ریاضیات

مقدار ویژه ، که به طور معمول با حروف کوچک یونانی lambda (λ) مشخص می شود ، عددی است به این صورت که وقتی یک عملگر خطی به یک بردار اعمال می شود ، خط عمل بردار بدون تغییر است اما بردار با تغییر اندازه یا جهت معکوس تغییر شکل می دهد. این عملگر خطی به طور کلی یک ماتریس مربع است ، به این معنی که تعداد ردیف های آن به همان اندازه ستون ها است و بردار با یک خط عمل بدون تغییر یک بردار ویژه به نام بردار ویژه است . از نظر ریاضی ، مقدار ویژه عددی است که بردار ویژه با آن ضرب می شود و همان نتیجه را می دهد مانند اینکه ماتریس با بردار ضرب شود همانطور که در معادله 1 نشان داده شده است.

معادله 1

Ax = λx

در جایی که A ماتریس مربع است ، λ مقدار ویژه است و x بردار ویژه است. مقادیر ویژه A با عبور از همه اصطلاحات به یک طرف و فاکتور برداری x ویژه (معادله 2) محاسبه می شود. توجه کنید که اکنون یک ماتریس همانی وجود دارد ، I نامیده می شود ، ضرب در λ. گرفتن دترمینان اصطلاحات درون پرانتز (معادله 3) و حل سیستم معادلات خطی حاصل ، مقادیر ویژه را فراهم می کند. به تعداد ردیف (یا ستون) ویژه مقادیر ویژه وجود خواهد داشت. جزئیات نحوه محاسبه تعیین کننده ماتریس را می توان در کتاب جبر خطی یافت.

معادله 2

(A - λI) x = 0

معادله 3

det (A - λI) = 0

کاربردهای عملی مقادیر ویژه

محاسبه بردارهای ویژه و فضای ویژه

- پیش نیاز تعیین بردارهای ویژه و فضای ویژه ماتریس ، محاسبه مقادیر ویژه است.

یادگیری ماشینی - از مقادیر ویژه برای شناسایی ویژگی های مجموعه داده های بزرگ برای انجام کاهش ابعاد استفاده می شود که امکان اولویت بندی منابع محاسباتی را فراهم می کند.

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه در یادگیری ماشین

در یادگیری ماشینی ، انتخاب ویژگی هایی که تعداد زیادی از نقاط داده را نشان می دهند و اطلاعات زیادی را ارائه می دهند ، مهم است. انتخاب ویژگی هایی که آن داده ها را نشان می دهد و از بین بردن ویژگی های کم کاربرد نمونه ای از کاهش ابعاد است. ما می توانیم از مقادیر ویژه و بردارها برای شناسایی ابعادی که بیشترین کاربرد را دارند استفاده کنیم و منابع محاسباتی خود را در اولویت قرار دهیم.

منبع

https://deepai.org/machine-learning-glossary-and-terms/eigenvalue