ریاضیات

برای حل معادلات دیفرانسیل (مرتبه اول و درجه دوم) با ضرایب ثابت می توانید از عملگر تبدیل Laplace استفاده کنید. معادلات دیفرانسیل باید IVP با شرایط اولیه مشخص شده در x = 0 باشد.

توصیف روش ساده است. با توجه به IVP ، عملگر تبدیل Laplace را در هر دو طرف معادله دیفرانسیل اعمال کنید. این معادله دیفرانسیل را به یک   معادله جبری تبدیل می کند که F ( p ) آن ناشناخته ،  تبدیل لاپلاس محلول مورد نظر است. هنگامی که این معادله جبری را برای F (  p ) حل کردید  ، تبدیل Laplace معکوس هر دو طرف را بگیرید. نتیجه راه حل IVP اصلی است.

قبل از انجام این فرآیند ، لازم است ببینیم که عملگر تبدیل Laplace با y ′ و  y does چه می کند  . ادغام با بازده قطعات 

بنابراین

جایگزینی  y  با  y this در این نتیجه تبدیل لاپلاس y gives را می دهد  :

جدول 1 تبدیلات لاپلاس را در تعدادی از عملکردهای متداول و همچنین برخی از خصوصیات مهم عملگر تبدیل Laplace  L جمع می کند .

مثال 1 : برای حل IVP از عملگر تبدیل Laplace استفاده کنید

عملگر  L را  به دو طرف معادله دیفرانسیل اعمال کنید. سپس از خطی بودن ، شرط اولیه و جدول استفاده کنید 1 برای  L [  y ] حل شود:

از این رو،

با تجزیه کسری جزئی ،

بنابراین

راه حل IVP است.

معمولاً وقتی با IVP روبرو می شوید ،  ابتدا  راه حل کلی معادله دیفرانسیل را پیدا می کنید و  سپس  از شرایط اولیه برای ارزیابی ثابت (ها) استفاده می کنید. در مقابل ، روش تبدیل لاپلاس از شرایط اولیه در ابتدای راه حل استفاده می کند به طوری که نتیجه به دست آمده در مرحله آخر با انجام تبدیل معکوس لاپلاس به طور خودکار ثابت ها را ارزیابی می کند.

مثال 2 : برای حل از تبدیلات لاپلاس استفاده کنید

عملگر  L را  به دو طرف معادله دیفرانسیل اعمال کنید. سپس از خطی بودن ، شرایط اولیه و جدول استفاده کنید 1 برای  L [  y ] حل شود:

اما تجزیه کسری جزئی این عبارت برای  L [  y ] است

از این رو،

که نتیجه می دهد

مثال 3 : برای تعیین محلول IVP از تبدیلات لاپلاس استفاده کنید 

عملگر  L را  به دو طرف معادله دیفرانسیل اعمال کنید. سپس از خطی بودن ، شرایط اولیه و جدول استفاده کنید 1 برای  L [  y ] حل شود 

اکنون،

بنابراین

یا ساده تر ،

مثال 4 : از این واقعیت استفاده کنید که اگر  f (  x ) =  −1 [  F  (  p )] باشد ، برای هر ثابت مثبت  k ،

برای حل و طرح راه حل IVP

جایی که σ تابع مرحله است

در شکل 1 نشان داده شده است.

شکل 1

روش تبدیل لاپلاس به ویژه برای حل IVP مناسب است که شامل توابع ناپیوسته مانند تابع مرحله σ است که قبلا نشان داده شده است.

طبق معمول ، با گرفتن Laplce هر دو طرف معادله دیفرانسیل شروع کنید:

از آنجا که  y  (0) = 0 ، سمت چپ (*) به کاهش می یابد

با استفاده از تعریف  L ، اکنون سمت راست (*) ارزیابی می شود:

بنابراین ، معادله تبدیل شده (*) خوانده می شود

بنابراین

ولی 

بنابراین

اکنون ، از آنجا که  L  −1 [1 / (  p  - 1)] =  e  x  ، فرمولی که در بیان مسئله آمده است می گوید:

و از آنجا که  L  - 1 [1 / (  p ] = 1) ، با استفاده از فرمولی که در بیان مسئله آمده است بازهم بازدهی حاصل می شود

متناوباً ، به سادگی متوجه این موضوع شوید 

جایگزینی این نتایج در (**) راه حل IVP را می دهد:

که می شود

این عملکرد در شکل 2 ترسیم شده است:

منبع

https://www.cliffsnotes.com/study-guides/differential-equations/the-laplace-transform/solving-differential-equations