انتگرال خط

بخشی از یک سری مقالات در مورد

حساب

نشان دادن

دیفرانسیل

نشان دادن

انتگرال

نشان دادن

سلسله

نشان دادن

بردار

پنهان شدن

چند متغیره

فرمالیسم
ماتریس تنسور خارجی هندسی
تعاریف
مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خط انتگرال سطح انتگرال حجم یعقوبیان حصیر

نشان دادن

تخصصی

نشان دادن

متفرقه

در ریاضیات ، انتگرال خط یک انتگرال است که در آن تابعی که برای ادغام در امتداد یک منحنی ارزیابی می شود . [1] از اصطلاحات مسیر انتگرال ، انتگرال منحنی و انتگرال منحنی نیز استفاده می شود. از انتگرال کانتور نیز استفاده می شود ، اگرچه که به طور معمول برای انتگرال های خط در صفحه پیچیده اختصاص داده می شود .

تابعی که باید یکپارچه شود می تواند یک قسمت اسکالر یا یک قسمت برداری باشد. مقدار انتگرال خط ، مجموع مقادیر میدان در تمام نقاط منحنی است که با مقداری تابع اسکالر روی منحنی وزن می شود (معمولاً طول قوس یا ، برای یک قسمت برداری ، محصول مقیاسی میدان بردار با دیفرانسیل بردار در منحنی). این توزین انتگرال خط را از انتگرال ساده تر که در فواصل زمانی مشخص شده اند متمایز می کند . بسیاری از فرمول های ساده در فیزیک ، مانند تعریف کار به عنوان ${\ displaystyle W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {s}}$ ، در این مورد از نظر انتگرال خط دارای آنالوگهای مداوم طبیعی هستند ${\ displaystyle \ textstyle W = \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {s}) \ cdot d \ mathbf {s}}$ ، که کار انجام شده روی جسمی را که از طریق میدان الکتریکی یا گرانشی F در امتداد یک مسیر در حال حرکت است محاسبه می کند $ل$ .

فهرست

حساب وکتور [ ویرایش ]

از نظر کیفی ، می توان یک انتگرال خط در حساب بردار را به عنوان معیاری برای اثر کل یک میدان تنسور معین در طول یک منحنی داده شده در نظر گرفت. به عنوان مثال ، انتگرال خط روی یک میدان اسکالر (تنسور درجه 0) را می توان به عنوان زیر زمین درست شده توسط یک منحنی خاص تراشیده شده تفسیر کرد. این را می توان بصورت سطح ایجاد شده توسط z = f ( x ، y ) و منحنی C در صفحه xy تجسم کرد . انتگرال خط f مساحت "پرده" ایجاد شده - هنگامی که نقاطی از سطح که مستقیماً بالای C هستند تراشیده می شود.

انتگرال خط یک میدان اسکالر [ ویرایش ]

انتگرال خط روی یک میدان اسکالر f را می توان به عنوان ناحیه زیر منحنی C در امتداد سطح z = f ( x ، y ) توصیف کرد که توسط این فیلد توصیف شده است.

تعریف [ ویرایش ]

برای بعضی از رشته های اسکالر ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$ جایی که ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ، انتگرال خط در امتداد یک منحنی صاف به صورت قطعه ای ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ زیرمجموعه U}$ به عنوان [2] تعریف شده است

${\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} f (\ mathbf {r}) \، ds = \ int _ {a} ^ {b} f \ چپ (\ mathbf {r} (t) \ راست) \ چپ | \ mathbf {r} '(t) \ راست | \ ، dt.}$

جایی که ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ colon [a، b] \ به {\ mathcal {C}}}$ یک پارامتری سازی ذهنی دلخواه منحنی است ${\ mathcal {C}}$ به طوری که r ( a ) و r ( b ) نقاط انتهایی را می دهند ${\ mathcal {C}}$ و < ب . در اینجا و در ادامه مقاله ، میله های مقدار مطلق نشان دهنده هنجار استاندارد (اقلیدسی) یک بردار است.

تابع f را یکپارچه ، منحنی می نامند ${\ mathcal {C}}$ دامنه ادغام است ، و نماد ds ممکن است بصری به عنوان یک طول قوس ابتدایی تفسیر شود . انتگرال های خطی زمینه های اسکالر روی یک منحنی ${\ mathcal {C}}$ به پارامتری سازی انتخاب شده r وابسته نیست ${\ mathcal {C}}$ . [3]

از نظر هندسی ، وقتی میدان اسکالر f بر روی صفحه تعریف می شود ( n = 2) ، نمودار آن یک سطح z = f ( x ، y ) در فضا است و انتگرال خط به سطح مقطع (امضا شده) محدود شده با منحنی ${\ mathcal {C}}$ و نمودار f . انیمیشن را در سمت راست مشاهده کنید.

اشتقاق [ ویرایش ]

برای یک انتگرال خطی روی یک میدان اسکالر ، انتگرال را می توان از یک جمع ریمان با استفاده از تعاریف فوق از f ، C و یک پارامتری سازی r از C ساخت . این را می توان با تقسیم فاصله [ a ، b ] به n زیر بازه [ t i- 1 ، t i ] طول Δ t = ( b - a ) / n ، سپس r ( t i )یک نقطه را نشان می دهد ، آن را یک نقطه نمونه روی منحنی C می نامیم . ما می توانیم از مجموعه نقاط نمونه { r ( t i ) استفاده کنیم: 1 ≤ i ≤ n } برای تقریب منحنی C توسط یک مسیر چند ضلعی با معرفی یک قطعه خط مستقیم بین هر یک از نقاط نمونه r ( t i- 1 ) و R ( تی من ) . سپس فاصله بین هر یک از نقاط نمونه منحنی را به عنوان Δ s i برچسب گذاری می کنیم . محصول f (r ( t i )) و Δ s i می توانند به ترتیب با مساحت امضا شده یک مستطیل با ارتفاع و عرض f ( r ( t i )) و Δ s i مرتبط باشند. با توجه به محدودیت از مجموع از شرایط به عنوان طول پارتیشن و نزدیک به صفر به ما می دهد

${\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta s_ {i} \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ mathbf {r} (t_ {i})) \، \ Delta s_ {من}.}$

با قضیه مقدار میانگین ، فاصله بین نقاط بعدی روی منحنی ، است

${\ displaystyle \ Delta s_ {i} = \ left | \ mathbf {r} (t_ {i} + \ Delta t) - \ mathbf {r} (t_ {i}) \ راست | \ تقریبی \ چپ | \ mathbf {r} '(t_ {i}) \ راست | \ دلتا t.}$