تغییرات در مدل پایه SIR [ ویرایش ]

مدل SIS [ ویرایش ]

زرد = مستعد ، مارون = آلوده

بعضی از عفونت ها ، به عنوان مثال ، آنهایی که از سرماخوردگی و آنفلوانزا گرفته اند ، هیچ مصونیتی طولانی مدت ندارند. چنین عفونت هایی با بهبودی از عفونت ایمنی ایجاد نمی کنند و افراد دوباره مستعد می شوند.

مدل محفظه SIS

ما مدل داریم:

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} {\ frac {dS} {dt}} & = - {\ frac {\ beta SI} {N}} + \ gamma I \\ [6pt] {\ frac {dI} { dt}} & = {\ frac {\ beta SI} {N}} - \ gamma I \ end {تراز شده}}}

توجه داشته باشید که با N نشان می دهد کل جمعیت موجود در آن:

{\ frac {dS} {dt}} + {\ frac {dI} {dt}} = 0 \ Rightarrow S (t) + I (t) = N.

نتیجه می شود که:

{\ displaystyle {\ frac {dI} {dt}} = (\ beta - \ gamma) I - {\ frac {\ beta} {N}} I ^ {2}}،

یعنی پویایی عفونی توسط یک تابع لجستیکی اداره می شود ، به طوری که\ forall من (0)> 0:

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} و {\ frac {\ بتا} {\ گاما}} \ leq 1 \ ریدارو \ lim _ {t \ به + \ ناکافی} I (t) = 0 ، \\ [6pt] & {\ frac {\ beta} {\ gamma}}> 1 \ Rightarrow \ lim _ {t \ to + \ infty} I (t) = \ left (1 - {\ frac {\ gamma} {\ beta}} \ راست) N. \ پایان {تراز شده}}}

یافتن راه حل تحلیلی برای این مدل (با ایجاد تغییر در متغیرها: I = y ^ {{- 1}}و این را در معادلات میدان متوسط ​​جایگزین کنید) ، [16] به گونه ای که نرخ تولید مثل اساسی بیشتر از وحدت است. راه حل به عنوان داده شده است

{\ displaystyle I (t) = {\ frac {I _ {\ infty}} {1 + Ve ^ {- \ chi t}}}}.

جایی که

{\ displaystyle I _ {\ infty} = (1- 1- gamma / \ beta) N} جمعیت عفونی بومی است ، \ chi = \ beta - \ gama ، و V = I _ {\ infty} / I_ {0} -1. با فرض بسته بودن سیستم ، جمعیت مستعد در آن زمان استS (t) = NI (t).

به عنوان یک مورد خاص ، شخص با فرض عملکرد لجستیک معمول را بدست می آورد \ gama = 0. این را می توان در مدل SIR با در نظر گرفتR = 0، یعنی هیچگونه برداشتی صورت نخواهد گرفت. این مدل SI است . [17] سیستم معادلات دیفرانسیل با استفاده از{\ displaystyle S = NI} بنابراین به:

{\ displaystyle {\ frac {dI} {dt}} \ propto I \ cdot (NI).}

در طولانی مدت ، در مدل SI ، همه افراد آلوده می شوند. برای ارزیابی آستانه اپیدمی در مدل SIS در شبکه ها ، به پارشانی و همکاران مراجعه کنید. [18]