در ریاضیات ، معیار هیلبرت-ممفورد ، که توسط دیوید هیلبرت [ نیاز به منبع ] و دیوید مامفورد ارائه شده است ، از نظر مقادیر ویژه زیرگروه های 1 پارامتر ، نقاط نیمه ثبات و پایدار یک اقدام گروهی را بر روی یک فضای بردار توصیف می کند (Dieudonné & Carrell  1970 ، 1971 ، ص 58)

 

فهرست

تعریف ثبات [ ویرایش ]

بگذارید G یک گروه کاهشی باشد که بر روی یک فضای بردار V بصورت خطی عمل کند ، یک نقطه غیر صفر V نامیده می شود

  • اگر 0 در بسته شدن مدار خود نباشد ، نیمه پایدار است و در غیر این صورت ناپایدار است .
  • اگر مدار آن بسته باشد پایدار است و تثبیت کننده آن محدود است. یک نقطه پایدار یک حالت ثبات fortiori است . یک نقطه نیمه پایدار اما پایدار را کاملاً نیمه پایدار می نامند .

هنگامی که G است گروه ضربی\ mathbb {G} _ {m}، به عنوان مثال C * در تنظیمات پیچیده ، عمل به یک نمایش بعدی محدود می رسد{\ displaystyle \ lambda \ colon \ mathbf {C} ^ {*} \ to \ mathrm {GL} (V)}. ما می توانیم V را به یک جمع مستقیم تجزیه کنیم{\ displaystyle V = \ textstyle \ bigoplus _ {i} V_ {i}}، جایی که در هر م componentلفه V i عمل به صورت زیر انجام می شود{\ displaystyle \ lambda (t) \ cdot v = t ^ {i} v}. به عدد صحیح i وزن گفته می شود. سپس برای هر نقطه x ، مجموعه وزنی را که در آن یک جز non غیر صفر دارد ، بررسی می کنیم.

  • اگر تمام وزنه ها کاملاً مثبت هستند ، پس {\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ lambda (t) \ cdot x = 0}، بنابراین 0 در بسته شدن مدار x است ، یعنی x ناپایدار است.
  • اگر تمام وزنه ها منفی نباشند ، و 0 وزن باشد ، 0 یا تنها وزن است ، در این حالت x توسط C * تثبیت می شود . یا وزن های مثبتی در کنار 0 وجود دارد ، پس حد{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ lambda (t) \ cdot x}برابر با م componentلفه x -0 x است که در مدار x نیست . بنابراین این دو حالت دقیقاً مربوط به شکست مربوط به دو شرایط در تعریف یک نقطه پایدار است ، یعنی ما نشان داده ایم که x کاملاً نیمه پایدار است.

بیانیه [ ویرایش ]

معیار هیلبرت-ممفورد اساساً می گوید که مورد گروه ضرب وضعیت معمول است. دقیقاً ، برای یک گروه تقلیل عمومی G که به طور خطی بر روی یک فضای بردار V عمل می کند ، می توان از طریق مطالعه زیرگروه های 1 پارامتر G ، که مورفیسم های غیر پیش پا افتاده هستند ، پایداری یک نقطه x را مشخص کرد.{\ displaystyle \ lambda \ colon \ mathbb {G} _ {m} \ به G}. توجه داشته باشید که وزن های معکوس\ lambda ^ {- 1} دقیقاً منهای آن هستند \ لامبدا ، بنابراین می توان عبارات را متقارن کرد.

  • یک نقطه x ناپایدار است اگر و فقط اگر یک زیرگروه 1 پارامتری از G وجود داشته باشد که x فقط وزنه های مثبت را قبول می کند یا فقط وزن های منفی را قبول می کند. به طور معادل ، x نیمه پایدار است اگر و فقط اگر چنین زیرگروهی با یک پارامتر وجود نداشته باشد ، یعنی برای هر زیرگروه 1 پارامتر هر دو وزن مثبت و غیر منفی وجود دارد.
  • یک نقطه x کاملاً نیمه پایدار است اگر و فقط اگر یک زیرگروه 1 پارامتری از G وجود داشته باشد که x 0 را به عنوان وزن قبول می کند ، و تمام وزن ها غیر منفی (یا غیر مثبت) هستند.
  • یک نقطه x پایدار است اگر و فقط اگر هیچ زیرگروه 1 پارامتری از G وجود نداشته باشد که x فقط وزنه های غیر منفی یا فقط وزن های غیر مثبت را بپذیرد ، یعنی برای هر زیرگروه 1 پارامتر هر دو وزن مثبت و منفی وجود داشته باشد.

مثالها و برنامه ها [ ویرایش ]

عملکرد C * در صفحه C 2 ، با مدارهای مخروطی هواپیما (هایپربولا) است.

عملکرد C * در فضا[ ویرایش ]

مثال استاندارد عمل C * در صفحه C 2 است که به صورت تعریف شده است{\ displaystyle t \ cdot (x، y) = (tx، t ^ {- 1} y)}. واضح است که وزن در جهت x 1 است و وزن در جهت y -1 است. بنابراین با توجه به معیار هیلبرت-ممفورد ، یک نقطه غیر صفر بر محور- x 1 را به عنوان تنها وزن خود و یک نقطه غیر صفر را بر محور- y می پذیرد -1 را به عنوان تنها وزن خود قبول می کند ، بنابراین هر دو ناپایدار هستند. یک نقطه کلی در هواپیما 1 و 1 را به عنوان وزن قبول می کند ، بنابراین ثابت است.

امتیاز در P 1 [ ویرایش ]

مثالهای زیادی در مشکلات مدول بوجود می آیند . برای مثال، مجموعه ای از N نقطه در منحنی منطقی P 1 (دقیق تر، حلقوی طول N subscheme از P 1 ). گروه اتومورفیسم P 1 ، PSL (2 ، C ) بر روی چنین مجموعه هایی (زیرشکل ها) عمل می کند و معیار هیلبرت-ممفورد به ما اجازه می دهد تا ثبات تحت این عمل را تعیین کنیم.

ما می توانیم مسئله را با شناسایی مجموعه ای از n نقطه با چند جمله ای همگن درجه - n در دو متغیر خطی کنیم. بنابراین ما عملکرد SL (2 ، C ) را در فضای بردار در نظر می گیریم{\ displaystyle H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} ^ {1}} (n))}از چنین چند جمله ای های همگن. با توجه به یک زیر گروه 1 پارامتر{\ displaystyle \ lambda \ colon \ mathbf {C} ^ {*} \ to \ mathrm {SL} (2 ، \ mathbf {C})}، ما می توانیم مختصات x و y را انتخاب کنیم تا عملکرد P 1 به صورت زیر داده شود

{\ displaystyle \ lambda (t) \ cdot [x: y] = [t ^ {k} x: t ^ {- k} y].}

برای یک چند جمله ای فرم همگن {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} y ^ {ni}}، عبارت{\ displaystyle x ^ {i} y ^ {ni}}دارای وزن k (2 i - n ) است. بنابراین چند جمله ای وزن مثبت و منفی (مربوط به غیر مثبت و غیر منفی) را می پذیرد اگر و فقط اگر اصطلاحاتی با i > n / 2 و i < n / 2 وجود داشته باشد (resp. i ≥ n / 2 و i ≤) n / 2 ) به طور خاص ، ضریب x یا y باید < n / 2 باشد (تکرار ≤ n / 2). اگر تمام زیرگروه های 1 پارامتر را تکرار کنیم ، ممکن است برای همه نقاط در P 1 شرایط ضرب یکسانی بدست آوریم. با معیار هیلبرت-ممفورد ، چند جمله ای (و در نتیجه مجموعه ای از n نقطه) پایدار است (یعنی نیمه پایدار) اگر و فقط اگر تعدد آن در هر نقطه < n / 2 باشد (مربوط به ≤ n / 2).

مکعب فضا[ ویرایش ]

تجزیه و تحلیل مشابه با استفاده از چند جمله ای همگن می تواند برای تعیین ثبات مکعب های فضاانجام شود . معیار هیلبرت-ممفورد نشان می دهد که مکعب صفحه ای پایدار است اگر فقط صاف باشد. نیمه پایدار است اگر و فقط اگر در بدترین نقاط دوگانه معمولی را به عنوان یکتایی قبول کند . مکعب با تکین بدتر (به عنوان مثال لت )، ناپایدار است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%E2%80%93Mumford_criterion