ریاضیات

4- از مقادیر ویژه تا مقادیر واحد

ارتباط بین مقادیر منفرد  و مقادیر ویژه ماتریس های A T A ، AA T وکاملاً ساده است در واقع ، بسیاری از خصوصیات مقادیر منفرد از این اتصال به ارث می رسند. با این حال ، همانطور که بررسی ما نشان می دهد ، عمق روابط بسیار فراتر از این ارتباط اساسی است. قضیه مینیمکس Courant-Fischer و قضیه Weyl نتایج بسیار مفیدی را در مقادیر ویژه ماتریس های متقارن ارائه می دهند. برای جزئیات بحث در مورد این قضیه ها و پیامدهای آن به [1،30] مراجعه کنید. در زیر سازگاری این نتایج را هنگام حرکت از مقادیر ویژه به مقادیر واحد در نظر می گیریم. از قضیه های سازگار برای ارائه اثبات "سنتی" قضیه اكارت-یانگ استفاده می شود.

مانند قبل  یک  ماتریس واقعی را نشان می دهد که SVD آن با (2.1) - (2.7) داده شده است. جفت اول قضیه ها خصوصیات مفید "minimax" از مقادیر واحد را ارائه می دهد. در این قضایا  نشانگر یک فضای خرده دلخواه از  بعد است . به طور مشابه ، یک فضای خرده دلخواه از  بعد نشان می دهد .

قضیه 1 (قضیه Minimax سمت راست Courant-Fischer) ارزش انحصاری jth از  رضایت مندی ها

(4.1)

و

(4.2)

جایی که عدد صحیح  با برابری تعریف می شود

(4.3)

(حداکثر در (4.1) از همه است  زیرفضاهای بعدی  از . حداقل در (4.2) از همه است  زیرفضاهای بعدی  از .) علاوه بر این، حداکثر در (4.1) برای به دست آمده ، در حالی که حداقل در (4.2) برای به دست آمده

.

با این حال راه حل های هر دو مشکل لزوماً منحصر به فرد نیستند.                                     

قضیه 2 (قضیه Minimax Legend Courant-Fischer) ارزش انفرادی  رضایت

(4.4)

و

(4.5)

جایی که عدد صحیح  با برابری تعریف می شود

(4.6)

علاوه بر این ، حداکثر در (4.4) برای بدست آمده است

در حالی که حداقل در (4.5) برای بدست آمده است

.        

توجه داشته باشید که قضیه 2 در اصل قضیه 1 برای است . اثبات قضیه 1 بر اساس ایده زیر است. شرط (4.3) تضمین می کند وجود یک بردار واحد، که هر دو متعلق به  و . بدین ترتیب

و

بنابراین اثبات با تأیید برابری هنگام استفاده از زیر فضاهای مشخص شده به نتیجه می رسد.

بگذارید  یک  ماتریس واقعی دیگر را نشان دهیم و بگذارید

(4.7)

ماتریس اختلاف مربوطه را نشان می دهد. مقادیر منفرد  و  به عنوان نشان داده می شوند

(4.8)

به ترتیب. نتیجه های بعدی قضیه 1 به این سوال پاسخ می دهد که چگونه رتبه  بر مقادیر واحد تأثیر می گذارد .

لما 3 فرض کنید که . در این مورد

(4.9)

اثبات نگاهی . سپس  و . در نتیجه

جایی که آخرین نابرابری از (4.2) ناشی می شود.        

قضیه 4 (ویل) بگذارید  و  مانند (4.7) - (4.8) باشد. سپس

(4.10)

تحت این کنوانسیون که  وقتی .

اثبات بگذارید  یک  SVD کوتاه شده از یک ، و  یک  SVD کوتاه شده یک درجه باشد. سپس بزرگترین مقدار مفرد از  است ، در حالی که بزرگترین مقدار مفرد از  است . به این معنا که،

(4.11)

و

(4.12)

اجازه دهید  ماتریس  با برابری تعریف شود

سپس ، و

از این رو (4.11) و (4.12) می بینیم که

جایی که آخرین نابرابری از Lemma 3 ناشی می شود.    

نتیجه 5 (Majorization) دوباره فرض که ، که به معنی  برای . سپس با جایگزینی  (4.10) می توانید جایگزین کنید

(4.13)

به عبارت دیگر ، اگر  در این صورت مقادیر  منفرد مقادیر منفرد را بزرگ می کند .      

به یاد بیاورید که  نشان دهنده یک  SVD کوتاه شده از درجه است ، همانطور که در (2.8) تعریف شده است. به طور تقریبی ، آخرین نتیجه گیری می گوید که  اغتشاش در مرتبه  ممکن است باعث شود که مقادیر واحد بیش از  «سطح» سقوط نکند . نتیجه بعدی نشان می دهد که آنها قادر به "افزایش" بیش از  سطح نیستند.

نتیجه 6 مشاهده کنید که (4.7) می تواند دوباره نوشته شود  در حالی که  دارای مقادیر منفرد یکسانی است . از این رو نتیجه دیگری از قضیه 4 است

(4.14)

علاوه بر این ، اگر  آن وقت باشد

(4.15)

نتایج بعدی مرزهای مفیدی را در مقادیر مفرد آشفته ایجاد می کنند.

نتیجه 7 (محدوده و درهم بافته) با استفاده از (4.10) و (4.14) با  می دهد

(4.16)

و

(4.17)

بعلاوه ، مورد خاص را در نظر بگیرید که  ماتریس رتبه یک باشد. سپس با استفاده از (4.13) و (4.15) همراه با داده  می شود

(4.18)

که در آن  و .                 

قضیه 8 (اكارت-یانگ) بگذارید  و  مانند (4.7) - (4.8) باشد و فرض كنید كه . سپس

(4.19)

علاوه بر این ، اجازه دهید  یک  SVD کوتاه شده از آن باشد ، همانطور که در (2.8) تعریف شده است. سپس  حداقل مسئله هنجار را حل می کند

(4.20)

دادن مقدار بهینه از

اثبات با استفاده از (4.13) می بینیم که

آخرین قضیه می گوید که  بهترین  تقریب رتبه در مورد هنجار Frobenius است. مشاهده کنید که Lemma 3 ادعای مشابهی برای هنجار 2 را اثبات می کند. پسوند بعدی به دلیل میرسکی است [ 23 ].

قضیه 9 (میرسکی) اجازه دهید  یک هنجار منحصر به فرد ثابت را نشان دهد . سپس نابرابری

(4.21)

نگه می دارد برای هر ماتریس  به طوری که . به عبارت دیگر ، مسئله حداقل هنجار را حل می کند

(4.22)

اثبات از نتیجه 5 می بینیم که مقادیر منحصر به فرد بزرگ کردن مقادیر  آن است . از این رو (4.21) نتیجه مستقیم قضیه تسلط Ky Fan است. 

یکی دیگر از مشکلات مرتبط است

(4.23)

که  نشانگر مجموعه تمام  ماتریسهای واقعی درجه است . در زیر نشان خواهیم داد که ماتریس باقیمانده

(4.24)

این مشکل را حل می کند به عبارت دیگر ، کوچکترین آشفتگی است که  به یک  ماتریس رتبه بندی تبدیل می شود .

قضیه 10 Let  و C مانند (4.7) است و فرض کنید که

سپس

(4.25)

اثبات با استفاده از قضیه اكارت-یانگ به دست می آوریم

مشاهده کنید که  حل این مسئله (4.23) هنگامی که این مسئله با هر هنجار غیرقابل تغییر دیگری تعریف می شود ، باقی می ماند. همچنین توجه داشته باشید که مشکلات Total Least Squares شکل خاصی از (23/4) را ایجاد می کند که در آن . در این حالت ، ماتریس محلول ، به ماتریس  رتبه یک کاهش می یابد ، به عنوان مثال ، [14،15]. عواقب بیشتر قضیه اكارت-یانگ در بخش 6 ارائه شده است.

منبع

https://file.scirp.org/Html/2-5300515_41122.htm