هیپربولوئید

با پارابولویید هذلولی ، یک سطح زین مانند اشتباه گرفته نشود .

هیپربلویید از یک ورق

سطح مخروطی در بین

هیپربلویید از دو ورق

نگاه کردن هایپروبلئید ویکیپدیا، دانشنامه آزاد.

در هندسه ، یک هایپروبلئید انقلاب ، که گاهی اوقات ابرقهرمان دایره ای نامیده می شود ، سطحی است که در اثر چرخش یک هیپربولا در اطراف یکی از محورهای اصلی آن ایجاد می شود . هایپروبلئید سطح به دست آمده از هایپروبلئید از انقلاب توسط تغییر شکل آن را با استفاده از جهت است سنجشها ، و یا بیشتر به طور کلی، یک تحولات آفین .

هایپربولوئید یک سطح چهار ضلعی است ، یعنی یک سطح تعریف شده به عنوان مجموعه صفر از چند جمله ای درجه دو در سه متغیر است. در میان سطوح چهار تایی، یک هایپروبلئید است که یک مشخصه مخروطی یا یک سیلندر ، داشتن یک مرکز تقارن ، و متقاطع بسیاری از فضاهای به هذلولی. یک هایپربولوئید دارای سه محور تقارن دو عمود تقارن ، و سه صفحه عمود تقارن جفتی است .

با توجه به هذلولی ، اگر کسی یک سیستم مختصات دکارتی را انتخاب کند که محورهای آن محورهای تقارن هذلولی باشد و مبدأ آن مرکز تقارن هذلولی باشد ، پس می توان هذلولی را با یکی از دو معادله زیر تعریف کرد:

${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1، }$

یا

${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = - 1 .}$

هر دو سطح برای مخروط معادله مجانب هستند

${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0. }$

سطح تنها و فقط اگر یک ابرقهرمانه از انقلاب باشد ${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}.}$ در غیر این صورت، محور منحصر به فرد تعریف شده است ( تا تبادل X محور و Y محور).

دو نوع هیپربولوئید وجود دارد. در مورد اول ( 1 در سمت راست معادله): یک هایپروبلئید یک ورق ، نیز نامیده می هایپروبلئید هذلولی . این یک سطح متصل است که در هر نقطه دارای انحنای منفی گوسی است. این نشان می دهد که در نزدیکی هر نقطه تقاطع هیپربولوئید و صفحه مماس آن در نقطه متشکل از دو شاخه منحنی است که در نقطه مماسهای مشخصی دارند. در مورد هایپربلویید یک صفحه ای ، این شاخه های منحنی به صورت خط هستند و بنابراین هایپربولوئید یک صفحه ای یک سطح دو برابر حاکم است.

در حالت دوم ( −1 در سمت راست معادله): یک هایپربولوئید دو صفحه ای که به آن ابرقهرمان بیضوی نیز گفته می شود . سطح دارای دو م componentsلفه بهم پیوسته و انحنای مثبت گوسی در هر نقطه است. بنابراین سطح محدب است به این معنا که صفحه مماس در هر نقطه فقط در این نقطه سطح را قطع می کند.

فهرست

نمایش های پارامتری [ ویرایش ]

انیمیشن ابرقهرمانه انقلاب

مختصات دکارتی برای هایپروبلوئیدها را می توان تعریف کرد ، شبیه مختصات کروی ، نگه داشتن زاویه آزیموت θ ∈ [0 ، 2 π ) ، اما تغییر تمایل v به توابع مثلثاتی هذلولی :

هیپربولویید یک سطح: v ∈ (−∞ ، ∞)

${\ displaystyle {\ start {تراز شده} x & = a \ cosh v \ cos \ theta \\ y & = b \ cosh v \ sin \ theta \\ z & = c \ sinh v \ end {تراز شده}}}$

هیپربولویید دو سطح: v ∈ [0 ، ∞]

${\ displaystyle {\ start {هماهنگ} x & = a \ sinh v \ cos \ theta \\ y & = b \ sinh v \ sin \ theta \\ z & = \ pm c \ cosh v \ end {تراز شده}}}$

هذلولی از یک ورق: تولید شده توسط یک هذلولی دوار (بالا) و خط (پایین: قرمز یا آبی)

هایپروبلئید از یک ورق: بخش فضا

نمایش پارامتری زیر شامل هیپربلوئیدهای یک ورق ، دو ورق و مخروط مرزی مشترک آنها است که هر کدام دارای $z$ -محور به عنوان محور تقارن:

${\ displaystyle {\ vec {x}} (s، t) = \ left ({\ start {array} {lll} a {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ cos t \\ b {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ sin t \\ cs \ end {array}} \ right)}$

برای $d> 0$ یکی هیپربولیید یک ورق را بدست می آورد ،
برای ${\ displaystyle d <0}$ یک هذلولی از دو ورق ، و
برای $d = 0$ یک مخروط دوتایی

با زدن موقعیت موقعیت ، می توان یک نمایش پارامتری از یک هایپربلوئید با یک محور مختصات متفاوت به عنوان محور تقارن بدست آورد. ${\ displaystyle cs}$ اصطلاح به م componentلفه مناسب در معادله بالا.

معادلات تعمیم یافته [ ویرایش ]

به طور کلی ، یک هایپربولوئید دلخواه گرا ، با محوریت v ، با معادله تعریف می شود

$({\ mathbf {xv}}) ^ {{\ mathrm {T}}} A ({\ mathbf {xv}}) = 1 ،$

که در آن است ماتریس و X ، V هستند بردار .

بردارهای ویژه از تعریف جهات اصلی از هایپروبلئید و مقادیر ویژه از A هستند متقابل از مربع از نیمه محور: ${1 / a ^ {2}}$ ، ${1 / b ^ {2}}$ و ${1 / c ^ {2}}$ . هایپربولوئید یک برگه دارای دو ارزش ویژه مثبت و یک ارزش ویژه منفی است. هذلولی دو ورقه دارای یک مقدار ویژه مثبت و دو ارزش ویژه منفی است.

خصوصیات [ ویرایش ]

هایپروبلئید از یک ورق [ ویرایش ]

خطوط روی سطح [ ویرایش ]

یک هایپربولیید از یک ورق حاوی دو مداد خط است. این یک سطح دو برابر حاکم است .

اگر هایپروبلئید معادله داشته باشد ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1$ سپس خطوط

${\ displaystyle g _ {\ alpha} ^ {\ pm}: {\ vec {x}} (t) = {\ start {pmatrix} a \ cos \ alpha \\ b \ sin \ alpha \\ 0 \ end {pmatrix }} + t \ cdot {\ start {pmatrix} -a \ sin \ alpha \\ b \ cos \ alpha \\\ pm c \ end {pmatrix}} \، \ quad t \ in \ mathbb {R}، \ 0 \ leq \ alpha \ leq 2 \ pi \}$

در سطح موجود است.

در صورت $a = b$ هایپروبلئید یک سطح از انقلاب است و می تواند با چرخش یکی از دو خط ایجاد شود ${\ displaystyle g_ {0} ^ {+}}$ یا ${\ displaystyle g_ {0} ^ {-}}$ ، که به محور چرخش کج هستند (تصویر را ببینید). به این خاصیت قضیه رن گفته می شود . [1] نسل متداول یک هیپربلوئید یک برگه چرخش ، چرخش یک هذلولی در اطراف محور نیمه جزئی آن است (نگاه کنید به تصویر ؛ چرخش هذلولی در اطراف محور دیگر آن ، یک هذلولی دو ورقه ای از انقلاب است).

یک هذلولی از یک ورق از نظر تصویری معادل با یک پارابولید هذلولی است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/هایپروبلئید

+ نوشته شده در دوشنبه هفتم تیر ۱۴۰۰ ساعت 15:37 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی