این مقاله برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . لطفاً با افزودن نقل قول ها به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. منابع را بیابید: "Paraboloid"  -  اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · دانشمند · JSTOR
         ( ژوئن 2020 ) (با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

Paraboloid انقلاب

در هندسه ، پارابولوئید یک سطح چهارگوش است که دقیقاً یک محور تقارن دارد و هیچ مرکز تقارن ندارد . اصطلاح "paraboloid" از پارابولا گرفته شده است ، که به یک بخش مخروطی اشاره دارد که دارای ویژگی تقارن مشابه است.

هر مقطع صفحه ای از یک سهموی بزرگ توسط یک صفحه موازی با محور تقارن یک سهموی است. پارابولوئید هذلولی است در صورتی که هر مقطع صفحه دیگر یا یک هذلولی باشد ، یا دو خط عبور (در مورد یک بخش توسط صفحه مماس). پارابلوئید بیضوی است اگر هر قسمت صفحه غیر خالی دیگر یا بیضوی باشد ، یا یک نقطه منفرد (در مورد یک مقطع توسط صفحه مماس). پارابولوئید یا بیضوی است یا هذلولی.

به طور معادل ، یک پارابولوئید ممکن است به عنوان یک سطح چهارگوش تعریف شود که استوانه نباشد و دارای یک معادله ضمنی باشد که بخشی از درجه دو ممکن است بر روی اعداد مختلط به دو عامل خطی مختلف تبدیل شود. در صورت واقعی بودن عوامل پارابولید ، هذلولی است. اگر عوامل مزدوج پیچیده باشند بیضوی است .

یک پارابولویید بیضوی مانند یک فنجان بیضی شکل است و هنگامی که محور آن عمودی باشد حداکثر یا کمترین نقطه را دارد. در یک سیستم مختصات مناسب با سه محور x ، y و z ، می توان آن را با معادله [1] نشان داد : 892

{\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}.}

که در آن a و b ثابت هستند که به ترتیب سطح انحنای در صفحات xz و yz را تعیین می کنند. در این موقعیت ، پارابولویید بیضوی به سمت بالا باز می شود.

پارابولویید هذلولی

یک پارابولویید هذلولی (که نباید با هایپربولوئید اشتباه گرفته شود ) یک سطح دو برابر حاکم است که به شکل زین است . در یک سیستم مختصات مناسب ، یک پارابولویید هذلولی را می توان با معادله [2] [3] نشان داد : 896

{\ displaystyle z = {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}.}

در این موقعیت ، سهموی هذلولی در امتداد محور x به سمت پایین و در امتداد محور y به سمت بالا باز می شود (یعنی سهمی در صفحه x = 0 به سمت بالا باز می شود و سهمی در صفحه y = 0 به سمت پایین باز می شود).

هر سهموی (بیضوی یا هذلولی) یک سطح ترجمه است ، زیرا می تواند توسط یک سهموی متحرک به کارگردانی یک سهموی دوم ایجاد شود.

 

فهرست

ویژگی ها و برنامه ها [ ویرایش ]

پارابولویید بیضوی [ ویرایش ]

مش چند ضلعی یک پارابولید مدور

سهموی دایره ای

در یک سیستم مختصات دکارتی مناسب ، یک paraboloid بیضوی معادله دارد

{\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}.}

اگر a = b باشد ، یک سهموی بیضوی یک سهموی دایره ای یا یک سهموی انقلابی است . این یک سطح از انقلاب است که با چرخش یک سهمی بر محور خود بدست می آید.

بدیهی است که یک پارابولویید دایره ای حاوی دایره است. این مورد در حالت کلی نیز صادق است ( بخش بخشنامه را ببینید ).

از نقطه نظر هندسه تصویری ، یک قطع مخروطی بیضوی یک IS بیضی است که مماس به هواپیما در بی نهایت .

بخشهای هواپیما

بخشهای صفحه پارابولویید بیضوی می تواند باشد:

  • یک سهمی ، اگر هواپیما موازی محور باشد ،
  • یک نقطه ، اگر هواپیما یک صفحه مماس باشد .
  • بیضی یا خالی ، در غیر این صورت.

بازتابنده سهموی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: بازتابنده سهموی و آنتن سهموی

در محور یک سهموی دایره ای ، یک نقطه به نام کانون (یا نقطه کانونی ) وجود دارد ، به این ترتیب ، اگر پارابلوئید آینه باشد ، نور (یا امواج دیگر) از یک منبع نقطه در کانون به یک پرتو موازی منعکس می شود ، موازی با محور paraboloid. این نیز برعکس عمل می کند: یک پرتوی موازی نور که موازی با محور پارابولوئید است ، در نقطه کانونی متمرکز می شود. برای اثبات ، به Parabola see اثبات ویژگی بازتابنده مراجعه کنید .

بنابراین ، از شکل یک سهموی دایره ای به طور گسترده در نجوم برای بازتابنده های سهمی و آنتن های سهموی استفاده می شود.

سطح مایع چرخان نیز یک پارابولویید دایره ای است. این مورد در تلسکوپ های آینه مایع و ساخت آینه های تلسکوپ جامد مورد استفاده قرار می گیرد ( کوره چرخان را ببینید ).

  • پرتوهای موازی که به یک آینه دایره ای شکل تبدیل می شوند به نقطه کانونی ، F یا بالعکس منعکس می شوند

  •  

  • بازتابنده سهموی

  •  

  • چرخاندن آب در یک لیوان

پارابولویید هذلولی [ ویرایش ]

یک سهموی هذلولی با خطوط موجود در آن

میان وعده های سرخ شده Pringles به شکل یک پارابولید هذلولی هستند.

پارابولویید هذلولی یک سطح دو برابر حاکم است : شامل دو خانواده از خطوط متقابل کج است . خطوط در هر خانواده به موازات یک صفحه مشترک است ، اما به یکدیگر نیست. از این رو قطع مخروطی هذلولی است مخروطی شکل .

این خصوصیات پارابولوئیدهای هذلولی را مشخص می کنند و در یکی از قدیمی ترین تعاریف پارابلوئیدهای هذلولی استفاده می شوند: پارابولویید هذلولی سطحی است که ممکن است توسط یک خط متحرک که به موازات یک صفحه ثابت است تولید شده و از دو خط کج ثابت عبور کند .

این خاصیت ساخت پارابولوئید هذلولی از انواع مواد و برای اهداف مختلف از سقف های بتونی گرفته تا غذاهای میان وعده را ساده می کند. به طور خاص ، میان وعده های سرخ شده Pringles شبیه یک پارابولید هذلولی کوتاه شده هستند. [4]

یک پارابولویید هذلولی یک سطح زین است ، زیرا انحنای گاوس آن در هر نقطه منفی است. بنابراین ، اگرچه یک سطح حاکم است ، اما قابل توسعه نیست .

از نقطه نظر هندسه تصویری ، یک قطع مخروطی هذلولی است hyperboloid یک ورق است که مماس به هواپیما در بی نهایت .

یک سهموی هذلولی از معادله {\ displaystyle z = axy} یا {\ displaystyle z = {\ tfrac {a} {2}} (x ^ {2} -y ^ {2})}(این همان است تا چرخش محور ممکن است به نام) قطع مخروطی هذلولی مستطیلی ، توسط قیاس با هذلولی مستطیلی .

بخشهای هواپیما

یک سهموی هذلولی با هذلولی و پارابولا

یک قسمت صفحه ای از یک سهموی هذلولی با معادله

{\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

می تواند باشد

  • یک خط ، اگر صفحه موازی با محور z باشد ، و دارای یک معادله شکل باشد{\ displaystyle bx \ pm ay + b = 0}،
  • یک سهمی ، اگر صفحه موازی با محور z باشد ، و بخش یک خط نباشد ،
  • یک جفت خط متقاطع ، اگر هواپیما یک صفحه مماس باشد ،
  • در غیر اینصورت یک هذلولی

مدل پارابلوئید هذلولی STL

نمونه هایی در معماری [ ویرایش ]

سقف های زین اغلب پارابولوئیدهای هذلولی هستند زیرا به راحتی از قسمت های مستقیم مواد ساخته می شوند. چند نمونه:

  • ایستگاه راه آهن ورشوا اوچوتا ، نمونه ای از یک ساختار هذلولی سهموی

  •  

  • سطحی که یک پارابولوئید هذلولی را نشان می دهد

  •  

  • Restaurante Los Manantiales ، Xochimilco ، مکزیک

  •  

  • سقفهای پوسته نازک پارابلوئیدی هذلولی در L'Oceanogràfic ، والنسیا ، اسپانیا (گرفته شده در سال 2019)

سیلندر بین مدادهای پارابولوییدهای بیضوی و هذلولی [ ویرایش ]

پارابولویید بیضوی ، استوانه سهمی ، پارابولویید هذلولی

مداد از paraboloids بیضوی

{\ displaystyle z = x ^ {2} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} ، \ b> 0 ،}

و مداد پارابلوئیدهای هذلولی

{\ displaystyle z = x ^ {2} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} ، \ b> 0 ،}

به همان سطح نزدیک شوید

{\ displaystyle z = x ^ {2}}

برای {\ displaystyle b \ rightarrow \ infty}، که یک استوانه سهموی است (نگاه کنید به تصویر).

انحنا [ ویرایش ]

سهموی بیضوی ، به سادگی پارامتر شده است

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (u، v) = \ left (u، v، {\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} \ راست)}

دارای انحنای گوسی است

{\ displaystyle K (u، v) = {\ frac {4} {a ^ {2} b ^ {2} \ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ راست) ^ {2}}}}

و انحنا متوسط ​​است

{\ displaystyle H (u، v) = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {2}}}} {a ^ {2} b ^ {2} {\ sqrt {\ سمت چپ (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4} }} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ راست) ^ {3}}}}}}}

که هر دو همیشه مثبت هستند ، حداکثر آنها در مبدأ است ، با فاصله گرفتن یک نقطه از سطح از مبدأ کوچکتر می شوند و با فاصله بی نهایت نقطه از مبدا ، مجاناً به صفر می رسند.

پارابولویید هذلولی ، [2] وقتی پارامتری شود

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (u، v) = \ left (u، v، {\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} \ راست)}

دارای انحنای گوسی است

{\ displaystyle K (u، v) = {\ frac {-4} {a ^ {2} b ^ {2} \ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}} } + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ راست) ^ {2}}}}

و انحنا متوسط ​​است

{\ displaystyle H (u، v) = {\ frac {-a ^ {2} + b ^ {2} - {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac { 4v ^ {2}} {b ^ {2}}}} {a ^ {2} b ^ {2} {\ sqrt {\ سمت چپ (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4 }}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ راست) ^ {3}}}}}.}

نمایش هندسی جدول ضرب [ ویرایش ]

اگر پارابولویید هذلولی

{\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

با زاویه ای چرخانده می شود π/4در جهت + z (طبق قانون دست راست ) ، نتیجه سطح است

{\ displaystyle z = \ left ({\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2}} \ right) \ چپ ({\ frac {1} {a ^ {2}}} - { \ frac {1} {b ^ {2}}} \ راست) + xy \ چپ ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} \درست)}

و اگر a = b باشد این به ساده می شود

{\ displaystyle z = {\ frac {2xy} {a ^ {2}}}}.

سرانجام ، با اجازه دادن به = 2 √ ، می بینیم که پارابولید هذلولی

{\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2}}.}

با سطح زمین سازگار است

{\ displaystyle z = xy}

که می توان آن را به عنوان نمایش هندسی (یک ناموگرافی سه بعدی ) یک جدول ضرب در نظر گرفت .

دو paraboloidal ℝ 2 → ℝ توابع

{\ displaystyle z_ {1} (x، y) = {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2}}}

و

{\ displaystyle z_ {2} (x، y) = xy}

مزدوج هارمونیک هستند و با هم عملکرد تحلیلی را تشکیل می دهند

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {2}} {2}} = f (x + yi) = z_ {1} (x، y) + iz_ {2} (x، y)}

است که ادامه تحلیلی از ℝ → ℝ سهموی تابع F ( X ) =x 2/2.

ابعاد یک ظرف paraboloidal [ ویرایش ]

ابعاد یک ظرف پارابولیدال متقارن با معادله مرتبط است

{\ displaystyle 4FD = R ^ {2} ،}

جایی که F فاصله کانونی است ، D عمق ظرف است (در امتداد محور تقارن از راس تا صفحه لبه اندازه گیری می شود) ، و R شعاع لبه است. طول آنها باید در یک واحد واحد باشند . اگر دو تا از این سه طول مشخص باشد ، می توان از این معادله برای محاسبه سوم استفاده کرد.

برای یافتن قطر ظرف اندازه گیری شده در امتداد سطح آن ، محاسبه پیچیده تری لازم است . این قطعه را "قطر خطی" می نامند و برابر است با قطر یک ورق مسطح و دایره ای شکل ، معمولاً فلز ، که اندازه مناسبی برای برش و خم شدن ظرف است. دو نتیجه متوسط ​​در محاسبه مفید است: P = 2 F (یا معادل آن: P =)R 2/2 D) و Q = √ P 2 + R 2 ، جایی که F ، D و R به صورت بالا تعریف شده اند. قطر ظرف که در امتداد سطح اندازه گیری می شود ، سپس توسط آن داده می شود

{\ displaystyle {\ frac {RQ} {P}} + P \ ln \ چپ ({\ frac {R + Q} {P}} \ راست) ،}

که در آن LN X وجه لگاریتم طبیعی از X ، یعنی لگاریتم آن به پایگاه الکترونیکی .

حجم ظرف ، مقدار مایعی که می تواند در صورت افقی بودن لبه و راس در پایین (مثلا ظرفیت یک ووک پارابولوئید ) می تواند نگه دارد ، توسط

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} R ^ {2} D،}

که در آن نمادها به صورت بالا تعریف شده اند. این را می توان با فرمول های حجم یک سیلندر ( π R 2 D ) ، یک نیمکره مقایسه کرد (2π/3R 2 D ، جایی که D = R ) ، و یک مخروط (π/3R 2 D ) π R 2 ناحیه دیافراگم ظرف است ، ناحیه ای که توسط لبه محصور شده است و متناسب با میزان نور خورشید است که یک ظرف بازتابنده می تواند رهگیری کند. سطح یک بشقاب سهموی می توان با استفاده از فرمول مساحت برای پیدا سطحی از انقلاب می دهد که

{\ displaystyle A = {\ frac {\ pi R \ چپ ({\ sqrt {(R ^ {2} + 4D ^ {2}) ^ {3}}} - R ^ {3} \ راست)} {6D ^ {2}}}.}

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

  • بیضی  - سطح چهار تایی که به نظر می رسد مانند یک کره تغییر شکل
  • Hyperboloid  - سطح چهارگانه نامحدود
  • بلندگو  سهموی - نیزه سهموی شکل که امواج صفحه منسجمی تولید می کند
  • بازتابنده سهموی  - بازتابنده ای که شکل پارابلوئید دارد

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid