از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

در ریاضیات ، به هیلبرت متریک ، همچنین به عنوان شناخته شده هیلبرت تصویری متریک ، یک صریح تعریف است تابع فاصله در محدود محدب زیر مجموعه از N بعدی فضای اقلیدسی R N . توسط معرفی شد دیوید هیلبرت  ( 1895 ) به عنوان یک کلیت از فرمول کیلی برای فاصله در مدل کیلی-کلین از هندسه هذلولی ، که در آن مجموعه ای محدب است N بعدی باز توپ واحد . معیار هیلبرت در مورد اعمال شده استنظریه Perron – Frobenius و ساخت فضاهای هذلولی گروموف .

 

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

بگذارید Ω یک دامنه باز محدب در یک فضای اقلیدسی باشد که حاوی یک خط نیست. با توجه به دو نقطه متمایز A و B از Ω ، بگذارید X و Y نقاطی باشند كه خط مستقیم AB مرز Ω را قطع می كند ، جایی كه ترتیب نقاط X ، A ، B ، Y باشد. سپس هیلبرت فاصله د ( ،  B ) است لگاریتم از نسبت متقاطع از این چهارگانه نقطه:

d (A ، B) = \ log \ چپ ({\ frac {| YA |} {| YB |}} {\ frac {| XB |} {| XA |}} \ راست)

تابع d با اجازه دادن d ( A ،  A ) = 0 به تمام جفت نقاط گسترش می یابد و یک معیار را روی Ω تعریف می کند . اگر یکی از نقاط A و B در مرز Ω قرار داشته باشد ، می توان d را بصورت رسمی + defined تعریف کرد ، که مربوط به یک مورد محدود کننده فرمول فوق در هنگام صفر بودن یک مخرج است.


گونه ای از این ساخت و ساز برای یک مخروط K محدب بسته در یک فضای V Banach (احتمالاً ، بی نهایت بعدی) بوجود می آید. علاوه بر این ، فرض می شود که مخروط K نشانه باشد ، یعنی K  ∩ (- K ) = {0} و بنابراین K ترتیب جزئی را تعیین می کند \ leq _ {K}در V . با توجه به بردارهای v و w در K  \ {0} ، ابتدا یکی تعریف می شود

M (v / w) = \ inf \ {\ lambda: v \ leq _ {K} \ lambda w \} ، \ quad m (v / w) = \ sup \ {\ mu: \ mu w \ leq _ { K} v \}.

سپس شبه سنجی هیلبرت در K  \ {0} توسط فرمول تعریف می شود

d (v، w) = \ log {\ frac {M (v / w)} {m (v / w)}}.

آن را در زیر تغییر مقیاس از، ثابت باشد V و W توسط ثابتهای مثبت و بنابراین، به یک متریک فرود در فضای اشعه K ، که به عنوان تفسیر projectivization از K (در جهت د محدود می شود، یکی از نیاز به محدود به داخلی K ). علاوه بر این ، اگر K  ⊂  R  ×  V مخروط بیش از یک مجموعه محدب Ω باشد ،

K = \ {(t ، tx): t \ in {\ mathbb {R}} ، x \ in \ Omega \} ،

پس از آن فضای اشعه K به طور متعارف نسبت به Ω ناهمسان است. اگر v و w بردارهایی در پرتوهای K باشند که مربوط به نقاط A ،  B corresponding  Ω هستند ، این دو فرمول برای d همان مقدار فاصله را دارند.

مثالها [ ویرایش ]

  • در مورد که در آن Ω دامنه یک توپ واحد در R N ، فرمول د همزمان با بیان برای فاصله بین نقاط در مدل کیلی-کلین از هندسه هذلولی ، تا یک عدد ثابت افزاینده.
  • اگر مخروط K در R n سود مثبت باشد ، متریک القایی در پرتابه K را اغلب به سادگی متریک پیش بینی هیلبرت می نامند . این مخروط مربوط به یک دامنه Ω است که یک معمولی ساده از بعد  n  - 1 است.

انگیزه و برنامه ها [ ویرایش ]

  • هیلبرت متریک خود را برای ساخت یک هندسه متریک بدیهی معرفی کرد که در آن مثلث های ABC وجود دارد که رئوس آنها A ، B ، C خطی نیستند ، اما یکی از اضلاع برابر با جمع دو طرف دیگر است - از این رو کوتاه ترین مسیر اتصال دو نقطه در این هندسه بی نظیر نیست. به طور خاص ، این اتفاق می افتد زمانی که مجموعه محدب Ω یک مثلث اقلیدسی باشد و پسوندهای خط مستقیم بخش های AB ، BC ، AC با فضای داخلی یکی از اضلاع Ω مطابقت نداشته باشند.
  • گرت بیرخوف از معیارهای Hilbert و اصل انقباض Banach برای بازپس گیری قضیه Perron-Frobenius در جبر خطی بعدی و متناسب با آن برای عملگرهای انتگرال با هسته های مثبت استفاده کرد. ایده های بیرخوف برای ایجاد تعمیم های غیرخطی مختلف از قضیه Perron-Frobenius ، که کاربردهای چشمگیری در علوم کامپیوتر ، زیست شناسی ریاضی ، تئوری بازی ها ، نظریه سیستم های دینامیکی و نظریه ارگودیک یافته است ، بیشتر توسعه یافته و مورد استفاده قرار گرفته است.
  • با تعمیم نتایج اولیه آندرس کارلسون و گوئنادی نوسکوف ، ایو بنویست سیستمی از شرایط لازم و کافی را برای یک حوزه محدب محدود در R n ، که از معیارهای هیلبرت آن برخوردار است ، تعیین کرد تا یک فضای هذلولی گروموف باشد.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_metric