استفاده از چند جمله ای Chebyshev برای محاسبه بازگشتی هسته کانولوشن
در GCN نسل دوم ، ل آره n×n ماتریس ، بنابراینلج محاسبه هنوز است ای(n2)پیچیده ، موجهای موجود در نمودارها از طریق تئوری نمودار طیفی ، روشی را برای متناسب کردن هسته کانولوشن با استفاده از چند جمله ای چبیشف برای کاهش پیچیدگی محاسبات پیشنهاد می کند. هسته همگراییgθ(Λ)می توان آن را با چند جمله ای تغییر شکل داده شده Chebyshev تقریبی کرد. (در اصل ، ما باید به دنبال تقریب چند جمله ای Minimax باشیم ، اما نویسنده گفت که استفاده مستقیم از چند جمله ای Chebyshev نیز بسیار موثر است)
(42)gθ(Λ)≈Σک=0ک-1βکتیک(Λ~)
βآRکیک بردار چبیشف را نشان می دهد ،βک آیا ضریب (مقیاس) چند جمله ای چبیشف است.تیک(Λ~) گرفتن است Λ~=2Λ/λمترآایکس-منچند جمله ای چبیشف ، دلیل این تغییر شکل این است که ورودی چند جمله ای چبیشف باید در باشد[-1،1] بین.
از خواص چند جمله ای چبیشف ، فرمول عود زیر را می توان بدست آورد
(43)تیک(Λ~)ایکس=2Λ~تیک-1(Λ~)ایکس-تیک-2(Λ~)ایکس(44)تی0(Λ~)=من،تی1(Λ~)=Λ~
در میان آنها ، ایکس تعریف همان است که در بالا ، استn بردار بعدی از ویژگی های هر راس تشکیل شده است (البته می تواند باشدn*مترماتریس ویژگی ، و سپس هر راس دارد مترویژگی ها ، امامترمعمولا خیلی کوچکتر ازn )
در حال حاضر یافتن آن دشوار نیست:(42)دیگر هیچ محصولی ماتریسی در محاسبه وجود ندارد ، شما فقط باید محصولی از ماتریس و بردار را محاسبه کنید. یک بار محاسبه کنیدتیک(Λ~)ایکسپیچیدگی این استای(|E|) ،Eآیا مجموعه ای از لبه ها در نمودار است ، بنابراین پیچیدگی کل عملیات استای(ک|E|). وقتی Graph یک نمودار پراکنده است ، شتاب محاسبه به ویژه واضح است و پیچیدگی در این زمان بسیار کمتر ازای(n2)
تیک(Λ~)آره Λازک چند جمله ای را سفارش دهید ، وتوتوتی=من،بنابراین باید
(45)توΛ~کتوتی=توΛ~توتی...توΛ~توتی⏞ک=(توΛ~توتی)ک=(تو(2Λλمترآایکس-من)توتی)ک=(تو2Λλمترآایکستوتی-تومنتوتی)ک=(2λمترآایکستوΛتوتی-من)ک=(2λمترآایکسل-من)ک=ل~ک
در میان آنها ، ل~=2λمترآایکسل-من .
کترتیب چند جمله ای را ترتیب دهید:f(ایکس،θ)=Σک=0کایکسکθک=φ(ایکس)تیθ، در میان آنهاφ(ایکس)=[1،ایکس،ایکس2،...،ایکسک]تیآRک+1،θ=[θ0،...،θک]تیآRک+1.
دیده می شود که برایک چند جمله ای را سفارش دهیدتیک(Λ~)درکماتریس ضرب سمت چپتوماتریس ضرب راستتوتیهمه مربوط بهک چند جمله ای را سفارش دهیدتیک(ل~)درکاصطلاح ، بنابراین می توانید فرمول ترکیب نمودار را دریافت کنید:
(46)gθ(Λ)*ایکس≈توΣک=0کβکتیک(Λ~)توتیایکس=Σک=0کβکتوتیک(Λ~)توتیایکس=Σک=0کβکتیک(ل~)ایکس
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.