"قضیه گاوس" در اینجا هدایت می شود. برای قضیه گاوس در مورد میدان الکتریکی ، به قانون گاوس مراجعه کنید .

"قضیه استروگرادسکی" به اینجا هدایت می شود. برای قضیه استروگرادسکی در مورد بی ثباتی خطی هامیلتونی مرتبط با لاگرانژی وابسته به مشتقات زمان بالاتر از اولین ، به بی ثباتی استروگرادسکی مراجعه کنید .

بخشی از یک سری مقالات در مورد
حساب
نشان دادن

دیفرانسیل

نشان دادن

انتگرال

نشان دادن

سلسله

پنهان شدن

بردار

قضیه ها
نشان دادن

چند متغیره

نشان دادن

تخصصی

نشان دادن

متفرقه

در حساب بردار ، قضیه واگرایی ، همچنین به عنوان قضیه گاوس یا قضیه استروگرادسکی شناخته می شود ، [1] قضیه ای است که شار یک میدان برداری را از طریق یک سطح بسته به واگرایی میدان در حجم محصور شده مرتبط می کند.

به طور دقیق تر ، قضیه واگرایی بیان می کند که انتگرال سطح یک میدان برداری بر روی یک سطح بسته ، که از طریق سطح به آن شار گفته می شود ، برابر است با انتگرال حجمی واگرایی در منطقه داخل سطح. بصری ، بیان می کند که مجموع تمام منابع زمینه در یک منطقه (با غرق شدن به عنوان منابع منفی در نظر گرفته می شود) جریان خالص خارج از منطقه را فراهم می کند.

قضیه واگرایی نتیجه مهمی برای ریاضیات فیزیک و مهندسی ، به ویژه در الکترواستاتیک و دینامیک سیالات است . در این زمینه ها معمولاً به صورت سه بعدی اعمال می شود. با این حال ، به هر تعداد ابعادی تعمیم می یابد. در یک بعد ، معادل ادغام قطعات است . از دو بعد معادل قضیه گرین است .

فهرست

توضیح با استفاده از جریان مایع [ ویرایش ]

زمینه های برداری اغلب با استفاده از مثال میدان سرعت سیال ، مانند گاز یا مایع ، نشان داده می شوند. یک مایع متحرک در هر نقطه دارای یک سرعت است - یک سرعت و جهت - که می تواند توسط یک بردار نشان داده شود ، به طوری که سرعت مایع یک میدان برداری را تشکیل می دهد. یک سطح بسته خیالی S را در داخل یک بدن مایع در نظر بگیرید ، که حجم مایع را در بر می گیرد. شار از خارج مایع از حجم به نرخ حجم عبور مایع این سطح، به عنوان مثال، برابر است جدایی ناپذیر سطح از سرعت بر روی سطح.

از آنجا که مایعات غیرقابل انعطاف هستند ، مقدار مایع درون یک حجم بسته ثابت است. اگر هیچ منبع یا غرق در داخل حجم وجود نداشته باشد ، شار مایع از S صفر است. اگر مایع در حال حرکت باشد ، ممکن است در بعضی از نقاط سطح S به حجم و در نقاط دیگر از حجم خارج شود ، اما مقادیر جریان یافته در هر لحظه برابر است ، بنابراین شار خالص مایع از حجم صفر است.

اما اگر منبعی از مایع درون سطح بسته باشد ، مانند لوله ای که از طریق آن مایع وارد می شود ، مایع اضافی به مایع اطراف فشار وارد می کند و باعث جریان خارج از همه جهات می شود. این امر باعث ایجاد جریان خالص به خارج از سطح S می شود . شار خارج از S برابر سرعت حجم جریان سیال به S از لوله است. به طور مشابه اگر درون S یک سینک یا تخلیه وجود داشته باشد ، مانند لوله ای که مایع را تخلیه می کند ، فشار خارجی مایع باعث سرعت در مایع می شود که به سمت داخل به سمت محل تخلیه هدایت می شود. میزان حجم جریان مایع به داخل سطح S برابر است با میزان مایعی که توسط سینک ظرفشویی برداشته می شود.

اگر چندین منبع و غرق مایعات در داخل S وجود داشته باشد ، می توان با افزودن میزان حجم مایعات اضافه شده توسط منابع و کم کردن میزان مایع تخلیه شده توسط غرق ها ، جریان بین سطح را محاسبه کرد. میزان ولتاژ جریان مایع از طریق منبع یا سینک (با جریان منفذ با علامت منفی) برابر است با واگرایی میدان سرعت در دهانه لوله ، بنابراین جمع (ادغام) واگرایی مایع در کل حجم محصور شده توسط S برابر با حجم حجم شار از طریق S است . این قضیه واگرایی است. [2]

قضیه واگرایی در هر قانون حفاظتی به کار رفته است که می گوید حجم کل همه غرق ها و منابع ، یعنی واحد انتگرال حجم واگرایی ، برابر با جریان خالص در مرز این حجم است. [3]

گزاره ریاضی [ ویرایش ]

یک منطقه V محدود به سطح{\ displaystyle S = \ جزئی V}با سطح نرمال n

فرض کنید V یک زیر مجموعه از است\ mathbb {R} ^ {n}(در مورد n = 3 ، V نمایانگر حجمی در فضای سه بعدی است ) که جمع و جور است و دارای یک مرز صاف به طور جداگانه S است (همچنین با{\ displaystyle \ partial V = S}) اگر F یک میدان برداری به طور مداوم مشتقپذیر تعریف شده روی یک است محله از V ، پس: [4] [ تأیید نشد - مشاهده بحث ]

{\ displaystyle \ iiint _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \ right) \، \ mathrm {d} V =} \ oiint\ scriptstyle S{\ displaystyle (\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}}) \ ، \ mathrm {d} S.}

سمت چپ یک انتگرال حجم بیش از حجم V است ، سمت راست انتگرال سطح بیش از مرز حجم V است . منیفولد بسته شده\ جزئی Vاست به بیرون اشاره گرا نرمال ، و N واحد به بیرون اشاره نرمال در هر نقطه روی مرز است\ جزئی V. ({\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S}} ممکن است به عنوان مختصر برای استفاده شود{\ displaystyle \ mathbf {n} \ mathrm {d} S}.) از نظر توصیف بصری بالا ، سمت چپ معادله ، کل منابع موجود در حجم V را نشان می دهد و سمت راست ، جریان کل در مرز S را نشان می دهد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem