ریاضیات

دو منظره از نردبان موبیوس M 16 . برای انیمیشنی که تحول بین دو نما را نشان می دهد ، به این فایل مراجعه کنید .

در نظریه گراف ، این نردبان موبیوس M N است مکعب نمودار گردشی با تعداد حتی N از رئوس، تشکیل از N - چرخه با اضافه کردن لبه ها (به نام "پله") اتصال جفت مخالف از رئوس در چرخه است. این نام به این دلیل است که (به استثنای M 6 = K 3،3 ) M n دقیقاً دارای n / 2 4 چرخه است [1] که با لبه های مشترک خود به یکدیگر متصل می شوند و یک نوار توپولوژیک Möbius تشکیل می دهند . نردبان های موبیوس توسط گای نامگذاری و مورد مطالعه قرار گرفتو هاری  ( 1967 ).

فهرست

• 1خواص
• 2نمودار خردسالان
• 3شیمی و فیزیک
• 4بهینه سازی ترکیبی
• 5همچنین ببینید
• 6یادداشت
• 7منابع
• 8لینک های خارجی

خصوصیات [ ویرایش ]

هر نردبان موبیوس یک نمودار اوج غیر پلانار است ، به این معنی که بدون عبور در صفحه نمی توان آن را ترسیم کرد اما حذف یک راس باعث می شود که نمودار باقیمانده بدون عبور از آن ترسیم شود. نردبان های موبیوس دارای گذرگاه شماره یک هستند و می توانند بدون عبور از روی یک توروس یا یک صفحه نمایشی تعبیه شوند . بنابراین ، آنها نمونه هایی از نمودارهای توروئیدی هستند . Li (2005) جاسازیهای این نمودارها را بر روی سطوح بالاتر جنس بررسی می کند.

نردبان های Möbius یک راس-انتقالی هستند - آنها دارای تقارن هایی هستند که هر راس را به هر راس دیگر منتقل می کنند - اما (دوباره به استثنای M 6 ) لبه های انتقالی نیستند . لبه های چرخه ای که نردبان از آن تشکیل شده است را می توان از ردیف های نردبان تشخیص داد ، زیرا هر لبه چرخه به یک 4 چرخه اختصاص دارد ، در حالی که هر پله به دو چرخه از این دست تعلق دارد. بنابراین ، هیچ قرینه ای وجود ندارد که یک لبه چرخه را به یک لبه پله ای بردارید یا بالعکس.

وقتی n ≡ 2 (mod 4) ، M n دو بخشی است . وقتی n ≡ 0 باشد (mod 4) ، دو بخشی نیست. نقاط انتهایی هر پله در چرخه ابتدایی فاصله مساوی دارند ، بنابراین افزودن هر پله یک چرخه فرد ایجاد می کند. در این حالت ، از آنجا که نمودار 3 منظم است اما دو بخشی نیست ، با توجه به قضیه بروکس دارای شماره رنگی 3 است. De Mier & Noy (2004) نشان می دهد که نردبان های Möbius به طور منحصر به فرد توسط چند جمله ای Tutte تعیین می شوند .

نردبان موبیوس M 8 دارای 392 درخت پوشا است . آن و M 6 دارای بیشترین درختان پوشا در میان نمودارهای مکعبی با تعداد راس یکسان هستند. [2] با این حال ، نمودار مکعب 10 راس با بیشترین درختان ، نمودار Petersen است ، که یک نردبان موبیوس نیست.

چند جمله ای Tutte از نردبان موبیوس ممکن است توسط یک ساده محاسبه رابطه بازگشتی . [3]

نمودار خردسالان [ ویرایش ]

نمودار واگنر M 8

نردبان های موبیوس نقش مهمی در نظریه کودکان خردسال دارند . اولین نتیجه این نوع قضیه از است کلاوس واگنر  ( 1937 ) که نمودار با K 5 کوچک را می توان با استفاده از تشکیل باند جمع عملیات به ترکیب گرافهای مسطح و از نردبان موبیوس M 8 ؛ به همین دلیل M 8 را نمودار واگنر می نامند .

گابسر (1996) یک نمودار تقریبا مسطح را گرافی غیر مسطح تعریف می کند که هر خردسال غیرمستقیم برای آن مسطح است. او نشان می دهد که نمودارهای تقریباً مسطح 3 متصل ، نردبانهای موبیوس یا اعضای تعداد کمی از خانواده های دیگر هستند و نمودارهای تقریباً مسطح دیگر را می توان با دنباله ای از عملیات ساده از این شکل گرفت.

Maharry (2000) نشان می دهد که تقریباً تمام نمودارهایی که فاقد خرد مکعب هستند می توانند با یک توالی از عملیات ساده از نردبان های Möbius حاصل شوند.

شیمی و فیزیک [ ویرایش ]

والبا ، ریچاردز و هالتیوانگر (1982) ابتدا ساختارهای مولکولی را به صورت نردبان موبیوس سنتز کردند و از آن زمان به بعد این ساختار مورد توجه شیمی و استریوگرافی شیمیایی قرار گرفته است [4] ، خصوصاً از نظر فرم نردبان مانند مولکول های DNA . با در نظر گرفتن این کاربرد ، Flapan  ( 1989 ) تقارن های ریاضی تعبیه شده از نردبان های Möbius را در R 3 مطالعه می کند . به طور خاص ، همانطور که او نشان می دهد ، هر جاسازی سه بعدی یک نردبان موبیوس با تعداد عجیب و غریب پله ها از نظر توپولوژیک کایرال است: با تغییر شکل مداوم فضا و بدون عبور یک لبه از لبه دیگر ، نمی توان آن را به تصویر آینه تبدیل کرد. از طرف دیگر ، نردبان های موبیوس با تعداد پله های زوج همه در R 3 تعبیه شده اند که می توانند به تصاویر آینه ای آنها تغییر شکل دهند.

از نردبان های Möbius به عنوان شکل حلقه ابررسانا در آزمایشات برای بررسی تأثیر توپولوژی هادی بر فعل و انفعالات الکترون استفاده شده است. [5]

بهینه سازی ترکیبی [ ویرایش ]

از نردبان های Möbius نیز به عنوان بخشی از رویکردهای برنامه نویسی عدد صحیح برای مشکلات بسته بندی مجموعه ای و مرتب سازی خطی ، در علوم کامپیوتر استفاده شده است . تنظیمات خاص در این مشکلات را می توان برای مقابله با جنبه های چندبر توصیف یک برنامه ریزی خطی آرامش از مشکل؛ به این وجوهات محدودیت نردبان موبیوس گفته می شود. [6]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_ladder