.

در جبر مجرد ، یک نمایندگی از یک جبر انجمنی است ماژول که جبر. در اینجا جبر انجمنی یک حلقه (نه لزوماً واحد ) است . اگر جبر یکنواخت نباشد ، ممکن است به روشی استاندارد ساخته شود (به صفحه عملکردهای مجاور مراجعه کنید). هیچ تفاوتی اساسی بین ماژولهای حلقه واحد وجود ندارد ، که در آن هویت با نگاشت هویت و نمایشهای جبر عمل می کند.

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

ساختار پیچیده خطی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ساختار پیچیده خطی

یکی از ساده ترین مثالهای غیر پیش پا افتاده ، ساختار پیچیده خطی است که نمایشی از اعداد مختلط C است که به عنوان جبر انجمنی بیش از اعداد واقعی R تصور می شود . این جبر به طور دقیق تحقق می یابد{\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1) ،}که مربوط به i 2 = −1 است . سپس نمایندگی C یک فضای برداری واقعی V است ، همراه با عملکرد C بر روی V (یک نقشه)\ mathbb {C} \ به \ mathrm {End} (V)) بطور مشخص، این فقط یک عمل است من  این کار باعث ایجاد جبر، و اپراتور به نمایندگی من (به تصویر از من در پایان ( V )) نشان داده است J برای جلوگیری از سردرگمی با ماتریس من .

جبرهای چند جمله ای [ ویرایش ]

کلاس اساسی مهم دیگر از نمونه ها ، نمایش جبرهای چند جمله ای ، جبرهای کموتی رایگان است - اینها یک موضوع اصلی مطالعه در جبر عوض کننده و مشابه هندسی آن ، هندسه جبری را تشکیل می دهند . نمایش یک جبر چند جمله ای در متغیرهای k بیش از زمینه K به طور مشخص یک فضای K- vetor با k عملگرهای رفت و آمد است و اغلب نشان داده می شودK [T_1 ، \ نقطه ، T_k] ، به معنای نمایش جبر انتزاعی است K [x_1 ، \ نقطه ، x_k] جایی کهx_i \ mapsto T_i.

یک نتیجه اساسی در مورد چنین بازنمایی هایی این است که ، بیش از یک میدان بسته جبری ، ماتریس های نمایندگی به طور همزمان مثلثی هستند .

حتی مورد بازنمایی جبر چند جمله ای در یک متغیر منفرد نیز مورد توجه است - این با نشان داده می شود K [T]و در درک ساختار یک عملگر خطی منفرد در فضای بردار بعدی محدود استفاده می شود. به طور خاص ، استفاده از قضیه ساختار برای ماژول های کاملاً تولید شده در یک دامنه ایده آل اصلی برای این جبر ، نتیجه انواع مختلف متعارف ماتریس ها ، مانند فرم متعارف جردن است .

در برخی از رویکردهای هندسه غیرتغییری ، جبر غیرتغییری آزاد (چند جمله ای در متغیرهای غیر رفت و آمد) نقشی مشابه دارد ، اما تجزیه و تحلیل بسیار دشوارتر است.

اوزان [ ویرایش ]

مقاله اصلی: وزن (تئوری نمایش)

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را می توان به نمایش های جبر تعمیم داد.

تعمیم مقدار ویژه نمایش جبر ، به جای یک مقیاس منفرد ، یک نمایش تک بعدی است{\ displaystyle \ lambda \ colon A \ to R}(یعنی همگونی جبر از جبر تا حلقه زیرین آن: یک عملکرد خطی که ضرب هم دارد). [توجه 1] این به عنوان یک وزنه شناخته می شود و به آنالوگ بردار ویژه و فضای ویژه بردار وزن و فضای وزن گفته می شود .

مورد ارزش ویژه یک عملگر منفرد با جبر مطابقت داردR [T] ، و نقشه ای از جبرها R [T] به Rمشخص می شود که با کدام اسکالر ژنراتور T را نقشه برداری می کند . بردار وزن برای نمایش جبر ، بردار است به گونه ای که هر عنصر جبر ، این بردار را بر روی مضربی از خود ترسیم می کند - یک زیر مدول یک بعدی (بازنمایی). به عنوان جفت شدنA \ بار M \ به Mاست دارای دو خط مستقیم "، که چند" است -Linear عملکردی (یک نقشه جبر → R )، یعنی وزن. در نمادها ، بردار وزن یک بردار است{\ displaystyle m \ in M}m در م به طوری که am = \ lambda (a) m برای همه عناصر a \ در A ، برای برخی عملکردهای خطی\ لامبدا - توجه داشته باشید که در سمت چپ ، ضرب عمل جبر است ، در حالی که در سمت راست ، ضرب ضرب اسکالر است.

از آنجا که وزن یک نقشه به یک حلقه تغییر دهنده است ، نقشه از طریق فرسایش جبر فاکتور می گیرد{\ mathcal {A}} - معادل آن ، در جبر مشتق شده محو می شود - از نظر ماتریس ، اگر {\ displaystyle v}v یک بردار ویژه مشترک اپراتورها است تی و تو، سپس TU v = UT v(زیرا در هر دو حالت فقط ضرب در مقیاس است) ، بنابراین بردارهای ویژه جبر باید در مجموعه ای باشند که جبر بر اساس آن عمل می کند (که با جبر مشتق شده نابود می شود). بنابراین از اهمیت اصلی جبرهای جابجایی رایگان ، یعنی جبرهای چند جمله ای برخوردار هستند . در این مورد مخصوصاً ساده و مهم جبر چند جمله ای\ mathbf {F} [T_1 ، \ نقطه ، T_k]در مجموعه ای از ماتریس های رفت و آمد ، یک بردار وزن از این جبر یک بردار ویژه همزمان ماتریس ها است ، در حالی که یک وزن از این جبر به سادگی یکک- چند مقیاس پذیر{\ displaystyle \ lambda = (\ \ lambda _ {1} ، \ نقطه ، \ lambda _ {k})} مربوط به مقدار ویژه هر ماتریس ، و از این رو از لحاظ هندسی به یک نقطه در ک-فضا. این اوزان - به ویژه هندسه آنها - در درک نظریه بازنمایی جبرهای دروغ ، به ویژه نمایش های بعدی محدود از جبرهای دروغ نیمه ساده دارای اهمیت اساسی هستند .

به عنوان کاربردی از این هندسه ، با توجه به جبری که ضریب جبر چند جمله ای درکژنراتور، آن مربوط هندسی به تنوع جبری درکفضای بعدی و وزن باید تنوع داشته باشد - یعنی معادلات تعیین کننده انواع را برآورده می کند. این واقعیت را تعمیم می دهد که مقادیر ویژه چند جمله ای مشخص یک ماتریس را در یک متغیر ارضا می کنند .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_representation