتر می شوند" توسط شبکه های کوشی یا فیلترهای کوشی ، که تعمیم توالی های کوشی هستند ، دقیق می شود ، در حالی که "نقطهایکسکه همه آنها به آن نزدیک می شوند "به این معنی است که این شبکه یا فیلتر به آن همگرا می شودایکس. بر خلاف مفهوم کامل بودن برای فضاهای متریک ، که آن را عمومیت می بخشد ، مفهوم کامل بودن برای TVS ها به هیچ معیاری بستگی ندارد و برای همه TVS ها ، از جمله مواردی که قابل اندازه گیری یا هاسدورف نیستند ، تعریف شده است .

کامل بودن یک ویژگی فوق العاده مهم برای داشتن یک بردار توپولوژیکی است. مفاهیم کامل بودن برای فضاهای استاندارد و TVS های متریز ، که معمولاً بر حسب کامل بودن یک هنجار یا معیار خاص تعریف می شوند ، هر دو را می توان به این مفهوم کامل بودن TVS تقلیل داد. تصوری که مستقل از هر هنجار یا معیار خاصی باشد. یک فضای بردار توپولوژیکی متریزیس ایکسبا معیار متغیر ترجمه [یادداشت 1] د اگر و فقط اگر به عنوان TVS کامل است (X ، d)یک فضای متریک کامل است ، که طبق تعریف به این معنی است که هرد- دنباله کوشی به نقطه ای در همگرا می شودایکس. نمونه های برجسته TVS های کامل که قابل اندازه گیری هستند شامل تمام فضاهای F و در نتیجه همه فضاهای Fréchet ، فضاهای Banach و فضاهای Hilbert می شود . نمونه های برجسته TVS کامل که (معمولاً) قابل اندازه گیری نیستند شامل فضاهای LF سخت و بسیاری از فضاهای هسته ای مانند فضای شوارتز با عملکردهای صاف و سریع کاهش می یابد و همچنین فضاهای توزیع و توابع آزمایش.

به صراحت ، فضاهای بردار توپولوژیکی (TVS) کامل است اگر هر شبکه ، یا معادل آن ، هر فیلتر ، کوشی با توجه به یکنواختی متعارف فضا ، لزوماً در نقطه ای همگرا شود. به عبارت دیگر ، TVS کامل است اگر یکنواختی متعارف آن یکنواختی کامل باشد. یکنواختی متعارف در TVS(X ، \ tau)منحصر به فرد است [توجه داشته باشید 2] ترجمه ثابت یکنواختی است که باعث درایکس توپولوژی\ تاو این مفهوم "کامل بودن TVS" فقط به تفریق بردار و توپولوژی TVS بستگی دارد . در نتیجه ، می توان آن را برای همه TVS ها ، از جمله مواردی که توپولوژی آنها را نمی توان بر اساس معیارها یا شبه سنجی ها تعریف کرد ، اعمال کرد . اول قابل شمارش TVS اگر و تنها اگر هر دنباله کوشی (یا معادل هر کامل است ابتدایی فیلتر کوشی) همگرا به برخی از نقطه.

هر فضای بردار توپولوژیکی ایکس،حتی اگر قابل اندازه گیری یا Hausdorff نباشد ، دارای یک تکمیل است ، که طبق تعریف یک TVS کامل استج به کدام ایکسمی تواند به عنوان یک زیرزمین بردار متراکم TVS تعبیه شود . علاوه بر این ، هر TVS هاوسدورف دارای یک اتمام Hausdorff است ، که لزوماً تا ایزومورفیسم TVS منحصر به فرد است . با این حال، به عنوان زیر مورد بحث، تمام TVSS (حتی آنهایی که کامل، هاسدورف هستند، و / یا ناتهی یک مجموعه میگر) دارای بینهایت تکمیل غیر هاسدورف که نمی TVS-ریخت به یکدیگر است. فضای بردار متشکل از توابع ساده به ارزش مقیاس f برای کدام {\ displaystyle | f | _ {p} <\ infty}(جایی که این ناحیه ناسازگار با روش معمول از نظر ادغام Lebesgue تعریف می شود) هنگامی که دارای این ناهنجاری می شود ، تبدیل به یک فضای نیمه هشدار می شود ، که به نوبه خود آن را به یک فضای شبه سنجی و یک TVS غیر کامل غیر هوسدورف تبدیل می کند . هر از اتمام این فضای غیر هاسدورف فضای کامل seminormed که وقتی quotiented توسط بسته شدن منشاء آن (به طوری که برای به دست آوردن یک هاسدورف TVS ) نتایج در (فضای خطی ایزومتریک-ریخت به) معمول کامل هاسدورفL^{p}-فضا (دارای کامل معمولی است\ | \ cdot \ | _ {p} هنجار ) به عنوان مثال دیگری که مفید بودن تکمیل ها را نشان می دهد ، تکمیل محصولات تانسور توپولوژیکی ، مانند محصولات تانسور پیش بینی کننده یا محصولات تانسوری تزریقی ، در فضای Banach{\ displaystyle \ ell ^{1} (S)} با یک هاوسدورف کامل TVS محدب محلی Y نتیجه یک TVS کامل است که TVS-isomorphic به "عمومی" است {\ displaystyle \ ell ^{1} (S؛ Y)}-فضا شامل Yعملکردهای ارزش دار روشن س (جایی که این TVS "عمومی" به طور مشابه با فضای اصلی تعریف شده است {\ displaystyle \ ell ^{1} (S)} از توابع با ارزش مقیاس در س) به طور مشابه ، تکمیل محصول تانسور تزریقی فضایی با ارزش اسکالرC^{k}تست عملکرد با چنین TVSY TVS- ایزومورف با TVS تعریف شده مشابه است Y-ارزش C^{k} توابع آزمایش

 

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

مقالات اصلی: شبکه (ریاضیات) و فیلترها در توپولوژی

این بخش تعریف یک فضای بردار توپولوژیکی کامل (TVS) را از نظر شبکه و پیش فیلتر خلاصه می کند . اطلاعات مربوط به همگرایی شبکه ها و فیلترها ، مانند تعاریف و ویژگی ها ، در مقاله مربوط به فیلترهای توپولوژی یافت می شود .

هر فضای بردار توپولوژیکی (TVS) یک گروه توپولوژیکی عوض شده است که دارای هویت اضافی است و یکنواختی متعارف TVS کاملاً بر اساس تفریق (و در نتیجه جمع) تعریف می شود. ضرب اسکالر دخیل نیست و نیازی به ساختار اضافی نیست.

یکنواختی متعارف [ ویرایش ]

مورب ازایکساست خانواده [1] {\ displaystyle \ Delta _ {X}: = \ {(x، x): x \ in X \}.} برای هرچی {\ displaystyle N \ subseteq X ،} این همراهان متعارف /مجاورت متعارف در اطرافN مجموعه است

 

{\ displaystyle {\ begin {arrangementat} {4} \ Delta _ {X} (N): & = \ {(x، y) \ in X \ times X ~: ~ xy \ in N \} = \ bigcup _ {y \ in X} \ left [(y+N) \ times \ {y \} \ right] \\ & = \ Delta _ {X}+\ left (N \ times \ {0 \} \ right) \ پایان {alignat}}}کجا اگر {\ displaystyle 0 \ در N} سپس {\ displaystyle \ Delta _ {X} (N)} شامل مورب است {\ displaystyle \ Delta _ {X}: = \ {(x، x): x \ in X \} = \ Delta _ {X} (\ {0 \}).}

 

اگر Nیک مجموعه متقارن است (یعنی اگر{\ displaystyle -N = N})، سپس {\ displaystyle \ Delta _ {X} (N)}است متقارن ، که با استفاده تعریفی که{\ displaystyle \ left (\ Delta _ {X} (N) \ right)^{\ operatorname {op}}: = \ left \ {(y، x) :( x، y) \ in \ Delta _ {X } (N) \ right \} = \ Delta _ {X} (N)،}و علاوه بر این ، ترکیب این مجموعه متقارن با خود این است:

 

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ Delta _ {X} (N) \ circ \ Delta _ {X} (N): & = \ left \ {(x، z) \ in X \ times X ~: ~ {\ متن {وجود دارد}} y \ در X {\ text {به گونه ای که}} x ، z \ در y+N \ right \} = \ bigcup _ {y \ in X} [(y+N ) \ times (y+N)] \\ & = \ Delta _ {X}+(N \ times N). \ پایان {چینش}}}

 

اگر{\ mathcal {L}} هر محله ای در مبدا در است (X ، \ tau) سپس خانواده زیرمجموعه های X \ بار X :

 

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ mathcal {L}}: = \ left \ {\ Delta _ {X} (N): N \ in {\ mathcal {L}} \ right \}}یک پیش فیلتر روشن استX \ بار Xبه اگر{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (0)}است فیلتر محله در مبدا در(X ، \ tau) سپس {\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {{\ mathcal {N}} _ {\ tau} (0)}}تشکیل یک پایگاه از اطرافیان برای یک ساختار یکنواخت درایکسکه متعارف تلقی می شود [2] به صراحت، با این تعریف،یکنواختی شرعی درایکس ناشی از(X ، \ tau)[2] است فیلتر {\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {\ tau}} بر X \ بار X ایجاد شده توسط پیش فیلتر فوق :

 

{\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {\ tau}: = ~ {\ mathcal {B}} _ {{\ mathcal {N}} _ {\ tau} (0)}^{\ uparrow} : = ~ \ left \ {S \ subseteq X \ times X ~: ~ N \ in {\ mathcal {N}} _ {\ tau} (0) {\ text {and}} \ Delta _ {X} (N ) \ subseteq S \ right \}}جایی که {\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {{\ mathcal {N}} _ {\ tau} (0)}^{\ uparrow}}نشان دهنده بسته شدن به سمت بالا از{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {{\ mathcal {N}} _ {\ tau} (0)}} که درX \ بار Xبه اگر{\ mathcal {L}} هر محله ای در مبدا در است (X ، \ tau) سپس فیلتر روشن می شود X \ بار X ایجاد شده توسط پیش فیلتر {\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ mathcal {L}}} برابر با یکنواختی شرعی است {\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {\ tau}} ناشی از {\ displaystyle (X ، \ tau).}

 

شبکه کوشی [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: سری (ریاضی) و سری محدب

نظریه کلی فضاهای یکنواخت تعریف خاص خود را از "پیش فیلتر کوشی" و "شبکه کوشی" دارد. برای یکنواختی شرعی درایکس، این تعاریف به تعریفی که در زیر شرح داده می شود ، کاهش می یابد.

فرض کنید {\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}} یک شبکه در است ایکس و {\ displaystyle y _ {\ bullet} = \ left (y_ {j} \ right) _ {j \ in J}} یک شبکه در است Y. محصول من \ بار ج با اعلام یک مجموعه هدایت می شود{\ displaystyle (i، j) \ leq \ left (i_ {2} ، j_ {2} \ right)} اگر و تنها اگر {\ displaystyle i \ leq i_ {2}} و {\ displaystyle j \ leq j_ {2}.} سپس

{\ displaystyle x _ {\ bullet} \ times y _ {\ bullet}: = \ left (x_ {i}، y_ {j} \ right) _ {(i، j) \ in I \ times J}}نشان دهنده ( دکارتی )خالص کالا . اگر{\ displaystyle X = Y} سپس تصویر این شبکه تحت نقشه بردار جمع {\ displaystyle X \ بار X \ تا X} نشان می دهد مجموع این دو تور: [3]

 

{\ displaystyle x _ {\ bullet}+y _ {\ bullet}: = \ left (x_ {i}+y_ {j} \ right) _ {(i، j) \ in I \ times J}}و به طور مشابه آنها تفاوت به عنوان تصویر خالص محصول در زیر نقشه تفریق بردار تعریف شده است{\ displaystyle (x ، y) \ mapsto xy}:

 

{\ displaystyle x _ {\ bullet} -y _ {\ bullet}: = \ left (x_ {i} -y_ {j} \ right) _ {(i، j) \ in I \ times J}.}

 

یک شبکه {\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}} در TVS ایکساگر شبکه کوشی نامیده شود [4] اگر

 

{\ displaystyle \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) _ {(i، j) \ in I \ times I} \ to 0}که در ایکس یا معادل آن ، اگر برای هر محله باشد N از {\ displaystyle 0} که در ایکس، برخی وجود دارد {\ displaystyle i_ {0} \ در I} به طوری که {\ displaystyle x_ {i} -x_ {j} \ in N} برای همه{\ displaystyle i، j \ geq i_ {0}} با {\ displaystyle i، j \ in I.}دنباله کوشی یک شبکه کوشی است که یک دنباله است. کافی است به بررسی هر یک از این شرایط تعریف برای هر داده به صورت محله از{\ displaystyle 0} که در ایکس.

 

اجازه دهید {\ displaystyle S: X \ بار X \ تا X} نشان دهنده نقشه تفریق بردار است{\ displaystyle S (x ، y): = xy.} اگر {\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to x} سپس{\ displaystyle x _ {\ bullet} \ times x _ {\ bullet} \ به (x، x)} که در X \ بار X و بنابراین تداوم س تضمین می کند که {\ displaystyle S \ left (x _ {\ bullet} \ times x _ {\ bullet} \ right) = \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) _ {(i، j) \ in I \ times I} تا 0} که در ایکس (یعنی آن {\ displaystyle x _ {\ bullet}}کوشی است) همانطور که در زیر توضیح داده شده است ،ایکساگر متضاد این عبارت نیز همیشه صادق باشد ، کامل خوانده می شود. به این معنا که،ایکس کامل است اگر و فقط اگر در هر زمان {\ displaystyle x _ {\ bullet}} یک شبکه در است ایکس، سپس {\ displaystyle x _ {\ bullet}} همگرا در ایکس اگر و تنها اگر {\ displaystyle S \ left (x _ {\ bullet} \ times x _ {\ bullet} \ right) \ to 0} که در ایکس. ویژگی مشابهی در مورد فیلترها و پیش فیلترها وجود دارد.

یک سری {\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{\ infty} x_ {i}} a نامیده می شود سری کوشی (به ترتیب ، aسری همگرا ) اگر دنبالهجمع های جزئی باشد {\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} x_ {i} \ right) _ {n = 1}^{\ infty}}یک دنباله کوشی (به ترتیب ، یک دنباله همگرا ) است. [5] هر سری همگرا لزوماً یک سری کوشی است. در یک TVS کامل ، هر سریال کوشی لزوماً یک سری همگرا است.