هندسه تصوری [ ویرایش ]

با استفاده از هندسه تصویری ، می توان یک باند باز Möbius را به عنوان مجموعه ای از راه حل های یک معادله چند جمله ای توصیف کرد. افزودن نابرابری چند جمله ای منجر به بسته شدن یک باند موبیوس می شود. اینها باندهای موبیوس را به هندسه بسته های خطی و عمل دمیدن در هندسه جبری مرتبط می کنند .

خط واقعی فرافکنی {\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {1}} مجموعه است{\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {(0،0) \}}مقیاس گذاری مدول یعنی یک نکته در{\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {1}} کلاس معادل سازی فرم است

{\ displaystyle [A: B] = \ {(\ lambda A، \ lambda B): \ lambda \ in \ mathbf {R} \ setminus \ {0 \} \}.}

هر کلاس معادل سازی {\ displaystyle [A: B]} با {\ displaystyle B \ neq 0} نماینده منحصر به فردی دارد که مختصات دوم آن 1 است {\ displaystyle (A / B، 1)}. این نقاط کپی خط اقلیدسی را تشکیل می دهند{\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {1}}. با این حال ، کلاس هم ارز از{\ displaystyle [1: 0]}چنین نماینده ای ندارد. این نکته اضافی مانند یک بینهایت بدون امضا رفتار می کند و باعث می شود{\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {1}} از نظر توپولوژیکی همان دایره استS ^ {1}. مزیت{\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {1}}بیش از دایره این است که برخی از اشیا ge هندسی از نظر A و B معادلات ساده تری دارند . این مورد برای گروه موسیقی Möbius است.

مجموعه تحقق بخشیدن به باند باز Möbius را ارائه می دهد

{\ displaystyle M = \ {((x، y)، [A: B]) \ in \ mathbf {R} ^ {2} \ times \ mathbf {RP} ^ {1}: Ax = By \}.}

اگر خط را حذف کنیم x = 0از M (یا در واقع هر خط) ، سپس زیر مجموعه حاصل را می توان در فضای اقلیدسی تعبیه کرد\ mathbf {R} ^ 3. حذف این خط مجموعه را نشان می دهد

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} M '& = \ {((x ، y) ، [A: B]) \ در \ mathbf {R} ^ {2} \ بار \ mathbf {RP} ^ {1} : Ax = By ، \ B \ neq 0 \} \\ & = \ {(x، y، m) \ in \ mathbf {R} ^ {3}: mx = y \} ، \ end {تراز شده}}}

که در آن m مربوط می شودA / B.

یک باند بسته Möbius به عنوان مجموعه ای مشابه وجود دارد ، اما با یک نابرابری اضافی برای ایجاد یک مرز:

{\ displaystyle N = \ {((x، y)، [A: B]) \ in \ mathbf {R} ^ {2} \ times \ mathbf {RP} ^ {1}: Ax = By، \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \}.}

مرز N مجموعه تمام نقاط با استx ^ 2 + y ^ 2 = 1. هندسه N شباهت زیادی به M دارد ، بنابراین در آنچه در زیر می آید به M تمرکز خواهیم کرد .

هندسه M را می توان از طریق مبدا بر اساس خطوط توصیف کرد. هر خط از طریق مبدا در\ mathbf {R} ^ 2 مجموعه حل یک معادله است {\ displaystyle ax + by = 0}. مجموعه راه حل چه زمانی تغییر نمی کند(a، b) مجدداً تعدیل می شود ، بنابراین خط فقط به کلاس هم ارز بستگی دارد {\ displaystyle [A: B]}. یعنی خطوط از طریق مبدا توسط تنظیم می شوند{\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {1}}. علاوه بر این ، هر نقطه(x ، y) که در\ mathbf {R} ^ 2، بجز (0،0)، از طریق مبدا ، به طور خاص ، خط تعریف شده توسط یک خط منحصر به فرد قرار دارد {\ displaystyle [-y: x]}. نکته{\ displaystyle (x، y) = (0،0)}با این حال ، در هر خط از طریق مبدا نهفته است. برای این مرحله ، معادله{\ displaystyle Ax + By = 0} انحطاط به 0 = 0. این همیشه درست است ، بنابراین هر{\ displaystyle [A: B]}یک راه حل است در نتیجه ، مجموعه M ممکن است به عنوان اتحادیه ناپیوسته مجموعه خطوط از طریق مبدا توصیف شود. این همان اتحاد خطوط از طریق مبدا است ، با این تفاوت که برای هر سطر یک کپی از مبدا دارد. این کپی های اضافی از مبدأ کپی از{\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {1}}و دایره مرکزی باند موبیوس را تشکیل می دهند. این خطوط خود حاکمیت گروه موبیوس را توصیف می کنند. این نقطه نظر در مورد M هر دو را به عنوان فضای کلی بسته خط خطی نشان می دهد {\ mathcal {O}} (- 1) بر {\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {1}}و همچنین منفجر شدن مبدا در\ mathbf {R} ^ 2.

برای دیدن نیمه پیچش در M ، با نکته شروع کنید(1،0) که در\ mathbf {R} ^ 2. این مربوط به یک نقطه منحصر به فرد از M است ، یعنی{\ displaystyle P = ((1،0) ، [0: 1])}}. نیم دایره خلاف جهت عقربه های ساعت را بکشید تا مسیری در M ایجاد شود{\ displaystyle \ gamma (t) = ((\ cos (2 \ pi t)، \ sin (2 \ pi t))، [- \ sin (2 \ pi t)، \ cos (2 \ pi t)] )}. مسیر در می ایستد{\ displaystyle t = 1/2}، جایی که این موضوع را بیان می کند {\ displaystyle Q = ((- 1،0) ، [0: 1])}}. به جز P و Q ، هر نقطه از مسیر از طریق مبدا در یک خط متفاوت قرار دارد. از این رو\ گاما (t)یک بار در اطراف دایره مرکزی M حرکت می کند . با این حال ، در حالی که P و Q در یک خط حکم قرار دارند ، آنها در دو طرف مبدا قرار دارند. این تغییر در علامت ، تجلی جبری نیمه پیچ و تاب است.

اشیا Related مرتبط [ ویرایش ]

یک شی هندسی عجیب و غریب " بطری کلاین" است . از نظر تئوری می توان یک بطری کلاین را با چسباندن دو نوار Möbius در امتداد لبه های آنها تولید کرد. اما این کار در فضای اقلیدسی سه بعدی معمولی بدون ایجاد تقاطع های شخصی قابل انجام نیست. [16]

منیفولد دیگر که از نزدیک مرتبط است صفحه نمایشی واقعی است . اگر یک دیسک دایره ای از صفحه نمایشی واقعی بریده شود ، آنچه باقی می ماند نوار Möbius است. [17] با رفتن به جهت دیگر ، اگر کسی دیسک را با مشخص کردن مرزهای خود به نوار موبیوس بچسباند ، نتیجه صفحه نمایش است. برای تجسم این مسئله ، مفید است که نوار موبیوس را تغییر شکل دهید تا مرز آن یک دایره معمولی باشد (نگاه کنید به بالا). صفحه نمایشی واقعی ، مانند بطری کلاین ، بدون تقاطع های شخصی نمی تواند در سه بعد تعبیه شود.

در تئوری نمودار ، نردبان موبیوس یک نمودار مکعبی است که با نوار موبیوس ارتباط نزدیک دارد.

در سال 1968 ، گونزالو ولز جاهن (UCV ، کاراکاس ، ونزوئلا) اجسام سه بعدی با ویژگی های موبیان را کشف کرد. [18] اینها بعداً توسط مارتین گاردنر به عنوان حلقه های منشوری توصیف شد که در ستون بازی های ریاضی اوت 1978 در Science American ، به چند وجهی حلقوی تبدیل شدند . [19]

برنامه ها [ ویرایش ]

هنر ریاضی : روسری طراحی شده به عنوان نوار موبیوس

چندین کاربرد فنی برای نوار موبیوس وجود داشته است. نوارهای غول پیکر موبیوس به عنوان تسمه نقاله استفاده شده اند که ماندگاری بیشتری دارند زیرا کل سطح تسمه به همان اندازه ساییده می شود و به عنوان نوارهای ضبط حلقه مداوم (برای دو برابر کردن زمان پخش) استفاده می شود. نوارهای Möbius در ساخت روبان های چاپگر رایانه ای و ماشین تحریر رایج است ، زیرا باعث می شود روبان دو برابر سر چاپ در حالی که از هر دو نیمه به طور مساوی استفاده می کنید ، عرض داشته باشد. [20]

مقاومت موبیوس یک عنصر مداری الکترونیکی است که لغو راکتانس القایی خود است. نیکولا تسلا در سال 1894 فناوری مشابهی را ثبت اختراع کرد: [21] "سیم پیچ برای آهن ربا" برای استفاده در سیستم انتقال جهانی برق بدون سیم او در نظر گرفته شده بود.

نوار Möbius فضای پیکربندی دو نقطه نامرتب روی دایره است. در نتیجه ، در تئوری موسیقی ، فضای همه آکوردهای دو نت ، که به عنوان دیاد شناخته می شوند ، شکل نوار Möbius را می گیرد. این و تعمیم به نکات بیشتر کاربرد قابل توجهی از دو شاخه ها در تئوری موسیقی است . [22] [23]

در فیزیک / الکترو فناوری به عنوان:

  • تشدید کننده جمع و جور با فرکانس تشدید که نیمی از سیم پیچ های خطی یکسان است [24]
  • مقاومت بدون القایی [25]
  • ابررساناها با دمای انتقال بالا [26]
  • تشدید کننده موبیوس [27]

در شیمی / فناوری نانو به عنوان:

  • گره های مولکولی با ویژگی های خاص (Knotane [2]، Chirality)
  • موتورهای مولکولی [28]
  • حجم گرافن (نانو گرافیت) با مشخصات الکترونیکی جدید ، مانند مغناطیس مارپیچی [29]
  • نوع خاصی از عطر و بوی : aromaticity Möbius
  • ذرات باردار گرفتار در میدان مغناطیسی زمین که می توانند بر روی یک باند موبیوس حرکت کنند
  • cyclotide (پروتئین حلقوی) از Kalata B1، ماده فعال از گیاه Oldenlandia affinis با ، شامل توپولوژی موبیوس برای ستون فقرات پپتید.

هنر و سرگرمی [ ویرایش ]

موزاییک روم باستان که نوار موبیوس را به تصویر می کشد

از اصل نوار موبیوس به عنوان روشی برای ایجاد توهم سحر استفاده شده است . این ترفند که به باندهای افغانی معروف است ، در نیمه اول قرن بیستم بسیار محبوب بود. نسخه های زیادی از این ترفند وجود دارد و توسط توهم گرایان مشهوری مانند هری بلک استون پدر و توماس نلسون داونز انجام شده است . [30] [31]

در کارهای خلاقانه [ ویرایش ]

طرح نماد بازیافت جهانی (♲) دارای سه فلش است که یک حلقه Möbius را تشکیل می دهد. به گفته طراح آن گری اندرسون ، "این شکل به عنوان نوار موبیوس برای نماد تداوم در یک موجود محدود طراحی شده است". [32]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip