ادامه انتگرال ناسره

جمع بودن [ ویرایش ]

یک انتگرال نامناسب ممکن است از این نظر متفاوت باشد که حد ممکن است تعریف کننده آن وجود نداشته باشد. در این حالت ، تعریفهای پیچیده تری از حد وجود دارد که می تواند یک مقدار همگرا برای انتگرال نامناسب تولید کند. اینها به نام summability روش.

یک روش جمع بندی که در تحلیل فوریه مشهور است ، روش جمع بندی سزارو است . انتگرال

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \، dx}$

اگر سزارو جمع شود (C ، α) اگر باشد

${\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left (1 - {\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {\ alpha} f (x) \ ، dx}$

وجود دارد و متناهی است ( Titchmarsh 1948 ، §1.15). مقدار این حد ، در صورت وجود ، (C ، α) حاصل جمع انتگرال است.

انتگرال دقیقاً وقتی جمع شود که به عنوان یک انتگرال نامناسب باشد. با این حال ، انتگرال هایی وجود دارد که (C ، α) برای α> 0 جمع می شوند که به عنوان انتگرال نامناسب همگرا نمی شوند (به معنای ریمان یا لبسگ). یک مثال انتگرال است

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin x \، dx}$

که به عنوان یک انتگرال نامناسب وجود ندارد ، اما (C ، α) برای هر α> 0. جمع می شود. این یک نسخه انتگرال از سری Grandi است .

انتگرال های نامناسب چند متغیره [ ویرایش ]

انتگرال نامناسب همچنین می تواند برای توابع چندین متغیر تعریف شود. بسته به اینکه شخص به یکپارچه سازی در یک دامنه نامحدود نیاز داشته باشد ، از جمله تعریف کمی متفاوت است $\ R ^ 2$ ، یا یک تابع را با تکین ها ادغام می کند ، مانند $f (x، y) = \ log (x ^ {2} + y ^ {2})$ .

انتگرال نامناسب در دامنه های دلخواه [ ویرایش ]

اگر ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ به \ mathbb {R}}$ یک عملکرد غیر منفی است که ریمان در هر مکعب جمع و جور قابل جمع شدن است $[-a، a] ^ {n}$ ، برای $a> 0$ ، سپس انتگرال نامناسب $\ mathbb {R} ^ {n}$ به عنوان حد تعریف شده است

$\ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {[- a، a] ^ {n}} f،$

به شرط وجود

یک تابع در یک دامنه دلخواه $\ mathbb {R} ^ {n}$ به یک تابع گسترش می یابد ${\ tilde {f}}$ بر $\ mathbb {R} ^ {n}$ با صفر در خارج از A :

${\ tilde {f}} (x) = {\ start {موارد} f (x) & x \ در A \\ 0 & x \ not \ در A \ end {موارد}}$

انتگرال ریمان یک تابع بیش از یک دامنه محدود A به عنوان انتگرال تابع توسعه یافته تعریف می شود ${\ tilde {f}}$ روی مکعب $[-a، a] ^ {n}$ حاوی A :

$\ int _ {A} f = \ int _ {[- a، a] ^ {n}} {\ tilde {f}}.$

به طور کلی ، اگر A نامحدود باشد ، انتگرال نامناسب ریمان در یک دامنه دلخواه در $\ mathbb {R} ^ {n}$ به عنوان حد تعریف شده است:

$\ int _ {A} f = \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {A \ cap [-a، a] ^ {n}} f = \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {[- a ، a] ^ {n}} {\ tilde {f}}.$

انتگرال نامناسب با تکینگی ها [ ویرایش ]

اگر f یک تابع غیر منفی باشد که در دامنه A محدودیتی نداشته باشد ، انتگرال نامناسب f با کوتاه کردن f در برخی از برش های M ، یکپارچه سازی تابع حاصل و سپس گرفتن حد به عنوان M به سمت بی نهایت تعیین می شود. این برای $M> 0$ ، تنظیم $f_ {M} = \ min \ {f ، M \}$ . سپس تعریف کنید

$\ int _ {A} f = \ lim _ {M \ to \ infty} \ int _ {A} f_ {M}$

به شرط وجود این محدودیت.

عملکردهایی با مقادیر مثبت و منفی [ ویرایش ]

این تعاریف برای توابع غیر منفی کاربرد دارند. یک تابع عمومی تر f می تواند به عنوان تفاوت در قسمت مثبت آن تجزیه شود $f _ {+} = \ max \ {f ، 0 \}$ و قسمت منفی $f _ {-} = \ max \ {- f ، 0 \}$ ، بنابراین

$f = f _ {+} - f _ {-}$

با $f _ {+}$ و $f _ {-}$ هر دو عملکرد غیر منفی. تابع f اگر هر یک از آنها یک انتگرال نامناسب ریمان داشته باشد $f _ {+}$ و $f _ {-}$ یکی دارد ، در این صورت مقدار آن انتگرال نامناسب توسط تعریف می شود