صفحه راهنمای ابهام زدایی

برای مقالات هم نام ، به نمایندگی (ابهام زدایی) و غیرقابل تقلیل مراجعه کنید .

در ریاضیات و به طور دقیق تر در تئوری بازنمایی ، بازنمایی غیرقابل کاهش یک نمایش غیر صفر است که فقط خود و نمایندگی صفر را به عنوان بازنمودهای فرعی پذیرفته است. این مقاله به نمایندگی های یک گروه می پردازد. قضیه Maschke به نشان می دهد که در بسیاری از موارد، یک نمایش است مبلغ مستقیم از نمایندگی غیر قابل تقلیل.

 

خلاصه

تعاریف و مثالها [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

تعاریف [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

در باقیمانده مقاله ، G یک گروه ( V ، ρ) را به صورت نمایش خطی G بر روی بدنه K نشان می دهد .

  • اگر V و {0} از هم متمایز باشند و تنها دو زیر فضای پایدار باشند ، نمایش ( V ، ρ) غیرقابل کاهش است .
  • اگر یک نمایندگی مرتبط باشد ، گفته می شود که یک شخصیت نمایشی غیرقابل کاهش است.

تئوری نمایندگی نیز از نظر بیان G -modules، است که می گویند از ماژول در جبر K [ G ] از گروه . V طبیعتاً ساختاری از مدول G دارد . در این زمینه ، تعریف به شکل زیر است:

  • اگر V به عنوان ماژول G ساده باشد ، نمایش ( V ، ρ) غیرقابل کاهش است.
  • یک نمایندگی ( V ، ρ) گفته می شود اگر ماژول های فرعی ساده G آن به صورت جفتی ناهمسان باشد ، ایزوتایپی باشد .

مثالها [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

قضیه ماسکه [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

مقالات اصلی: قضیه و ماژول نیمه ساده ماسکه .

قضیه Maschke نشان می دهد که هر زیرفضا غیرقابل کاهش نمایش ( V ، ρ) یک عامل مستقیم است ، یعنی دارای یک فضای فرعی پایدار اضافی است .

این قضیه حداقل در دو مورد مهم اعمال می شود:

در این حالت ، ماژول V نیمه ساده است. هر گونه نمایش G پس از آن یک جمع مستقیم از نمایش های غیرقابل کاهش است. به عبارت دقیق تر ، هر بازنمایی از G یک جمع مستقیم از بازنمودهای فرعی همجنس آن است و هر یک از این م itselfلفه ها خود (به روشی غیر منحصر به فرد) مجموع مستقیم بازنمایی های فرعی قابل تقسیم دو به دو معادل است.

به عنوان مثال برای نمایش منظم یک گروه متناهی ، هر جز component ایزوتایپی مجموع مستقیم کپی d از همان نمایش غیرقابل کاهش درجه d است .

مورد یک گروه محدود [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

ما در این پاراگراف فرض می کنیم که G گروه محدودی از نظم g است و مشخصه K g را تقسیم نمی کند . سپس قضیه Maschke اعمال می شود. ( W ، σ) در اینجا نمایشی غیرقابل کاهش از G درجه d را نشان می دهد . سرانجام فرض می کنیم که چند جمله ای x g - 1 در K تقسیم شود .

عملکرد مرکزی [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

مقاله اصلی: عملکرد مرکزی در یک گروه محدود .

فضای بردار توابع مرکزی ، یعنی ثابت های موجود در هر کلاس صرف ، با مقادیر K ، با یک فرم دو خطی متقارن متعارف (|) ارائه می شود که نویسه های غیرقابل تقلیل برای آن یک قاعده غیر عادی تشکیل می دهند . به خصوص :

  • به همان اندازه که کلاسهای صرف در گروه 1 وجود دارد ، نمایشهای غیرقابل تقلیل متمایز است .

نویسه [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

مقاله اصلی: شخصیت نمایشی از یک گروه محدود .

وقتی K از صفر مشخصه باشد ، شکل دو خطی پیشین شرایط مناسب و کافی برای تعیین غیرقابل کاهش بودن نمایش را فراهم می کند.

  • یک کاراکتر χ قابل کاهش نیست اگر و فقط اگر (χ | χ) = 1 باشد.

جبر گروهی [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

مقاله اصلی: جبر گروه محدود .

جبر K [ G ] مربوط به غنی سازی ساختار جبری نمایش منظم است. مرکز از جبر است حلقه مبادلهای از توابع مرکزی، که در آن ممکن است به استفاده از حساب قضایای . آنها به عنوان مثال اجازه می دهند ویژگی زیر را نشان دهند ، علت اصلی آن Frobenius برای نمایش های پیچیده 2 است  :

اثبات ویژگی صفر ( Serre ، p.  II - 4) در بخش "عدد صحیح جبری" مقاله "جبر یک گروه محدود" بازتولید می شود .

محصول تنسور [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

مقاله اصلی: نمایشگرهای محصول تنسور و گروههای محدود .

محصول تنسور اجازه می دهد تا از نمایندگی های دو گروه G 1 و G 2 نمایشی از محصول مستقیم آنها G 1 × G 2 ساخته شود و برای نمایش های غیرقابل تقلیل ما یک انتخاب داریم:

  • نمایش های غیرقابل کاهش G 1 × G 2 دقیقاً (تا ایزومورفیسم) محصولات تنسور نمایش غیرقابل کاهش G 1 و نمایشی غیرقابل کاهش G 2 است .

نمایندگی القایی [ ویرایش | کد را اصلاح کنید]

مقاله اصلی: نمایندگی ناشی از یک گروه محدود .

در موردی که N یک زیرگروه عادی از G است ، نمایش های القایی ایجاد رابطه بین یک نمایش غیرقابل کاهش S از G و محدودیت آن به N را امکان پذیر می کند  :

  • یا یک زیرگروه H از G وجود دارد که حاوی N و G مختلف است به طوری که σ توسط نمایش غیرقابل کاهش H القا می شود ، یا محدودیت σ به N ایزوتایپی است.

ما قضیه 3 Itô را استنباط می کنیم  :

  • اگر N یک زیرگروه طبیعی آبلیان از G باشد ، در این صورت درجه هر نمایشی غیرقابل کاهش از G ، به ترتیب گروه ضریب G / N تقسیم می شود .

[نمایش دادن]

تظاهرات

علاوه بر این ، معیار غیرقابل کاهش بودن مکی شرط لازم و کافی را برای غیرقابل کاهش بودن نمایندگی القا می کند.

منبع

https://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3%A9sentation_irr%C3%A9ductible