توسط علی رضا نقش نیلچی
| پنجشنبه بیست و چهارم تیر ۱۴۰۰ | 6:52
فرض کنید معادله دیفرانسیل است
یک راه حل سری قدرت دارد 
و فرمولی برای ضریب پیدا می کند 
.
اول ، ما داریم
![\ start {align *} && y & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n \\ [9pt] \ implies && y '& = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} \\ [9pt] \ حاوی && y '' & = \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2}. \ end {align *}](https://www.stumblingrobot.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3f2eeae04d0c98028924c94f3f51a2a_l3.svg "ارائه شده توسط QuickLaTeX.com")
بنابراین ، از معادله دیفرانسیل داده شده که داریم
![\ start {align *} && y '' + xy '+ y & = 0 \\ [9pt] \ implies && \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n- 2} + x \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ n + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ implies && 2a_2 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n + 2) ( n + 1) a_ {n + 2} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} na_n x ^ n + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} ((n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + na_n + a_n) x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} ((n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + (n + 1 ) a_n) x ^ n & = 0. \ end {align *}](https://www.stumblingrobot.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a8aaab917488ff0ae3bc64c2a555158_l3.svg "ارائه شده توسط QuickLaTeX.com")
از آنجا که هر ضریب 
باید برابر 0 باشد تا این معادله داشته باشد
![\ start {align *} 2a_2 + a_0 & = 0 \\ [9pt] (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + (n + 1) a_n & = 0 & \ دلالت بر && a_ {n +2} = \ frac {-1} {n + 2} a_n. \ end {align *}](https://www.stumblingrobot.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22f2e65448b234f6323208966c3e9191_l3.svg "ارائه شده توسط QuickLaTeX.com")
با استقرا پس داریم
![\ start {align *} a_ {2n} & = \ frac {(- 1) ^ n} {2 \ cdot 4 \ cdot \ cdots \ cdot (2n)} \\ [9pt] a_ {2n + 1} & = \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ cdots \ cdot (2n-1)}. \ end {align *}](https://www.stumblingrobot.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70301e29820b501e87991cb35a073eab_l3.svg "ارائه شده توسط QuickLaTeX.com")
ضرایب 
و 
خودسرانه هستند و ما آنها معنی شده توسط 
و 
به ترتیب. پس ما داریم
![\ [y = c_0 \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n}} {2 \ cdot 4 \ cdots (2n)} \ right) + c_1 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n + 1} x ^ {2n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (2n-1)}. \]](https://www.stumblingrobot.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2f623f4bdeffb5522238581bba2ed00_l3.svg "ارائه شده توسط QuickLaTeX.com")
https://www.stumblingrobot.com/2016/04/24/assume-y-xy-y-0-power-series-solution-determine-coefficient/
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.