ادامه تابع پله‌ای هویساید

فرم گسسته [ ویرایش ]

فرم جایگزین گام واحد ، که در عوض به عنوان یک تابع تعریف می شود ${\ displaystyle H: \ mathbb {Z} \ به \ mathbb {R}}$ (یعنی در نظر گرفتن متغیر گسسته n ) ، عبارت است از:

${\ displaystyle H [n] = {\ start {موارد} 0 ، و n <0 ، \\ 1 ، و n \ geq 0 ، \ پایان {موارد}}}$

یا با استفاده از کنوانسیون حداکثر: [2]

${\ displaystyle H [n] = {\ start {موارد} 0 ، و n <0 ، \\ {\ tfrac {1} {2}} ، و n = 0 ، \\ 1 ، و n> 0 ، \ پایان {موارد} }}$

که در آن n یک عدد صحیح است . اگر n یک عدد صحیح است ، پس n <0 باید نشان دهد که n <= -1 ، در حالی که n > 0 باید به این معنی باشد که عملکرد در n = 1 به وحدت می رسد بنابراین "تابع مرحله" رفتاری شیب دار مانند در دامنه [-1،1] ، و به طور واقعی نمی تواند یک تابع گام باشد ، با استفاده از کنوانسیون نیمه حداکثر.

برخلاف حالت پیوسته ، تعریف H [0] قابل توجه است.

تک تک واحد زمان گسسته اولین تفاوت مرحله زمان گسسته است

${\ displaystyle \ delta [n] = H [n] -H [n-1].}$

این تابع جمع تجمعی دلتا کرونکر است :

${\ displaystyle H [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {n} \ delta [k]}$

جایی که

${\ displaystyle \ delta [k] = \ delta _ {k، 0}}$

است تابع واحد ضربه گسسته .

ضد مشتق و مشتق [ ویرایش ]

تابع سطح شیب دار یک IS نامعین از تابع پلهای هویساید:

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {x} H (\ xi) \، d \ xi = xH (x) = \ max \ {0، x \} \ ،.}$

مشتق توزیعی از تابع پله ای هویساید است تابع دیراک دلتا :

${\ displaystyle {\ frac {dH (x)} {dx}} = \ دلتا (x) \ ،.}$

تبدیل فوریه [ ویرایش ]

تبدیل فوریه از تابع پله ای هویساید یک توزیع است. استفاده از یک انتخاب ثابت برای تعریف تبدیل فوریه که داریم

${\ displaystyle {\ hat {H}} (s) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ int _ {- N} ^ {N} e ^ {- 2 \ pi ixs} H (x) \، dx = {\ frac {1} {2}} \ چپ (\ دلتا (ها) - {\ frac {i} {\ pi}} \ operatorname {pv} {\ frac {1} {s}} \ راست) .}$

اینجا pv1/sاست توزیع طول می کشد که یک تابع آزمون φ به مقدار اصلی کوشی از ∫∞
-∞ φ ( ها )/s DS . حد ظاهر شده در انتگرال نیز به معنای توزیع های (معتدل) در نظر گرفته شده است.

تبدیل یک طرفه لاپلاس [ ویرایش ]

تبدیل لاپلاس تابع پلهای هویساید یک تابع مرومورفیک است. با استفاده از تبدیل لاپلاس یک طرفه ما:

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} {\ کلاه {H}} (ها) & = \ lim _ {N \ به \ ناقص} \ int _ {0} ^ {N} e ^ {- sx} H (x ) \، dx \\ & = \ lim _ {N \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {N} e ^ {- sx} \، dx \\ & = {\ frac {1} {s} } \ end {تراز شده}}}$