نحوه محاسبه تبدیل لاپلاس یک تابع

اجازه دهید $f (t)$ تابعی باشد که برای آن تعریف شده باشد $t \ geq 0.$ سپس تعریف می کنیم تبدیل لاپلاس از $f (t)$ به عنوان تابع زیر برای هر مقدار از $s$ جایی که انتگرال جمع می شود.
- $F (s) = {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t$
با استفاده از تبدیل لاپلاس به یک تابع ، ما در حال تبدیل یک تابع از دامنه t (یا دامنه زمان) به دامنه s (یا دامنه لاپلاس) هستیم ، جایی که $F (ها)$ یک عملکرد پیچیده از یک متغیر پیچیده است. با این کار ، ما در حال تبدیل مسئله به دامنه ای هستیم که امیدواریم حل آن آسان تر باشد.
بدیهی است که تبدیل لاپلاس یک عملگر خطی است ، بنابراین می توانیم با انجام هر یک از انتگرال ها به صورت جداگانه ، تبدیل یک مقدار از اصطلاحات را در نظر بگیریم.
- $\ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} [af (t) + bg (t)] e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t = a \ int _ {{0 }} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t + b \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} g (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t$
به یاد داشته باشید که تبدیل لاپلاس تنها در صورت همگرایی انتگرال وجود دارد. اگر تابع $f (t)$ در هر جایی ناپیوسته است ، ما باید بسیار مراقب باشیم تا اطمینان حاصل کنیم که مرزهای انتگرال را برای جلوگیری از منفجر کردن تقسیم می کنیم.

قسمت1

اصول اولیه

1
عملکرد را در تعریف تبدیل لاپلاس جایگزین کنید. از نظر مفهومی ، محاسبه تبدیل Laplace از یک تابع بسیار آسان است. ما از تابع مثال استفاده خواهیم کرد $f (t) = e ^ {{at}}$ جایی که $آ$ یک ثابت (پیچیده) است به طوری که $\ operatorname {Re} (ها) <\ operatorname {Re} (a).$
- ${\ mathcal {L}} \ {e ^ {{at}} \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} e ^ {{at}} e ^ {{- st}} { \ mathrm {d}} t$
2
انتگرال را با استفاده از هر وسیله ممکن ارزیابی کنید. در مثال ما ، ارزیابی ما بسیار ساده است و ما فقط باید از قضیه اساسی حساب استفاده کنیم. در موارد پیچیده دیگر ، ممکن است از تکنیک هایی مانند ادغام قطعات یا تمایز در زیر انتگرال استفاده شود. محدودیت ما که $\ operatorname {Re} (ها) <\ operatorname {Re} (a)$ به معنای همگرایی انتگرال است ، یعنی به 0 می رود $t \ به \ بی فایده است.$
- ${\ start {تراز شده} {\ mathcal {L}} \ {e ^ {{در}} \} & = \ int _ {{0}} ^ {{\ نامعتبر}} e ^ {{(به عنوان) t} } {\ mathrm {d}} t \\ & = {\ frac {e ^ {{(as) t}}} {as}} {\ Bigg |} _ {{0}} ^ {{\ infty}} \\ & = {\ frac {1} {sa}} \ end {تراز شده}}$
- توجه کنید که این به ما دو تبدیل لاپلاس به صورت "رایگان" می دهد: توابع سینوس و کسینوس ، اگر عملکرد مربوطه را در نظر بگیریم $e ^ {{iat}}$ از طریق فرمول اولر. سپس در مخرج ، ما خواهیم داشت $s-ia ،$ و تنها چیزی که باقی می ماند برداشتن قسمتهای واقعی و خیالی این نتیجه است. ما همچنین می توانستیم مستقیماً ارزیابی کنیم ، اما این کار کمی بیشتر طول می کشد.
  - ${\ mathcal {L}} \ {\ cos at \} = \ operatorname {Re} \ چپ ({\ frac {1} {s-ia}} \ راست) = {\ frac {s} {s ^ {{ 2}} + a ^ {{2}}}}$
  - ${\ mathcal {L}} \ {\ sin at \} = \ operatorname {Im} \ چپ ({\ frac {1} {s-ia}} \ سمت راست) = {\ frac {a} {s ^ {{ 2}} + a ^ {{2}}}}$
3
تبدیل Laplace از تابع توان را ارزیابی کنید. قبل از حرکت ، باید تغییر شکل تابع توان را تعیین کنیم ، زیرا ویژگی خطی به ما امکان می دهد تبدیل را برای همه چند جمله ها تعیین کنیم. تابع توان ، تابع است $t ^ {{n}} ،$ جایی که $n$ هر عدد صحیح مثبت است برای تعیین یک قانون بازگشتی می توانیم از ادغام قطعات استفاده کنیم.
- ${\ mathcal {L}} \ {t ^ {{n}} \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} t ^ {{n}} e ^ {{- st}} { \ mathrm {d}} t = {\ frac {n} {s}} {\ mathcal {L}} \ {t ^ {{n-1}} \}$
- نتیجه ما به صراحت نوشته نشده است ، بلکه از جایگزینی چند مقدار از است $n ،$ الگوی روشنی ظاهر می شود (خودتان امتحان کنید) ، که از این طریق می توانیم نتیجه زیر را تعیین کنیم.
  - ${\ mathcal {L}} \ {t ^ {{n}} \} = {\ frac {n!} {s ^ {{n + 1}}}}$
- همچنین می توان با استفاده از تابع گاما ، تبدیل های کسری Laplace را تعیین کرد. این به ما اجازه می دهد تغییر شکل توابع مانند $f (t) = {\ sqrt {t}}.$
  - ${\ mathcal {L}} \ {t ^ {{n}} \} = {\ frac {\ Gamma (n + 1)} {s ^ {{n + 1}}}}$
  - ${\ mathcal {L}} \ {t ^ {{1/2}} \} = {\ frac {\ Gamma (3/2)} {s ^ {{3/2}}}}} = {\ frac { {\ sqrt {\ pi}}} {2s {\ sqrt {s}}}}$
- اگرچه توابع با توان کسری باید دارای برش شاخه ای باشند (این مورد را برای هر عدد مختلط یادآوری کنید) $z$ و $\ آلفا ،$ بازنویسی می کنیم $z ^ {{\ alpha}}$ مانند $e ^ {{\ alpha \ operatorname {Log} z}}$ ) ، ما همیشه می توانیم آنها را طوری تعریف کنیم که شاخه های شاخه در نیم صفحه چپ قرار بگیرند تا از تجزیه و تحلیل جلوگیری کنند.

قسمت2

خصوصیات تبدیل لاپلاس

1
تبدیل لاپلاس یک تابع ضرب را در آن تعیین کنید هآتی $e ^ {{at}}$ . نتایج در بخش قبلی به ما اجازه داده است نگاهی اجمالی به برخی از خصوصیات جالب تبدیل لاپلاس داشته باشیم. به نظر می رسد تبدیل لاپلاس از توابع مانند کسینوسین ، سینوس و تابع نمایی ساده تر از تبدیل تابع قدرت است. خواهیم دید که ضرب در{\ displaystyle e ^ {at}} $e ^ {{at}}$ در دامنه t مربوط به تغییر در دامنه s است.
- ${\ mathcal {L}} \ {e ^ {{at}} f (t) \} = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- (sa) t}} {\ mathrm {d}} t = F (sa)$
- این ویژگی بلافاصله به ما امکان می دهد تغییر شکل توابع مانند $f (t) = e ^ {{3t}} \ sin 2t$ بدون نیاز به ارزیابی مستقیم انتگرال.
  - ${\ mathcal {L}} \ {e ^ {{3t}} \ sin 2t \} = {\ frac {2} {(s-3) ^ {{2}} + 4}}$
2
تبدیل لاپلاس یک تابع ضرب را در آن تعیین کنید تیn $t ^ {{n}}$ . بیایید ضرب در را در نظر بگیریم $تی$ اولین. سپس از تعریف ، می توانیم در زیر انتگرال تفاوت ایجاد کنیم تا به طور شگفت آور یک نتیجه تمیز بدست آوریم.
- ${\ start {تراز شده} {\ mathcal {L}} \ {tf (t) \} & = \ int _ {{0}} ^ {{\ نامعتبر}} tf (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ & = - \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) {\ frac {\ partial} {\ partial s}} e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ & = - {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} s}} \ int _ {{0}} ^ {{ \ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ & = - {\ frac {{\ mathrm {d}} F} {{\ mathrm {d}} s}} \ end {تراز شده}}$
- با تکرار این روند ، به نتیجه کلی می رسیم.
  - ${\ mathcal {L}} \ {t ^ {{n}} f (t) \} = (- 1) ^ {{n}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{n}} F} {{\ mathrm {d}} s ^ {{n}}}}$
- تبادل عملگرهای انتگرال و تمایز در مورد سختگیری کمی توجیه می شود ، اما ما در اینجا توجیه نمی کنیم مگر اینکه توجه داشته باشیم که تا زمانی که جواب نهایی ما منطقی باشد این عملیات مجاز است. کمی راحتی می تواند در این واقعیت جستجو شود $s$ و $تی$ متغیرهایی هستند که مستقل از یکدیگر هستند.
- البته ، با استفاده از این خاصیت ، لاپلاس توابعی را تغییر می دهد $t ^ {{2}} \ cos 2t$ بدون نیاز به استفاده مکرر از ادغام توسط قطعات ، به راحتی یافت می شوند.
  - ${\ mathcal {L}} \ {t ^ {{2}} \ cos 2t \} = {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {{2}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {{2}}}} {\ frac {s} {s ^ {{2}} + 4}} = {\ frac {2s ^ {{3}} - 24s} {(s ^ {{2}} + 4) ^ {{3}}}}$
3
تبدیل لاپلاس یک تابع کشیده را تعیین کنید $f (در)$ . با استفاده از تعریف ، ما همچنین می توانیم به راحتی با استفاده از جایگزینی u این تغییر شکل را تعیین کنیم.
- ${\ start {تراز شده} {\ mathcal {L}} \ {f (در) \} & = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (در) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t ، \ \ u = at \\ & = {\ frac {1} {a}} \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (u) e ^ { {-su / a}} {\ mathrm {d}} u \\ & = {\ frac {1} {a}} F \ چپ ({\ frac {s} {a}} \ راست) \ end {تراز شده }}$
- پیش از این ، ما تبدیلات لاپلاس را پیدا کردیم $\ گناه در$ و $\ cos در$ از عملکرد نمایی به طور مستقیم. ما می توانیم از این ویژگی برای رسیدن به همان نتیجه شروع کنیم ، از پیدا کردن قسمت های واقعی و خیالی آن ${\ mathcal {L}} \ {e ^ {{it}} \} = {\ frac {1} {si}}$ .
4
تبدیل لاپلاس یک مشتق را تعیین کنید $f ^ {{\ prime}} (t)$ . بر خلاف نتایج قبلی ما که کمی کار را از ادغام قطعات نجات داد ، ما باید در اینجا از ادغام قطعات استفاده کنیم.
- ${\ start {تراز شده} {\ mathcal {L}} \ {f ^ {{\ نخست}} (t) \} & = \ int _ {{0}} ^ {{\ ناکافی}} f ^ {{\ prime}} (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t ، \ \ u = e ^ {{- st}} ، \ {\ mathrm {d}} v = f ^ {{ \ prime}} (t) {\ mathrm {d}} t \\ & = f (t) e ^ {{- st}} {\ Big |} _ {{0}} ^ {{\ infty}} + s \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ & = sF (s) -f (0) \ پایان {تراز شده}}$
- از آنجا که مشتق دوم در بسیاری از کاربردهای فیزیکی وجود دارد ، ما تبدیل لاپلاس مشتق دوم را نیز لیست می کنیم.
  - ${\ mathcal {L}} \ {f ^ {{\ prime \ prime}} (t) \} = s ^ {{2}} F (s) -sf (0) -f ^ {{\ Prime}} (0)$
- به طور کلی ، معلوم می شود که تبدیل لاپلاس مشتق n با نتیجه زیر ارائه می شود. این نتیجه در حل معادلات دیفرانسیل از طریق تبدیل لاپلاس مهم است.
  - ${\ mathcal {L}} \ {f ^ {{(n)}} (t) \} = s ^ {{n}} F (s) - \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n -1}} s ^ {{nk-1}} f ^ {{(k)}} (0)$

قسمت

1
تبدیل لاپلاس یک تابع تناوبی را تعیین کنید. یک تابع دوره ای تابعی است که خاصیت را برآورده می کند $f (t) = f (t + nT) ،$ جایی که $تی$ دوره عملکرد است و $n$ یک عدد صحیح مثبت است توابع دوره ای در بسیاری از کاربردها در پردازش سیگنال و مهندسی برق نشان داده می شوند. با استفاده از کمی دستکاری ، به جواب زیر می رسیم.
- ${\ start {تراز شده} {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} & = \ int _ {{0}} ^ {{\ ناکافی}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ & = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ int _ {{nT}} ^ {{(n + 1) T}} f ( t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ & = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ int _ {{0}} ^ {{ T}} f (t + nT) e ^ {{- s (t + nT)}} {\ mathrm {d}} t \\ & = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty} } e ^ {{- snT}} \ int _ {{0}} ^ {{T}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \\ & = {\ frac {1} {1-e ^ {{- sT}}}} \ int _ {{0}} ^ {{T}} f (t) e ^ {{- st}} {\ mathrm {d}} t \ end {تراز شده}}$
- می بینیم که تبدیل لاپلاس یک تابع تناوبی مربوط به تبدیل لاپلاس یک چرخه از تابع است.
2
به مقاله محاسبه تبدیل لاپلاس لگاریتم طبیعی مراجعه کنید . این انتگرال را نمی توان با استفاده از قضیه بنیادی حساب ارزیابی کرد زیرا ضد اشتقاق را نمی توان از نظر توابع اولیه بیان کرد. این مقاله در مورد یک تکنیک با استفاده از تابع گاما و گسترش سری مختلف آن برای ارزیابی ثبت طبیعی و قدرت بالاتر آن بحث می کند. حضور ثابت اولر-ماشکرونی $\ گاما$ کافی است تا اشاره کنیم که انتگرال باید با استفاده از روشهای سری ارزیابی شود.
- ${\ mathcal {L}} \ {\ ln t \} = - {\ frac {\ gamma + \ ln s} {s}}$
3
تبدیل لاپلاس از عملکرد sinc (غیر عادی) را ارزیابی کنید. عملکرد $\ operatorname {sinc} (t) = {\ frac {\ sin t} {t}}$ تابعی است که به طور گسترده در پردازش سیگنال مشاهده می شود و ممکن است از معادلات دیفرانسیل به عنوان معادل تابع Bessel کروی مرتبه صفر از نوع اول قابل تشخیص باشد $j _ {{0}} (x).$ تبدیل لاپلاس این تابع را نیز نمی توان به روش استاندارد محاسبه کرد. ما متوسل به تغییر اصطلاحاً به مدت مجاز می شویم زیرا اصطلاحات منفرد توابع قدرت هستند و بنابراین تغییرات آنها قطعاً در بازه تعیین شده همگرا می شوند.
- ما با نوشتن سری تیلور از این عملکرد شروع می کنیم.
  - ${\ frac {\ sin t} {t}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {{n}} t ^ {{2n} }} {(2n + 1)!}}$
- اکنون ما به سادگی با استفاده از تبدیل لاپلاس از تابع توان که می شناسیم تبدیل می شویم. فاکتوریل ها لغو می شوند ، و پس از خیره شدن به بیان ما ، ما سری تیلور را از مماس معکوس ، سری متناوب که از نظر عملکرد سینوسی مانند سری تیلور به نظر می رسد ، بدون فاکتوریل می شناسیم.
  - ${\ start {تراز شده} {\ mathcal {L}} \ چپ \ {{\ frac {\ sin t} {t}} \ راست \} & = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ ناکارآمد }} {\ frac {(-1) ^ {{n}} (2n)!} {(2n + 1)!}} {\ frac {1} {s ^ {{2n + 1}}}} \ \ & = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {{n}}} {2n + 1}} {\ frac {1} {s ^ { {2n + 1}}}} \\ & = \ tan ^ {{- 1}} {\ frac {1} {s}} \ end {تراز شده}}$