جدول تحولات انتخاب شده هیلبرت [ ویرایش ]

در جدول زیر ، پارامتر فرکانس\ امگا  واقعی است.

علامت
تو (تی)		تبدیل هیلبرت [fn 1]
{\ displaystyle \ operatorname {H} (u) (t)}
{\ displaystyle \ sin (\ امگا)} [fn 2]

{\ displaystyle {\ start {array} {lll} \ sin \ left (\ omega t - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right) ، \ quad \ omega> 0 \\\ sin \ left (\ امگا t + {\ tfrac {\ pi} {2}} \ راست) ، \ quad \ امگا <0 \ پایان {آرایه}}}

{\ displaystyle \ cos (\ امگا)} [fn 2]

{\ displaystyle {\ start {array} {lll} \ cos \ left (\ omega t - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right) ، \ quad \ omega> 0 \\\ cos \ left (\ امگا t + {\ tfrac {\ pi} {2}} \ راست) ، \ quad \ امگا <0 \ پایان {آرایه}}}

{\ displaystyle e ^ {i \ omega t}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} e ^ {i \ left (\ omega t - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right)} ، \ quad \ omega> 0 \\ e ^ { من \ چپ (\ امگا t + {\ tfrac {\ pi} {2}} \ راست)} ، \ quad \ امگا <0 \ پایان {آرایه}}}

{\ displaystyle e ^ {- من \ امگا}}

{\ displaystyle {\ start {array} {lll} e ^ {- i \ left (\ omega t - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right)}، \ quad \ omega> 0 \\ e ^ {-i \ چپ (\ امگا t + {\ tfrac {\ pi} {2}} \ راست)} ، \ quad \ امگا <0 \ end {آرایه}}}

{\ displaystyle 1 \ over t ^ {2} +1}{\ displaystyle t \ over t ^ {2} +1}
{\ displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi \،}}} F (t)}
(به عملکرد داوسون مراجعه کنید )
عملکرد سینک
{\ displaystyle \ sin (t) \ over t}		{\ displaystyle 1- \ cos (t) \ over t}
عملکرد دلتای دیراک
{\ displaystyle \ delta (t)}		{\ displaystyle {1 \ over \ pi t}}
عملکرد مشخصه
{\ displaystyle \ chi _ {[a، b]} (t)}		{\ displaystyle {{\ frac {1} {\، \ pi \،}} \ ln \ left \ vert {\ frac {ta} {tb}} \ right \ vert}}

یادداشت

  1. ^ برخی از نویسندگان (به عنوان مثال ، Bracewell) از −H مابه عنوان تعریف خود برای تبدیل رو به جلو استفاده می کنند. یک نتیجه این است که ستون سمت راست این جدول نفی می شود.
  2. ^ پرش به بالا به:a b تبدیل هیلبرت از توابع sin و cos را می توان با گرفتن مقدار اصلی انتگرال در بی نهایت تعیین کرد. این تعریف با نتیجه تعریف توزیع هیلبرت سازگار است.

جدول گسترده ای از تحولات هیلبرت موجود است. [15] توجه داشته باشید که تبدیل هیلبرت یک ثابت صفر است.

دامنه تعریف [ ویرایش ]

به هیچ وجه بدیهی نیست که تبدیل هیلبرت به خوبی تعریف شده است ، زیرا تعریف انتگرال نامناسب باید به معنای مناسب همگرا باشد. با این حال ، تحول هیلبرت برای یک دسته گسترده از توابع ، به طور خاص ، تعریف شده است{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}برای 1 < p < .

دقیق تر ، اگر شما در هستید{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}برای 1 < p <∞ ، سپس حد تعریف انتگرال نامناسب

 

{\ displaystyle \ operatorname {H} (u) (t) = - {\ frac {1} {\ pi}} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} { \ frac {u (t + \ tau) -u (t- \ tau)} {\ tau}} \، d \ tau}

 

تقریباً برای هر تی وجود دارد . تابع حد نیز در است{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}و در حقیقت حد متوسط ​​انتگرال نامناسب نیز هست. به این معنا که،

 

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} {\ frac {u (t + \ tau) -u (t- \ tau)} {{tau} } \ ، \ mathrm {d} \ tau \ to \ operatorname {H} (u) (t)}

 

به عنوان ε → 0 در هنجار L p ، و همچنین تقریباً به صورت نقطه ای تقریباً در همه جا ، توسط قضیه Titchmarsh . [16]

در حالت L = 1 ، تبدیل هیلبرت تقریباً در همه جا به صورت نقطه ای همگرا می شود ، اما ممکن است به خودی خود حتی در سطح محلی نیز یکپارچه نشود. [17] به طور خاص ، همگرایی در میانگین در این مورد به طور کلی اتفاق نمی افتد. تبدیل هیلبرت از L 1 تابع می کند همگرا، با این حال، در L 1 -weak و تبدیل هیلبرت یک اپراتور محدود از است L 1 به L 1، W . [18] (به طور خاص ، از آنجا که تبدیل هیلبرت نیز یک عملگر چند برابر در L 2 است ، استیضاح مارکینکیویچ و استدلال دوگانگی اثبات جایگزینی است که نشان می دهدH محدود به L p است .)

خصوصیات [ ویرایش ]

محدودیت [ ویرایش ]

اگر 1 < p <∞ ، Hilbert تغییر شکل می دهد{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}یک عملگر خطی محدود است ، به این معنی که C p ثابت وجود دارد به طوری که

 

{\ displaystyle \ left \ | \ operatorname {H} u \ right \ | _ {p} \ leq C_ {p} \ left \ | u \ right \ | _ {p}}

 

برای همه {\ displaystyle u \ in L ^ {p} (\ mathbb {R})}. [19]

بهترین ثابت C_ {p}توسط [20] داده شده است

 

{\ displaystyle C_ {p} = {\ begin {موارد} \ tan {\ frac {\ pi} {2p}} و {\ text {for}} ~ 1 <p \ leq 2 \\\ cot {\ frac { \ pi} {2p}} و {\ text {برای}} ~ 2 <p <\ ناکافی \ پایان {موارد}}}

 

راهی آسان برای یافتن بهترین ها C_ {p} برای پ قدرت 2 بودن از طریق اصطلاحاً هویت Cotlar است {\ displaystyle (\ operatorname {H} f) ^ {2} = f ^ {2} +2 \ operatorname {H} (f \ operatorname {H} f)}برای همه با ارزش واقعی f . همان ثابت های ثابت برای تبدیل دوره ای هیلبرت وجود دارد.

محدودیت تبدیل هیلبرت حاکی از آن است {\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})} همگرایی عملگر جمع جزئی متقارن

{\ displaystyle S_ {R} f = \ int _ {- R} ^ {R} {\ hat {f}} (\ xi) e ^ {2 \ pi ix \ xi} \، \ mathrm {d} \ xi }

 

به f در{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}. [21]

ضد خود پیوستگی [ ویرایش ]

تبدیل هیلبرت یک عملگر ضد خود متصل به نسبت جفت شدن دوتایی است{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})} و فضای دوتایی {\ displaystyle L ^ {q} (\ mathbb {R})}، جایی که p و q ترکیبات Hölder و 1 < p ، q < are هستند . از نظر نمادین ،

{\ displaystyle \ langle \ operatorname {H} u، v \ rangle = \ langle u، - \ operatorname {H} v \ rangle}

 

برای {\ displaystyle u \ in L ^ {p} (\ mathbb {R})} و {\ displaystyle v \ in L ^ {q} (\ mathbb {R})}. [22]

تبدیل معکوس [ ویرایش ]

تبدیل هیلبرت یک ضدتهاجم است ، [23] به این معنی که

 

{\ displaystyle \ operatorname {H} {\ bigl (} \ operatorname {H} \ چپ (u \ راست) {\ bigr)} = - u}

 

به شرطی که هر تبدیل کاملاً مشخص باشد. از آنجا که H فضا را حفظ می کند{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}، این به ویژه نشان می دهد که تبدیل هیلبرت غیر قابل برگشت است{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}، و آن

{\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {- 1} = - \ نام اپراتور {H}}

 

ساختار پیچیده [ ویرایش ]

زیرا H 2 = −I (" I " عملگر هویت است ) در فضای واقعی باناخ از توابع با ارزش واقعی در{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}، تبدیل هیلبرت یک ساختار پیچیده خطی را در این فضای باناخ تعریف می کند. به طور خاص ، وقتی p = 2 ، تبدیل هیلبرت به فضای هیلبرت توابع با ارزش واقعی می دهدL ^ 2 (\ mathbb {R})ساختار یک فضای پیچیده هیلبرت.

(به مختلط) ویژه حالت از تبدیل هیلبرت اعتراف نمایندگی به عنوان توابع هولومورفیک در بالا و پایین نیمه هواپیما در فضای هاردی H 2 توسط قضیه پالی-وینر .

تمایز [ ویرایش ]

به طور رسمی ، مشتق تبدیل هیلبرت تبدیل هیلبرت مشتق است ، یعنی این دو عملگر خطی رفت و آمد می کنند:

 

 

{\ displaystyle \ operatorname {H} \ چپ ({\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} t}} \ سمت راست) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ operatorname {H} (u)}

 

تکرار این هویت ،

 

 

{\ displaystyle \ operatorname {H} \ چپ ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {k} u} {\ mathrm {d} t ^ {k}}} \ راست) = {\ frac {\ mathrm { d} ^ {k}} {\ mathrm {d} t ^ {k}}} \ نام عامل {H} (u)}

 

این دقیقاً همانطور که گفته شد به شرطی که شما و اولین k مشتقات آن متعلق باشد ، درست است{\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}. [24] می توان این مسئله را به راحتی در حوزه فرکانس بررسی کرد ، جایی که تمایز ضرب در ω می شود .

همگرایی [ ویرایش ]

تبدیل هیلبرت به طور رسمی می توانید به عنوان یک محقق شود پیچیدگی با توزیع خو [25]

 

 

{\ displaystyle h (t) = \ operatorname {pv} {\ frac {1} {\ pi \، t}}}

 

بنابراین به طور رسمی ،

 

 

{\ displaystyle \ operatorname {H} (u) = h * u}

 

با این حال، پیشینی این ممکن است تنها برای تعریف تو یک توزیع از حمایت جمع و جور . با این کار می توان تا حدودی دقیق کار کرد ، زیرا توابع پشتیبانی شده فشرده (که توزیع های fortiori هستند) در L p متراکم هستند . متناوباً ، می توان از این واقعیت استفاده کرد که h ( t ) مشتق توزیعی log تابع | است t | / π ؛ شوخ طبع بودن

 

 

{\ displaystyle \ operatorname {H} (u) (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ سمت چپ ({\ frac {1} {\ pi}} \ سمت چپ (u * \ log {\ bigl |} \ cdot {\ bigr |} \ right) (t) \ right)}

 

برای بیشتر اهداف عملیاتی ، با تبدیل هیلبرت می توان به عنوان یک جمع شدن رفتار کرد. به عنوان مثال ، به معنای رسمی ، تبدیل هیلبرت یک کانولوشن ، چرخش تبدیل هیلبرت است که فقط بر روی هر یک از عوامل اعمال می شود:

 

{\ displaystyle \ operatorname {H} (u * v) = \ operatorname {H} (u) * v = u * \ operatorname {H} (v)}

 

اگر u و v از توزیع های فشرده پشتیبانی می شوند ، دقیقاً درست است زیرا ، در این حالت ،

{\ displaystyle h * (u * v) = (h * u) * v = u * (h * v)}

با عبور از یک حد مناسب ، اگر u ∈ L p و v ∈ L q چنین شرطی داشته باشیم نیز صادق است

 

{\ displaystyle 1 <{\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}}}

 

از یک قضیه ناشی از Titchmarsh. [26]