در رشته ریاضی توپولوژی عمومی ، فشرده سازی Stone -chech (یا فشرده سازی chech -Stone [1] ) تکنیکی برای ساختن نقشه جهانی از یک مکان توپولوژیکی X به یک فضای فشرده Hausdorff βX است . فشرده سازی Stone – chech βX یک فضای توپولوژیکی X بزرگترین و عام ترین فضای جمع و جور هاسدورف است که توسط X ایجاد می شود ، به این معنا که هر نقشه پیوسته از X به یک فضای فشرده هاوسدورف از طریق βX (به روشی منحصر به فرد) فاکتور می گذارد . اگر Xیک فضای Tychonoff است ، سپس نقشه از X تا تصویر آن در βX یک هومومورفیسم است ، بنابراین X را می توان به عنوان یک زیرفضا (متراکم) βX در نظر گرفت . هر فضای هاسدورف فشرده دیگر که پر شامل X است خارج قسمت از βX . برای فضاهای توپولوژیکی عمومی X ، نقشه از X تا βX نیازی به تزریق ندارد.

برای اثبات این که هر فضای توپولوژیکی دارای فشرده سازی سنگ -فن است ، به نوعی از اصل انتخاب نیاز است. حتی برای فضاهای بسیار ساده X ، توصیف قابل دسترسی از βX اغلب مبهم است. به طور خاص ، اثبات عدم خالی بودن βX  \  X توصیف صریحی از نقطه خاصی در βX  \  X ارائه نمی دهد .

فشرده سازی Stone -chch به طور ضمنی در مقاله ای از آندری نیکلاویچ تایچنوف  ( 1930 ) رخ می دهد و صراحتا توسط مارشال استون  ( 1937 ) و ادوارد شچ  ( 1937 ) ارائه شده است.

 

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

آندری نیکولایویچ تیخونف در سال 1930 فضاهای کاملاً منظم را معرفی کرد تا از وضعیت آسیب شناختی فضاهای هاوسدورف جلوگیری کند که تنها عملکردهای پیوسته ارزش واقعی آنها نقشه های ثابت است. [2]

در همان مقاله 1930 که Tychonoff فضاهای کاملاً منظم را تعریف کرد ، او همچنین ثابت کرد که هر فضای Tychonoff (یعنی Hausdorff فضای کاملاً منظم) دارای فشرده سازی Hausdorff است (در همین مقاله ، او قضیه Tychonoff را نیز ثابت کرد ). در سال 1937 ، chech تکنیک Tychonoff را گسترش داد و نماد β X را برای این فشرده سازی معرفی کرد. استون همچنین β مقاله X را در مقاله ای در سال 1937 ساخت ، اگرچه از روشی بسیار متفاوت استفاده می کرد. علیرغم اینکه مقاله تایچنوف اولین اثر در زمینه فشرده سازی Stone -chech است و علیرغم اینکه مقاله Tychonoff توسط Stone و chech ارجاع داده شده است ، نام Tychonoff به ندرت با β X همراه است .[3]

ویژگی جهانی و کارکردی [ ویرایش ]

فشرده سازی Stone -chech از فضای توپولوژیکی X یک فضای فشرده Hausdorff βX به همراه یک نقشه پیوسته i X  : X → βX است که دارای ویژگی جهانی زیر است : هر نقشه پیوسته f  : X → K ، جایی که K یک فضای جمع و جور هاسدورف است ، گسترش منحصر به فرد به یک نقشه مستمر βf  : βX → K ، یعنی ( βf ) من X = F .

ویژگی جهانی فشردگی Stone-Cech به شکل نمودار بیان شده است.

طبق معمول برای خواص جهانی ، این ویژگی جهانی βX را تا هومومورفیسم مشخص می کند .

همانطور که در § ساخت و سازها ذکر شده است ، در زیر می توان ثابت کرد (با استفاده از اصل انتخابی) که چنین فشرده سازی Stone -chech i X  : X → βX برای هر فضای توپولوژیکی X وجود دارد . علاوه بر این ، تصویر i X ( X ) در βX متراکم است .

برخی از نویسندگان این فرض را اضافه می کنند که فضای شروع X Tychonoff (یا حتی هاوسدورف جمع و جور محلی ) است ، به دلایل زیر:

  • نقشه از X تا تصویر آن در βX یک هومومورفیسم است اگر و فقط اگر X Tychonoff باشد.
  • نقشه از X تا تصویر آن در βX یک هومومورفیسم به یک فضای فرعی باز است اگر و فقط اگر X بصورت محلی فشرده هاسدورف باشد.

ساختمان Stone -chech را می توان برای فضاهای عمومی تر X انجام داد ، اما در این صورت نقشه X → βX نیازی به همومورفیسم تصویر X ندارد (و گاهی حتی تزریقی نیست).

طبق معمول برای سازه های جهانی مانند این ، ویژگی افزودنی β را به عنوان یک عملگر از بالا ( طبقه فضاهای توپولوژیکی ) تا CHaus (طبقه فضاهای جمع و جور هاسدورف) تبدیل می کند. علاوه بر این، اگر ما اجازه دهیم U شود عمل کننده گنجاندن از چاوس به بالا ، نقشه ها از βX به K (برای K در چاوس ) مطابقت دارد bijectively به نقشه از X به بریتانیا (با در نظر گرفتن محدودیت های خود را به X و با استفاده از خاصیت جهانی βX) یعنی

Hom ( βX ، K ) ≅ Hom ( X ، انگلستان ) ،

به این معنی که β است الحاقی چپ به U . این بدان معناست که CHaus یک زیر شاخه بازتابنده از Top با بازتابنده β است .

مثالها [ ویرایش ]

اگر X یک فضای جمع و جور هاسدورف باشد ، پس با فشرده سازی Stone -chech آن منطبق است. بیشتر فشرده سازی های دیگر سنگ -فاقد توضیحات مشخص هستند و بسیار سخت هستند. [ ذکر منبع ] موارد استثنا شامل موارد زیر است:

فشرده سازی Stone -chch از اولین دستورالعمل غیر قابل شمارش \ امگا _ {1}، با توپولوژی ترتیب ، ترتیبی است{\ displaystyle \ omega _ {1} +1}به تراکم Stone – chch تخته حذف شده Tychonoff تخته Tychonoff است. [4]

ساخت و سازها [ ویرایش ]

ساخت و ساز با استفاده از محصولات [ ویرایش ]

یک تلاش برای ایجاد فشردگی سنگ –فلوکس X ، بستن تصویر X در

{\ displaystyle \ prod \ n محدودیت ها _ {f: X \ به K} K}

جایی که محصول روی همه نقشه ها از X تا فضاهای کوچک Hausdorff K قرار دارد . بر اساس قضیه Tychonoff این محصول از فضاهای فشرده جمع و جور است و بنابراین بسته شدن X در این فضا نیز جمع و جور است. این به طور شهودی کار می کند اما به دلایل فنی شکست می خورد زیرا مجموعه همه چنین نقشه هایی یک کلاس مناسب است تا یک مجموعه. روشهای مختلفی برای اصلاح این ایده برای عملی شدن آن وجود دارد. به عنوان مثال ، می توان فضاهای فشرده Hausdorff K را به مجموعه زیر P ( P ( X )) محدود کرد ( مجموعه قدرت مجموعه توان X) ، که به اندازه کافی بزرگ است و دارای اصل اصلی حداقل برابر با هر فضای جمع و جور هاسدورف است که می توان X را با تصویر متراکم نگاشت.

ساخت با استفاده از فاصله واحد [ ویرایش ]

یکی از روشهای ساخت βX این است که اجازه دهید C مجموعه تمام توابع پیوسته از X به [0 ، 1] باشد و نقشه را در نظر بگیرید{\ displaystyle e: X \ تا [0،1]^{C}} جایی که

{\ displaystyle e (x): f \ mapsto f (x)}

اگر به [0 ، 1] C توپولوژی محصول داده شود ، ممکن است این نقشه به صورت پیوسته بر روی تصویر آن دیده شود . با قضیه Tychonoff ما داریم که [0، 1] C از آنجا که [0، 1] است جمع و جور است. در نتیجه ، بسته شدن X در [0 ، 1] C فشرده سازی X است .

در واقع ، این بسته شدن فشرده سازی Stone -chech است. برای تأیید این ، ما فقط باید بررسی کنیم که بسته بودن ویژگی جهانی مناسب را برآورده می کند. ما ابتدا این کار را برای K = [0 ، 1] انجام می دهیم ، جایی که پسوند مورد نظر f  : X → [0، 1] فقط نمایش بر روی مختصات f در [0 ، 1] C است . به منظور بدست آوردن این برای هوسدورف K جمع وجور عمومی ، از موارد بالا استفاده می کنیم تا توجه داشته باشیم که K می تواند در برخی مکعب ها تعبیه شده ، هر یک از عملکردهای مختصات را گسترش داده و سپس محصول این افزونه ها را بدست آورد.

خاصیت ویژه ای از فاصله واحد مورد نیاز برای این ساخت و ساز به کار این است که این است cogenerator از این دسته از فضاهای هاسدورف فشرده: این بدان معناست که اگر و B فضاهای هاسدورف فشرده هستند، و F و G نقشه متمایز از می به B ، سپس نقشه h  : B → [0 ، 1] وجود دارد به گونه ای که hf و hg متمایز هستند. در این ساخت و ساز می توان از هر گونه تولیدکننده (یا مجموعه تولید همزمان) دیگر استفاده کرد.

ساخت با استفاده از فوق فیلترها [ ویرایش ]

همچنین ببینید: توپولوژی سنگ و فیلترها در توپولوژی top توپولوژی سنگ

متناوبا ، اگرایکساست گسسته ، سپس آن را ممکن است به ساخت{\ displaystyle \ beta X}به عنوان مجموعه ای از تمام فیلترهای فوق العاده روشنایکس، با عناصر ایکسمربوط به ultrafilters اصلی . توپولوژی مجموعه ای از فوق فیلترها ، معروف بهتوپولوژی سنگ ، توسط مجموعه های فرم تولید می شود\ {F: U \ در F \} برای U زیر مجموعه ای از ایکس.

دوباره ویژگی جهانی را تأیید می کنیم: برای {\ displaystyle f: X \ به K} با ک هاوسدورف جمع و جور و اف یک فوق فیلتر روشن است ایکسما یک پایه اولترافیلتر داریم {\ displaystyle f (F)} بر K ، فشار جلو ازاف این محدودیت منحصر به فردی دارد زیرا ک می گویند جمع و جور Hausdorff است ایکس، و تعریف می کنیم {\ displaystyle \ beta f (F) = x.} ممکن است تأیید شود که این یک گسترش مداوم از است f

به طور مساوی ، می توان فضای سنگ را از جبر بول کامل همه زیر مجموعه ها گرفتایکسبه عنوان فشرده سازی Stone -chech. این واقعاً همان ساختار است ، زیرا فضای سنگی این جبر بولی مجموعه ای از فیلترهای فوق فیلتر (یا ایده آل های معادل اصلی ، یا همومورفیسم به جبر 2 عنصر بولی) از جبر بول است ، که همان مجموعه اولترافیلترها درایکس.

می توان با استفاده از حداکثر فیلترهای صفر مجموعه به جای اولترافیلترها ، به فضاهای دلخواه Tychonoff تعمیم داد . [5] (در صورت عادی بودن فضا ، فیلترهای مجموعه های بسته کافی است .)

ساخت و ساز با استفاده از جبرهای C* [ ویرایش ]

فشردگی Stone -chch به طور طبیعی در طیف C b ( X ) همومورفیک است . [6] در اینجا C b ( X ) نشان دهنده جبر C* همه توابع با پیچیدگی پیوسته محدود شده روی X با هنجار فوق است. توجه داشته باشید که C b ( X ) از نظر شرعی با جبر ضرب C 0 ( X ) یکسان نیست .

فشردگی اعداد طبیعی Stone – chech [ ویرایش ]

در مواردی که X بصورت محلی فشرده است ، به عنوان مثال N یا R ، تصویر X یک زیر مجموعه باز از βX یا در واقع هرگونه فشرده سازی را تشکیل می دهد (این نیز یک شرط ضروری است ، زیرا زیر مجموعه باز فضای فشرده هاسدورف به صورت محلی است فشرده - جمع و جور). در این مورد ، اغلب بقیه فضا ، βX  \  X را مطالعه می کنید . این یک زیر مجموعه بسته از βX است ، و بنابراین فشرده است. ما N را با توپولوژی مجزا در نظر می گیریم و β N  \  N = N را می نویسیم* (اما به نظر نمی رسد که این علامت استاندارد برای X عمومی باشد ).

همانطور که در بالا توضیح داده شد ، می توان β N را به عنوان مجموعه ای از فیلترهای فوق فیلتر در N مشاهده کرد ، با توپولوژی ایجاد شده توسط مجموعه های فرم\ {F: U \ در F \}برای U یک زیر مجموعه از N . مجموعه N مربوط به مجموعه اولترافیلترهای اصلی و مجموعه N * مجموعه ای از فوق فیلترهای رایگان است .

مطالعه β N ، و به ویژه N *، یکی از مناطق اصلی توپولوژی مجموعه نظری مدرن است . مهمترین نتایج برانگیز این قضیه قضایای پاروویچنکو است که اساساً رفتار آن را با فرض فرضیه پیوستار مشخص می کند .

این حالتها:

  • هر فضای جمع و جور هاوسدورف حداکثر وزن دارد\ aleph _ {1}( شماره الف را ببینید ) تصویر پیوسته N * است (این مورد نیاز به فرضیه پیوستار ندارد ، اما در غیاب آن کمتر جالب است).
  • اگر فرضیه پیوستگی وجود داشته باشد ، N * فضای منحصر به فرد Parovicenko است ، تا ایزومورفیسم.

اینها در اصل با در نظر گرفتن جبرهای بولی و استفاده از دوگانگی سنگ ثابت شد .

یان ون میل β N را به عنوان "هیولا سه سر" توصیف کرده است - سه سر یک سر خندان و دوستانه است (رفتار با فرض فرضیه پیوستار) ، سر زشت استقلال که دائماً سعی می کند شما را گیج کند (تعیین چه چیزی رفتار در مدلهای مختلف نظریه مجموعه امکان پذیر است) ، و سر سوم کوچکترین آنهاست (آنچه در ZFC می توانید در مورد آن ثابت کنید ). [7] این نسبتا به تازگی مشاهده شده است که این خصوصیات است کاملا درست نیست، وجود دارد در واقع یک سر چهارم β N ، که در آن مجبور بدیهیات و نوع بدیهیات رمزی را خواص β Nتقریباً متضاد با فرضیه پیوستار ، نقشه های بسیار کمی از N * در واقع ارائه می دهد. نمونه هایی از این بدیهیات شامل ترکیبی از اصل مارتین و گسترش رنگ آمیزی اصل که، برای مثال، ثابت کند که ( N *) 2 ≠ N *، در حالی که فرضیه زنجیره دلالت مخالف است.

یک برنامه کاربردی: فضای دوگانه فضای دنباله های محدود شده از واقعیات [ ویرایش ]

فشرده سازی Stone -Čech β N را می توان برای مشخص کردن استفاده کرد{\ displaystyle \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N})}( فضای Banach از همه دنباله های محدود شده در میدان مقیاس R یا C ، با هنجار برتر ) و فضای دوگانه آن .

با توجه به توالی محدود {\ displaystyle a \ in \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N})}یک توپ بسته B در قسمت مقیاس وجود دارد که حاوی تصویر a است . a یک تابع از N تا B است . از آنجا که N گسسته و B فشرده و هاسدورف است ، a پیوسته است. با توجه به اموال جهانی، وجود دارد یک فرمت منحصر به فرد وجود دارد βa  : β N → B . این فرمت به توپ B ما بستگی ندارد .

ما یک نقشه فرمت از فضای توالی های پیمانه ای محدود به فضای توابع پیوسته بر روی β N تعریف کرده ایم .

\ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N}) \ به C (\ beta \ mathbf {N})

این نقشه دو جهته است زیرا هر تابع در C ( β N ) باید محدود باشد و سپس می تواند به یک دنباله مقیاس محدود محدود شود.

اگر هر دو فضا را با هنجار sup بیشتر در نظر بگیریم ، نقشه توسعه یک ایزومتری می شود. در واقع ، اگر در ساخت بالا کوچکترین توپ ممکن B را بگیریم ، می بینیم که هنجار sup دنباله توسعه یافته رشد نمی کند (اگرچه تصویر تابع توسعه یافته می تواند بزرگتر باشد).

بدین ترتیب،{\ displaystyle \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N})}را می توان با C ( β N ) شناسایی کرد. این به ما امکان می دهد از قضیه نمایش Riesz استفاده کنیم و دریابیم که فضای دوگانه از{\ displaystyle \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N})}می توان با فضای اندازه گیری های محدود Borel در β N مشخص کرد .

در نهایت، باید توجه داشت که این روش عام برای L ∞ فضا از یک خودسرانه فضای اندازه X . با این حال ، به جای در نظر گرفتن فضای βX اولترافیلترها در X ، راه درست برای تعمیم این ساختار در نظر گرفتن فضای سنگی Y از جبر اندازه گیری X است : فضاهای C ( Y ) و L ∞ ( X ) ایزومورف هستند جبرهای C*تا زمانی که X شرط محدودیت معقول را برآورده کند (که هر مجموعه اندازه گیری مثبت شامل زیرمجموعه ای از اندازه گیری مثبت متناهی باشد).

یک عملیات مونوئید بر روی فشردگی سنگ طبیعی - طبیعی [ ویرایش ]

اعداد طبیعی یک شکل مونوئید تحت علاوه بر . به نظر می رسد که این عملیات را می توان (عموماً در بیش از یک روش ، اما به طور منحصر به فرد تحت شرایط بیشتر) به β N گسترش داد و این فضا را نیز به یک مونوئید تبدیل کرد ، هرچند که به طور شگفت انگیزی غیرمحرکه است.

برای هر زیر مجموعه، ، از N و یک عدد صحیح مثبت n را در N ، تعریف می کنیم

An = \ {k \ in \ mathbf {N} \ mid k+n \ in A \}.

با توجه به دو اولترافیلتر F و G در N ، مجموع آنها را بر اساس تعریف می کنیم

{\ displaystyle F+G = {\ Big \ {} A \ subseteq \ mathbf {N} \ mid \ {n \ in \ mathbf {N} \ mid An \ in F \} \ in G {\ Big \}} ؛}

می توان بررسی کرد که این مجدداً یک فیلتر اولترافیلتر است ، و اینکه عمل + در β N تداعی کننده (اما نه تعویضی) است و افزودنی را روی N گسترش می دهد . 0 به عنوان یک عنصر خنثی برای عملیات + روی β N عمل می کند . این عملیات نیز سمت راست پیوسته، به این معنا که برای هر Ultrafilter را F ، نقشه

{\ displaystyle {\ begin {case} \ beta \ mathbf {N} \ to \ beta \ mathbf {N} \\ G \ mapsto F+G \ end {case}}}

پیوسته است

به طور کلی ، اگر S یک نیمه گروه با توپولوژی گسسته باشد ، عملکرد S را می توان به βS بسط داد و یک عمل تداعی راست پیوسته بدست آورد. [8]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93%C4%8Cech_compactification#Construction_using_ultrafilters