ادامه تبدیل لاپلاس

نظریه احتمال [ ویرایش ]

در احتمال خالص و کاربردی ، تبدیل لاپلاس به عنوان یک مقدار مورد انتظار تعریف می شود . اگر X یک متغیر تصادفی با تابع چگالی احتمال f باشد ، بنابراین تبدیل Laplace از f با انتظار ارائه می شود

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ operatorname {E} \! \ left [e ^ {- sX} \ right] \ !.}$

طبق قرارداد ، از این به عنوان تبدیل لاپلاس متغیر تصادفی X یاد می شود. در اینجا، به جای بازدید کنندگان توسط - تی می دهد تابع مولد گشتاور از X . تبدیل لاپلاس دارای کاربردهای سراسر نظریه احتمال، از جمله بار برای اولین بار عبور از فرایندهای تصادفی مانند زنجیره مارکوف ، و نظریه تجدید .

از کاربردهای ویژه ، توانایی بازیابی تابع توزیع تجمعی یک متغیر تصادفی پیوسته X ، با استفاده از تبدیل لاپلاس به شرح زیر است: [19]

${\ displaystyle F_ {X} (x) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \! \ left \ {{\ frac {1} {s}} \ operatorname {E} \ left [e ^ { -sX} \ راست] \ راست \} \! (x) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \! \ چپ \ {{\ frac {1} {s}} {\ mathcal {L} } \ {f \} (ها) \ راست \} \! (x).}$

منطقه همگرایی [ ویرایش ]

اگر F یک تابع به صورت محلی انتگرال (اندازه گیری بورل به صورت محلی تنوع محدود یا به طور کلی) است، پس از تبدیل لاپلاس F ( بازدید کنندگان ) از F همگرا به شرطی که از حد

$\ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {R} f (t) e ^ {- st} \، dt$

وجود دارد

تبدیل لاپلاس کاملاً یکپارچه است اگر انتگرال باشد

$\ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | f (t) e ^ {- st} \ right | \، dt$

به عنوان یک انتگرال مناسب Lebesgue وجود دارد. تبدیل لاپلاس معمولاً به صورت همگرا مشروط شناخته می شود ، به این معنی که در معنای قبلی همگرا است اما در معنای دوم نه.

مجموعه مقادیری که F ( ها ) برای آنها کاملاً همگرایی می کند یا به شکل Re ( s )> a یا Re ( s ) ≥ a است ، جایی که a یک ثابت واقعی توسعه یافته با −∞ ≤ a ≤ ∞ است (نتیجه قضیه همگرایی مسلط ). ثابت a به عنوان abscissa همگرایی مطلق شناخته می شود و به رفتار رشد f ( t ) بستگی دارد . [20] به طور مشابه ، تبدیل دو طرفه کاملاً در یک نوار از شکل همگرا می شود a s ) < b ، و احتمالاً شامل خطوط Re ( s ) = a یا Re ( s ) = b . [21] به زیرمجموعه مقادیر s که تبدیل لاپلاس برای آنها کاملاً همگراست ، ناحیه همگرایی مطلق یا قلمرو همگرایی مطلق نامیده می شود. در حالت دو طرفه ، گاهی اوقات نوار همگرایی مطلق نامیده می شود. تبدیل لاپلاس در منطقه همگرایی مطلق تحلیلی است: این یک نتیجه از تئوری نوبینی است و قضیه موررا .

به همین ترتیب ، مجموعه مقادیری که F ( ها ) برای آنها همگرایی می کنند (به طور شرطی یا مطلق) به عنوان منطقه همگرایی شرطی یا به سادگی منطقه همگرایی (ROC) شناخته می شوند. اگر تبدیل لاپلاس در s = s 0 همگرا شود (به طور شرطی) ، پس با Re ( s )> Re ( s 0 ) به طور خودکار برای همه s همگرا می شود . بنابراین ، منطقه همگرایی یک نیم صفحه از فرم Re ( s )> a است ، احتمالاً شامل برخی از نقاط خط مرزی Re ( s ) = a است .

در منطقه همگرایی Re ( s )> Re ( s 0 ) ، تبدیل لاپلاس f را می توان با ادغام قطعات به عنوان انتگرال بیان کرد

${\ displaystyle F (s) = (s-s_ {0}) \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- (s-s_ {0}) t} \ beta (t) \، dt، \ quad \ beta (u) = \ int _ {0} ^ {u} e ^ {- s_ {0} t} f (t) \، dt.}$

به این معنی که F ( ها ) می توانند در ناحیه همگرایی به عنوان تبدیل کاملاً همگرا Laplace از برخی عملکردهای دیگر بیان شوند. به طور خاص ، تحلیلی است.

چندین قضیه پالی-وینر در مورد رابطه بین خواص پوسیدگی f و خصوصیات تبدیل لاپلاس در منطقه همگرایی وجود دارد.

در کاربردهای مهندسی ، اگر هر ورودی محدود ، یک خروجی محدود تولید کند ، تابعی که مربوط به سیستم خطی زمان ثابت (LTI) باشد ، پایدار است . این معادل همگرایی مطلق تبدیل لاپلاس از تابع پاسخ ضربه در منطقه Re ( s ) ≥ 0 است . در نتیجه ، سیستم های LTI پایدار هستند ، به شرطی که قطب های تبدیل لاپلاس از تابع پاسخ ضربه بخشی واقعی منفی داشته باشند.

این ROC در آگاهی از علیت و ثبات یک سیستم استفاده می شود.

خصوصیات و قضیه ها [ ویرایش ]

تبدیل لاپلاس دارای تعدادی ویژگی است که آن را برای تجزیه و تحلیل سیستم های دینامیکی خطی مفید می کند . بیشترین مزیت قابل توجه این است که تمایز ضرب می شود، و ادغام تقسیم می شود، توسط بازدید کنندگان (یادآور راه لگاریتم تغییر ضرب به علاوه از انساب).

به دلیل این ویژگی ، متغیر Laplace s نیز به عنوان متغیر عملگر در دامنه L شناخته می شود: یا اپراتور مشتق یا اپراتور ادغام (برای s -1 ) . تبدیل معادلات انتگرال و معادلات دیفرانسیل را به معادلات چند جمله ای تبدیل می کند که حل آنها بسیار آسان تر است. پس از حل ، استفاده از تبدیل Laplace معکوس به دامنه اصلی بازمی گردد.

با توجه به توابع F ( T ) و گرم ( تی ) ، و مربوطه لاپلاس خود را تبدیل F ( بازدید کنندگان ) و G ( بازدید کنندگان ) ،

${\ start {تراز شده} f (t) & = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {F (ها) \} ، \\ g (t) & = {\ mathcal {L}} ^ { -1} \ {G (ها) \} ، \ پایان {تراز شده}}$

جدول زیر لیستی از خصوصیات تبدیل یک طرفه لاپلاس است: [22]

خصوصیات تبدیل لاپلاس یک طرفه
	دامنه زمانی	بازدید کنندگان دامنه	اظهار نظر
خطی بودن	$af (t) + bg (t) \$	$aF (ها) + bG (ها) \$	با استفاده از قوانین اساسی ادغام می توان اثبات کرد.
مشتق دامنه فرکانس	$tf (t) \$	$-F '(ها) \$	F ، مشتق اول است F با توجه به بازدید کنندگان .
مشتق عمومی دامنه فرکانس	$t ^ {n} f (t) \$	$(-1) ^ {n} F ^ {(n)} (ها) \$	شکل کلی تر ، مشتق n ام از F ( s ) .
مشتق	$f '(t) \$	${\ displaystyle sF (s) -f (0 ^ {-}) \}$	f یک تابع قابل تفکیک فرض می شودو مشتق آن از نوع نمایی فرض می شود. سپس می توان با ادغام قطعات ، این مورد را بدست آورد
مشتق دوم		${\ textstyle s ^ {2} F (s) -sf (0 ^ {-}) - f '(0 ^ {-}) \}$	f فرض می شود که دو برابر قابل تغییر است و مشتق دوم از نوع نمایی است. با استفاده از ویژگی Differentiation به f ′ ( t ) دنبال می کند .
مشتق کلی	$f ^ {(n)} (t) \$	${\ displaystyle s ^ {n} F (s) - \ sum _ {k = 1} ^ {n} s ^ {nk} f ^ {(k-1)} (0 ^ {-}) \}$	f فرض می شود n - بار قابل تغییر باشد ، با n مشتق از نوع نمایی. به دنبال استقرا mathemat ریاضی است .
یکپارچه سازی دامنه فرکانس	${\ frac {1} {t}} f (t) \$	$\ int _ {s} ^ {\ infty} F (\ sigma) \ ، d \ sigma \$	این با استفاده از ماهیت تمایز فرکانس و همگرایی شرطی استنباط می شود.
ادغام دامنه زمانی	$\ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \ ، d \ tau = (u * f) (t)$	${1 \ بیش از s} F (ها)$	تو ( تی ) تابع پلهای هویساید و ( U * F ) ( تی ) است پیچیدگی از تو ( تی ) و F ( T ) .
تغییر فرکانس	$e ^ {at} f (t) \$	$F (sa) \$
تغییر زمان	$f (ta) u (ta) \$	$e ^ {- as} F (ها) \$	$a> 0 \$ ، u ( t ) تابع مرحله Heaviside است
مقیاس گذاری زمان	$f (در)$	${\ displaystyle {\ frac {1} {a}} F \ چپ ({s \ بیش از}} راست)}$	$a> 0 \$
ضرب	$f (t) g (t)$	${\ frac {1} {2 \ pi i}} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {c-iT} ^ {c + iT} F (\ sigma) G (s- \ sigma) \ ، d \ سیگما \$	ادغام در امتداد خط عمودی Re ( σ ) = c انجام می شود که کاملاً در منطقه همگرایی F قرار دارد . [23]
همگرایی	$(f * g) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) g (t- \ tau) \ ، d \ tau$	$F (ها) \ cdot G (ها) \$
صرف پیچیده	$f ^ {*} (t)$	$F ^ {} (s ^ {})$
همبستگی متقابل	$f (t) \ ستاره g (t)$	$F ^ {} (- s ^ {}) \ cdot G (s)$
عملکرد دوره ای	$f (t)$	${1 \ over 1-e ^ {- Ts}} \ int _ {0} ^ {T} e ^ {- st} f (t) \، dt$	f ( t ) تابعی دوره ای از دوره T است به طوری که f ( t ) = f ( t + T ) ، برای همه t ≥ 0 . این نتیجه خاصیت تغییر زمان و سری هندسی است .