در ریاضیات ، به تبدیل لاپلاس ، پس از مخترع آن نام پیر سیمون لاپلاس ( / L ə ص L ɑː بازدید کنندگان / )، یک تبدیل انتگرالی است که تبدیل یک تابع یک متغیر واقعیتی(غالباً زمان ) به تابعی از یک متغیر پیچیده s( فرکانس پیچیده ). تبدیل دارای کاربردهای زیادی در علم و مهندسی است زیرا ابزاری برای حل معادلات دیفرانسیل است . به طور خاص ، معادلات دیفرانسیل خطی را به معادلات جبری و کانولوشن را به ضرب تبدیل می کند. [1] [2] [3]

برای توابع مناسب f ، تبدیل Laplace یکپارچه است

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \، dt.}

 

فهرست

تاریخچه [ ویرایش ]

تبدیل لاپلاس به دلیل ریاضیدان و ستاره شناس پیر-سیمون لاپلاس نامگذاری شده است ، که در کار خود در مورد نظریه احتمال از یک تغییر شکل مشابه استفاده کرده است. [4] لاپلاس درباره استفاده از توابع تولیدی در Essai filiofique sur les probabilités (1814) به طور گسترده نوشت و فرم انتگرالی تبدیل لاپلاس به طور طبیعی در نتیجه تکامل یافت. [5]

استفاده لاپلاس از توابع تولیدی مشابه آنچه در حال حاضر به عنوان تبدیل z شناخته می شود ، بود و او توجه کمی به مورد متغیر پیوسته داشت که توسط نیلز هنریک ابل مورد بحث قرار گرفت . [6] این نظریه بیشتر در قرن 19 و اوایل قرن 20 توسط ماتیاس لرچ ، [7] اولیور هیویساید ، [8] و توماس برومویچ توسعه یافت . [9]

کاربرد گسترده فعلی تغییر شکل (عمدتا در مهندسی) در طی جنگ جهانی دوم و بلافاصله پس از آن بوجود آمد ، [10] جایگزین حساب عملیاتی قبلی Heaviside شد. Gustav Doetsch ، [11] که ظاهراً نام تبدیل لاپلاس بخاطر اوست ، بر مزایای تبدیل لاپلاس تأکید کرده بود .

از سال 1744 ، لئونارد اویلر انتگرال های فرم را بررسی کرد

z = \ int X (x) e ^ {ax} \، dx \ quad {\ text {and}} \ quad z = \ int X (x) x ^ {A} \، dx

به عنوان راه حل معادلات دیفرانسیل ، اما موضوع را خیلی دنبال نکرد. [12] جوزف لوئیس لاگرانژ ستایشگر اولر بود و در کار خود در زمینه تلفیق توابع چگالی احتمال ، عبارات فرم را بررسی کرد

\ int X (x) e ^ {- ax} a ^ {x} \، dx،

که برخی از مورخان مدرن در تئوری مدرن تبدیل لاپلاس تفسیر کرده اند. [13] [14] [ توضیحات لازم است ]

به نظر می رسد این نوع انتگرال ها ابتدا توجه لاپلاس را در سال 1782 جلب کرده اند ، جایی که وی با استفاده از انتگرال ها به عنوان راه حل معادلات ، با روحیه اولر دنبال می کرد. [15] با این حال ، در سال 1785 ، لاپلاس گام اساسی را به جلو برداشت وقتی که ، به جای اینکه به سادگی به دنبال یک راه حل در قالب یک انتگرال باشد ، شروع به اعمال تحولات به معنایی کرد که بعداً محبوب شد. او از انتگرال فرم استفاده کرد

{\ displaystyle \ int x ^ {s} \ varphi (x) \، dx،}

شبیه به تبدیل ملین ، برای تبدیل کل معادله اختلاف ، به منظور یافتن راه حل های معادله تبدیل شده. او سپس به استفاده از تبدیل لاپلاس به همان روش ادامه داد و شروع به استخراج برخی از خواص آن کرد ، شروع به ارزیابی قدرت بالقوه آن کرد. [16]

لاپلاس همچنین تشخیص داد که روش جوزف فوریه از سری فوریه برای حل معادله نفوذ فقط در یک منطقه محدود از فضا قابل استفاده است ، زیرا این راه حل ها به صورت دوره ای بودند . در 1809 ، لاپلاس تغییر شکل خود را برای یافتن راه حل هایی که به طور نامحدود در فضا پخش می شوند ، اعمال کرد. [17]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform