فرض کنید معادله دیفرانسیل است

  \ [y ”

یک راه حل سری قدرت دارد y = \ sum a_n x ^ nو فرمولی برای ضریب پیدا می کند a_n.

اول ، ما داریم

  \ start {align *} && y & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n \\ [9pt] \ implies && y '& = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} \\ [9pt] \ حاوی && y '' & = \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n-2}. \ end {align *}

بنابراین ، از معادله دیفرانسیل داده شده که داریم

  \ start {align *} && y '' + xy '+ y & = 0 \\ [9pt] \ implies && \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} n (n-1) a_n x ^ {n- 2} + x \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ {n-1} + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n a_n x ^ n + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ implies && 2a_2 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n + 2) ( n + 1) a_ {n + 2} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} na_n x ^ n + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} ((n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + na_n + a_n) x ^ n & = 0 \\ [9pt] \ دلالت بر && 2a_2 + a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} ((n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + (n + 1 ) a_n) x ^ n & = 0. \ end {align *}

از آنجا که هر ضریب x ^ nباید برابر 0 باشد تا این معادله داشته باشد

  \ start {align *} 2a_2 + a_0 & = 0 \\ [9pt] (n + 2) (n + 1) a_ {n + 2} + (n + 1) a_n & = 0 & \ دلالت بر && a_ {n +2} = \ frac {-1} {n + 2} a_n. \ end {align *}

با استقرا پس داریم

  \ start {align *} a_ {2n} & = \ frac {(- 1) ^ n} {2 \ cdot 4 \ cdot \ cdots \ cdot (2n)} \\ [9pt] a_ {2n + 1} & = \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ cdots \ cdot (2n-1)}. \ end {align *}

ضرایب a_0و a_1خودسرانه هستند و ما آنها معنی شده توسط c_0و c_1به ترتیب. پس ما داریم

  \ [y = c_0 \ left (\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ nx ^ {2n}} {2 \ cdot 4 \ cdots (2n)} \ right) + c_1 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n + 1} x ^ {2n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdots (2n-1)}. \]

https://www.stumblingrobot.com/2016/04/24/assume-y-xy-y-0-power-series-solution-determine-coefficient/