مثال [ ویرایش ]

تابع f ( z ) = 1 / z را در نظر بگیرید ، و اجازه دهید که خط L دایره واحد خلاف جهت عقربه های ساعت در حدود 0 باشد ، با استفاده از نماد پیچیده با z ( t ) = e آن با t در [0 ، 2π] پارامتری شود . با جایگزینی ، می یابیم:

{\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} \ oint _ {L} {\ frac {1} {z}} \ ، dz & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {1} {e ^ {it}}} یعنی ^ {it} \ ، dt = i \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- it} e ^ {it} \ ، dt \\ & = i \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} dt = i (2 \ pi -0) = 2 \ pi i. \ end {تراز شده}}}

این یک نتیجه معمول از فرمول انتگرالی کوشی و قضیه باقی مانده است .

رابطه انتگرال خط پیچیده و انتگرال خط میدان برداری [ ویرایش ]

مشاهده اعداد مختلط به عنوان بردارهای 2 بعدی ، انتگرال خط یک تابع با ارزش پیچیده{\ displaystyle f (z)}دارای قسمتهای واقعی و پیچیده برابر با انتگرال خط و انتگرال شار میدان برداری مربوط به تابع مزدوج است{\ displaystyle {\ overline {f (z)}}.} به طور خاص ، اگر\ mathbf {r} (t) = (x (t) ، y (t))L را پارامتر می کند ، وf (z) = u (z) + iv (z) مربوط به قسمت برداری است {\ displaystyle \ mathbf {F} (x، y) = {\ overline {f (x + iy)}}} = (u (x + iy) ، - v (x + iy)) ،} سپس:

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ int _ {L} f (z) \ ، dz & = \ int _ {L} (u + iv) (dx + i \ ، dy) \\ & = \ int _ { L} (u، -v) \ cdot (dx، dy) + i \ int _ {L} (u، -v) \ cdot (dy، -dx) \\ & = \ int _ {L} \ mathbf { F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} + i \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} ^ {\ perp} . \ پایان {تراز شده}}}

با توجه به قضیه کوشی ، انتگرال سمت چپ هنگام صفر استf (z)تحلیلی است (رضایت معادلات کوشی-ریمان ) برای هر منحنی بسته صاف L. به همین ترتیب ، با توجه به قضیه گرین ، انتگرال های دست راست هنگام صفر بودن{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ overline {f (z)}}}غیر محرک ( بدون حلقه ) و غیرقابل انعطاف ( بدون واگرایی ) است. در حقیقت ، معادلات کوشی-ریمان برایf (z)با ناپدید شدن حلقه و واگرایی برای F یکسان هستند .

توسط قضیه گرین ، منطقه یک منطقه محصور در یک منحنی صاف ، بسته و دارای جهت مثبت استل توسط انتگرال داده شده است {\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2i}} \ int _ {L} {\ overline {z}} \، dz.}برای مثال ، در اثبات قضیه منطقه از این واقعیت استفاده می شود .

مکانیک کوانتوم [ ویرایش ]

فرمولبندی انتگرال مسیر از مکانیک کوانتومی در واقع اشاره به انتگرال مسیر در این معنا اما نه انتگرال کاربردی ، این است که، انتگرال بیش از یک فضای مسیرها، یک تابع از یک مسیر امکان پذیر است. با این حال ، انتگرال مسیر به معنای این مقاله در مکانیک کوانتوم مهم است. به عنوان مثال ، یکپارچه سازی کانتور پیچیده اغلب در ارزیابی دامنه های احتمال در نظریه پراکندگی کوانتومی استفاده می شود .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید