"آیا می توان یک توپ را به تعداد محدودی از مجموعه نقاط تجزیه کرد و دوباره به دو توپ یکسان با توپ اصلی مونتاژ کرد؟"

پارادوکس باناخ-تارسکی است قضیه در مجموعه ای نظری هندسه ، که بیان موارد زیر است: با توجه به جامد توپ در فضای 3 بعدی، وجود دارد وجود دارد تجزیه توپ را به یک تعداد متناهی از متلاشی شدن زیر مجموعه ، که پس از آن می توانید قرار داده می شود تماس با هم به روشی متفاوت برای بدست آوردن دو کپی یکسان از توپ اصلی. در واقع ، فرآیند مونتاژ فقط شامل حرکت قطعات به اطراف و چرخش آنها بدون تغییر شکل آنها است. با این حال ، قطعات خود به معنای معمول "جامد" نیستند ، بلکه پراکندگی بی نهایت نقاط هستند. بازسازی می تواند با پنج قطعه کار کند. [1]

شکل قویتر قضیه به این معناست که با توجه به هر دو جسم جامد "معقول" (مانند یک توپ کوچک و یک توپ بزرگ) ، قطعات بریده شده هر یک را می توان دوباره در دیگری جمع کرد. این امر اغلب به صورت غیررسمی عنوان می شود: "یک نخود می تواند خرد شود و دوباره در خورشید جمع شود" و " پارادوکس نخود و خورشید " نامیده می شود.

دلیل اینکه پارادوکس قضیه Banach – Tarski نامیده می شود این است که با شهود اساسی هندسی در تضاد است. "دو برابر شدن توپ" را با تقسیم آن به قطعات و حرکت آنها را در اطراف با چرخش و ترجمه ، بدون هیچ گونه کشش، خم شدن، و یا اضافه کردن نقاط جدید، به نظر می رسد غیر ممکن است، از آنجا که همه این عملیات باید ، به طور مستقیم صحبت کردن، برای حفظ حجم. این شهود که چنین عملیاتی حجم ها را حفظ می کند از نظر ریاضیات پوچ نیست و حتی در تعریف رسمی جلدها نیز گنجانده شده است. اما این در اینجا قابل اجرا نیست زیرا در این حالت تعریف حجم زیرمجموعه های در نظر گرفته شده غیرممکن است. جمع آوری مجدد آنها یک حجم را تولید می کند ، که اتفاقاً متفاوت از حجم در آغاز است.

برخلاف بیشتر قضیه ها در هندسه ، اثبات این نتیجه به انتخاب بدیهیات برای نظریه مجموعه ها به روشی حیاتی بستگی دارد. این را می توان با استفاده از بدیهی انتخاب اثبات کرد ، که امکان ساخت مجموعه های غیر قابل اندازه گیری را فراهم می کند ، یعنی مجموعه ای از نقاط که به معنای عادی حجم ندارند و ساخت آنها به تعداد بی شماری از انتخاب ها نیاز دارد. [2]

در سال 2005 نشان داده شد که قطعات موجود در تجزیه می توانند به گونه ای انتخاب شوند که بتوانند به طور مداوم به محل خود منتقل شوند بدون اینکه به یکدیگر برخورد کنند. [3]

همانطور که به طور مستقل توسط لروی [4] و سیمپسون اثبات شده است ، [5] پارادوکس Banach – Tarski اگر فردی به جای فضاهای توپولوژیکی با محلی کار کند ، حجم را نقض نمی کند. در این محیط انتزاعی ، می توان زیر فضایی را بدون نقطه داشت اما همچنان غیر خالی بود. قسمتهای تجزیه متناقض به معنای محلهای متقاطع بسیار هستند ، به حدی که باید به برخی از این تقاطعها جرم مثبت داده شود. اجازه می دهد تا این توده پنهان در نظر گرفته شود ، تئوری محلی ها اجازه می دهد تا همه زیرمجموعه ها (و حتی همه زیرمقیاس ها) فضای اقلیدسی به طور رضایت بخشی اندازه گیری شوند.

 

فهرست

نشریه باناخ و تارسکی [ ویرایش ]

در یک مقاله در سال 1924 منتشر شده است، [6] استفان Banach و تارسکی داد ساخت چنین تجزیه متناقض ، بر اساس کار قبلی توسط جوزپه ویتالی مربوط به فاصله واحد و در تجزیه متناقض از حوزه های فلیکس هاسدورف ، و مورد بحث تعداد سوالات مرتبط در مورد تجزیه زیر مجموعه های فضاهای اقلیدسی در ابعاد مختلف. آنها بیان کلی تر زیر را ثابت کردند ، شکل قوی پارادوکس Banach – Tarski :

با توجه به هر دو زیرمجموعه محدود A و B یک فضای اقلیدسی حداقل در سه بعد ، که هر دو دارای فضای غیرخالی هستند ، پارتیشن های A و B به تعداد محدودی از زیرمجموعه های جداگانه وجود دارد ،{\ displaystyle B = B_ {1} \ cup \ cdots \ cup B_ {k}}(برای بعضی از k عدد صحیح ) ، بدین ترتیب که برای هر (عدد صحیح) i بین 1 تا k ، مجموعه های A i و B i همخوان هستند .

حال بگذارید A توپ اصلی باشد و B اتحادیه دو نسخه ترجمه شده از توپ اصلی باشد. سپس گزاره به این معنی است که شما می توانید توپ اصلی A را به تعداد مشخصی از قطعات تقسیم کنید و سپس این قطعات را بچرخانید و ترجمه کنید به گونه ای که نتیجه آن کل مجموعه B باشد که شامل دو نسخه از A است .

شکل قوی تناقض Banach – Tarski در ابعاد یک و دو نادرست است ، اما Banach و Tarski نشان دادند که اگر تعداد زیادی از زیرمجموعه ها مجاز باشند ، جمله مشابه درست باقی می ماند . تفاوت بین ابعاد 1 و 2 از یک سو، و 3 و بالاتر در سوی دیگر، با توجه به ساختار غنی تر از گروه E ( N ) از حرکات اقلیدسی در 3 ابعاد. برای n = 1 ، 2 گروه قابل حل است ، اما برای n ≥ 3 شامل یک گروه آزاد با دو مولد است. جان فون نویمان خواص گروه معادلاتی را که تجزیه متناقض را امکان پذیر می کند مطالعه کرد و مفهوم گروه های قابل تطبیق را معرفی کرد . وی همچنین نوعی تناقض را در صفحه پیدا کرد که از تغییرات آفرین با حفظ منطقه به جای همگرایی های معمول استفاده می کند.

تارسکی ثابت کرد که گروه های قابل قبول دقیقاً همان گروه هایی هستند که هیچ تجزیه متناقضی برای آنها وجود ندارد. از آنجا که در پارادوکس Banach – Tarski فقط به زیرگروه های رایگان نیاز است ، این منجر به حدس و گمان طولانی مدت فون نویمان شد که در سال 1980 رد شد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox