نباید با سطح مخروطی اشتباه گرفته شود .

یک مخروط دایره ای راست و یک مخروط دایره ای مایل

یک مخروط دوتایی (بی نهایت گسترش داده نشده است)

مدل سه بعدی مخروط

مخروطی است سه بعدی شکل هندسی که تهوع هموار از یک پایه مسطح (اغلب، هر چند نه لزوما، گرد) به یک نقطه به نام راس یا راس .

یک مخروط توسط مجموعه ای از بخشهای خط ، نیم خط ، یا خطوط متصل می شود که یک نقطه مشترک ، راس را به تمام نقاط یک پایه که در صفحه ای است که حاوی راس نیست ، متصل می کند. بسته به نویسنده ، پایه ممکن است محدود باشد که یک دایره باشد ، هر شکل درجه دوم یک بعدی در صفحه ، هر شکل یک بعدی بسته یا هر یک از موارد بالا به علاوه تمام نقاط محصور. اگر نقاط محصور در قاعده باشد ، مخروط یک جسم جامد است . در غیر این صورت دو بعدی استجسم در فضای سه بعدی. در مورد یک جسم جامد ، مرز تشکیل شده توسط این خطوط یا خطوط جزئی را سطح جانبی می نامند . اگر سطح جانبی محدود نشده باشد ، این یک سطح مخروطی است .

در مورد بخشهای خط ، مخروط فراتر از پایه گسترش نمی یابد ، در حالی که در مورد نیم خط ها ، بی نهایت بسیار گسترش می یابد. در مورد خطوط ، مخروط بی نهایت در هر دو جهت از راس امتداد دارد ، در این حالت گاهی اوقات مخروط مضاعف نامیده می شود. به نیمی از مخروط دوتایی در یک طرف راس ، پوشک گفته می شود .

محور از یک مخروط خط مستقیم (در صورت وجود) است، با عبور از راس، که در مورد پایه (و طیف مخروطی) است تقارن دایره .

در استفاده مشترک در ابتدایی هندسه ، مخروط فرض می شود حق دایره ، که در آن دایره بدان معنی است که پایه است دایره و راست بدان معنی است که محور از طریق مرکز پایه عبور در زاویه سمت راست به هواپیما آن است. [1] اگر مخروط درست دایره ای باشد ، تقاطع صفحه با سطح جانبی مقطع مخروطی است . با این حال ، به طور کلی ، پایه ممکن است به هر شکلی باشد [2] و راس ممکن است در هر جایی قرار داشته باشد (اگرچه معمولاً فرض بر این است که پایه محدود است و بنابراین دارای محدودیت محدود است، و این که اوج خارج از صفحه پایه قرار دارد). در تضاد با مخروط های راست ، مخروط های مورب قرار دارند ، که در آنها محور از مرکز پایه به صورت غیر عمود عبور می کند. [3]

به یک مخروط با پایه چند ضلعی هرم گفته می شود .

بسته به زمینه ، "مخروط" همچنین ممکن است به طور خاص یک مخروط محدب یا یک مخروط فرافکنی باشد.

مخروط ها را می توان به ابعاد بالاتر نیز تعمیم داد .

 

فهرست

اصطلاحات بیشتر [ ویرایش ]

پیرامون پایه یک مخروط "دایرکتریکس" نامیده می شود و هر یک از بخشهای خط بین دایرکتریکس و راس یک "مولد" یا "خط تولید" از سطح جانبی است. (برای ارتباط بین این حس از اصطلاح "هادی" و هادی های مقاطع مخروطی، و حوزه های Dandelin .)

"شعاع پایه" یک مخروط دایره ای شعاع پایه آن است. اغلب به این شعاع مخروط گفته می شود. دیافراگم از یک مخروط دایرهای راست زاویه حداکثر بین دو خط زاینده است. اگر زاینده باعث می شود یک زاویه θ به محور، دیافراگم 2 θ .

تصویرگری از Problemata mathematica ... منتشر شده در Acta Eruditorum ، 1734

به یک مخروط با منطقه ای که راس آن توسط هواپیما قطع شده است ، "مخروط کوتاه شده " گفته می شود. اگر صفحه برش موازی با پایه مخروط باشد ، آن را frustum می نامند . [1] "مخروط بیضوی" مخروطی با پایه بیضوی است. [1] "مخروط تعمیم یافته" سطحی است که توسط مجموعه خطوط عبوری از یک راس و هر نقطه از یک مرز ایجاد می شود (همچنین به بدنه بصری نیز مراجعه کنید ).

اندازه گیری ها و معادلات [ ویرایش ]

دوره [ ویرایش ]

حجم V از هر ماده جامد مخروطی یک سوم محصول سطح پایه استA_B و ارتفاع ساعت[4]

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {B} ساعت.}

در ریاضیات مدرن ، این فرمول به راحتی با استفاده از حساب محاسبه می شود - تا مقیاس گذاری ، یکپارچه است \ int x ^ 2 dx = \ tfrac {1} {3} x ^ 3.بدون استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال ، می توان فرمول را با مقایسه مخروط با هرم و استفاده از اصل کاوالیری اثبات کرد - به طور خاص ، مقایسه مخروط با هرم مربع سمت راست (با مقیاس عمودی) ، که یک سوم مکعب را تشکیل می دهد. این فرمول بدون استفاده از چنین استدلالهای بی نهایت کوچک قابل اثبات نیست - برخلاف فرمولهای 2 بعدی برای منطقه چند وجهی ، اگرچه شبیه به ناحیه دایره است - و از این رو پیش از ظهور حساب ، اثبات سختگیرانه تری را پذیرفت ، در حالی که یونانیان باستان از روش خستگی . این اساساً محتوای مسئله سوم هیلبرت است - دقیق تر ، همه اهرام چند وجهی قیچی متناسب نیستند(می تواند به قطعات محدود تقسیم شود و به دیگری مرتب شود) ، و بنابراین نمی توان حجم را صرفاً با استفاده از یک استدلال تجزیه محاسبه کرد. [5]

مرکز جرم [ ویرایش ]

مرکز جرم یک جامد مخروطی از تراکم یکنواخت نهفته یک چهارم راه را از مرکز پایه به راس، روی خط راست پیوستن دو.

مخروط دایره ای راست [ ویرایش ]

دوره [ ویرایش ]

برای یک مخروط دایره ای با شعاع r و ارتفاع h ، پایه یک دایره از سطح است\ pi r ^ {2}و بنابراین فرمول حجم می شود [6]

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} ساعت.}

ارتفاع شیب [ ویرایش ]

ارتفاع شیب یک مخروط دایره ای سمت راست فاصله هر نقطه از دایره پایه آن تا راس از طریق یک قطعه خط در امتداد سطح مخروط است. توسط داده شده است

{\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}، جایی که راست که شعاع قاعده وساعتارتفاع است این را می توان با قضیه فیثاغورث ثابت کرد .

مساحت سطح [ ویرایش ]

سطح جانبی مساحت یک دایره مخروط استLSA = \ pi rl جایی که ر شعاع دایره در پایین مخروط است و منارتفاع کج مخروط است. [4] سطح دایره پایین مخروط همانند هر دایره است ،\ pi r ^ {2}. بنابراین ، سطح کل یک مخروط دایره ای راست می تواند به صورت هریک از موارد زیر بیان شود:

  • شعاع و ارتفاع

{\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}

(مساحت پایه به علاوه مساحت سطح جانبی ؛ اصطلاح {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} ارتفاع مایل است)

{\ displaystyle \ pi r \ چپ (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ راست)}

جایی که ر شعاع است وساعت ارتفاع است

  • شعاع و ارتفاع مایل

{\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi rl}

{\ displaystyle \ pi r (r + l)}

جایی که ر شعاع است ومن ارتفاع مایل است

  • دور و ارتفاع مایل

{\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {4 \ pi}} + {\ frac {cl} {2}}}

{\ displaystyle \ چپ ({\ frac {c} {2}} \ راست) \ چپ ({\ frac {c} {2 \ pi}} + l \ راست)}

جایی که ج محیط است و من ارتفاع مایل است

  • زاویه و ارتفاع اوج

{\ displaystyle \ pi h ^ {2} \ tan {\ frac {\ Theta} {2}} \ سمت چپ (\ tan {\ frac {\ Theta} {2}} + \ sec {\ frac {\ Theta} { 2}} \ راست)}

جایی که \ تتا  زاویه راس است و ساعت ارتفاع است

بخش بخشنامه [ ویرایش ]

قطاع دایره ای به دست آمده با اتفاق می افتند سطح یک جلد از مخروطی است:

  • شعاع R

{\ displaystyle R = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}

  • طول قوس L

{\ displaystyle L = c = 2 \ pi r}

  • زاویه مرکزی φ در رادیان

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {L} {R}} = {\ frac {2 \ pi r} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}}}

فرم معادله [ ویرایش ]

سطح یک مخروط را می توان به صورت پارامتر تنظیم کرد

{\ displaystyle f (\ theta ، h) = (h \ cos \ theta ، h \ sin \ theta ، h) ،}

جایی که \ تتا \ در [0،2 \ pi] زاویه "اطراف" مخروط است ، و ساعت \ در {\ mathbb {R}} "ارتفاع" در امتداد مخروط است.

یک مخروط دایره ای جامد راست با ارتفاع ساعت و دیافراگم 2 \ تتا ، که محور آن است z محور مختصات و راس آن مبدا است ، به صورت پارامتری توصیف می شود

F (s ، t ، u) = \ چپ (u \ tan s \ cos t ، u \ tan s \ sin t ، u \ right)

جایی که s ، t ، تو محدوده بیش از [0 ، \ تتا]،[0،2 \ پی]، و [0 ، ساعت]، به ترتیب.

به صورت ضمنی ، همان جامدادی را نابرابری ها تعریف می کنند

\ {F (x ، y ، z) \ leq 0 ، z \ geq 0 ، z \ leq h \} ،

جایی که

F (x ، y ، z) = (x ^ 2 + y ^ 2) (\ cos \ theta) ^ 2 - z ^ 2 (\ sin \ theta) ^ 2. \ ،

به طور کلی ، یک مخروط دایره ای راست با راس در مبدا ، محور موازی با بردار است د، و دیافراگم 2 \ تتا ، با معادله برداری ضمنی آورده شده استF (u) = 0 جایی که

F (u) = (u \ cdot d) ^ 2 - (d \ cdot d) (u \ cdot u) (\ cos \ theta) ^ 2   یا   F (u) = u \ cdot d - | d | | تو | \ cos \ theta

جایی که u = (x ، y ، z)، و شما dمحصول نقطه را نشان می دهد .

مخروط بیضوی [ ویرایش ]

سطح چهار ضلعی مخروطی بیضوی

یک سطح چهار ضلعی مخروطی بیضوی

در سیستم مختصات دکارتی ، یک مخروط بیضوی محل معادله فرم است [7]

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z ^ {2}.}

این یک تصویر وابسته از مخروط واحد دایره راست با معادله است{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \.}از این واقعیت ، که تصویر وابسته به یک بخش مخروطی یک بخش مخروطی از همان نوع است (بیضوی ، سهمی ، ...) شخص بدست می آورد:

  • هر مقطع صفحه ای از یک مخروط بیضوی یک بخش مخروطی است.

بدیهی است که هر مخروط دایره ای درست حاوی دایره است. این مورد نیز درست است ، اما در حالت کلی کمتر مشهود است (به بخش بخشنامه مراجعه کنید ).

هندسه تصوری [ ویرایش ]

در هندسه تصویری ، یک استوانه به سادگی یک مخروط است که راس آن در بی نهایت است ، که از نظر منظر با یک استوانه مطابقت دارد که به نظر می رسد مخروطی به سمت آسمان است.

در هندسه تصویری ، یک استوانه به سادگی یک مخروط است که راس آن در بی نهایت است. [8] به صورت شهودی ، اگر کسی پایه را ثابت نگه دارد و با رسیدن راس به بی نهایت حد را کاهش دهد ، یک استوانه بدست می آورد ، زاویه ضلع آن به عنوان آرکتان افزایش می یابد ، در حد تشکیل زاویه راست . این در تعریف مخروط های منحط ، که نیاز به در نظر گرفتن مخروط های استوانه ای دارند ، مفید است .

طبق GB Halsted ، یک مخروط فقط به عنوان یک مخروط Steiner فقط با یک فرافکنی و مدادهای محوری تولید می شود (نه در چشم انداز) به جای محدوده های تصویری مورد استفاده برای مخروط Steiner:

"اگر دو مداد محوری غیرتصادفی هم زمان تصویری باشد اما چشم انداز نباشد ، صفحات همبسته" سطح مخروطی مرتبه دوم "یا" مخروط "را تشکیل می دهند." [9]

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

تعریف مخروط ممکن است به ابعاد بالاتر نیز گسترش یابد (نگاه کنید به مخروط های محدب ). در این حالت ، یکی می گوید که یک مجموعه محدب C در فضای برداری واقعی R n یک مخروط است (با راس در مبدا) اگر برای هر بردار x در C و هر عدد واقعی غیر منفی a ، تبر بردار در C باشد. [2] در این زمینه ، آنالوگ های مخروط های دایره ای معمولاً خاص نیستند. در واقع شخص اغلب به مخروط های چند وجهی علاقه مند است .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید