انواع انتگرال [ ویرایش ]

بیش از یک نظریه ادغام وجود دارد . از نظر حساب ، نظریه انتگرال ریمان معمولاً به عنوان نظریه پیش فرض در نظر گرفته می شود. در استفاده از انتگرال های نامناسب ، مهم است که کدام تئوری ادغام در بازی است.

  • برای انتگرال ریمان (یا انتگرال داربوکس ، که معادل آن است) ، یکپارچه سازی نادرست هم برای فواصل نامحدود لازم است (از آنجا که نمی توان این فواصل را به تعداد زیادی زیرقسمت با طول محدود تقسیم کرد) و هم برای توابع نامحدود با انتگرال محدود (از با فرض اینکه در بالا نامحدود باشد ، انتگرال فوقانی نامحدود خواهد بود ، اما انتگرال پایین متناهی خواهد بود).
  • انتگرال Lebesgue معاملات متفاوت با دامنه نا محدود و توابع بیکران، به طوری که اغلب یک انتگرال که تنها به عنوان یک انتگرال ریمان نامناسب وجود دارد به عنوان یک (مناسب) Lebesgue انتگرال مانند وجود داشته باشد،{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \، dx}. از طرف دیگر ، انتگرال هایی نیز وجود دارند که دارای یک انتگرال نامناسب ریمان هستند اما یک انتگرال (مناسب) Lebesgue ندارند ، مانند\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \، dx. نظریه Lebesgue این را کمبود نمی داند: از نظر تئوری اندازه گیری ،
  • {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \، dx = \ infty - \ infty}و قابل تعریف راضی کننده نیست. در برخی از شرایط ، ممکن است استفاده از انتگرال های نامناسب Lebesgue همانطور که برای مثال در هنگام تعیین مقدار اصلی کوشی مناسب است . انتگرال Lebesgue با استفاده فراگیر از انتگرال ها در کل خط واقعی ، در درمان نظری تبدیل فوریه کم و بیش ضروری است .
  • برای انتگرال Henstock – Kurzweil ، ادغام نامناسب ضروری نیست ، و این به عنوان نقطه قوت تئوری تلقی می شود: این شامل تمام توابع قابل تلفیق و نامناسب ریمان Lebesgue است.

انتگرال نامناسب ریمان و انتگرال Lebesgue [ ویرایش ]

شکل 1

شکل 2

در برخی موارد ، انتگرال

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (x) \، dx}

را می توان به عنوان یک انتگرال (به عنوان مثال یک انتگرال Lebesgue ) بدون اشاره به حد تعریف کرد

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to c ^ {-}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، dx}

اما در غیر این صورت به راحتی قابل محاسبه نیست. این امر اغلب هنگامی اتفاق می افتد که تابع f از a به c یک مجانب عمودی در c داشته باشد ، یا اگر c  = ∞ باشد (به شکل 1 و 2 مراجعه کنید). در چنین مواردی ، انتگرال نامناسب ریمان به شما امکان می دهد انتگرال Lebesgue از تابع را محاسبه کند. به طور خاص ، قضیه زیر وجود دارد ( Apostol 1974 ، قضیه 10.33):

  • اگر تابع f را ریمان انتگرال در [ ، ب ] برای هر ب  ≥  و انتگرال جزئی

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | \، dx}

به عنوان b  → bound ، سپس انتگرال های نامناسب ریمان محدود می شوند

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x) \، dx، \ quad {\ mbox {and}} \ int _ {a} ^ {\ infty} | f (x) | \، dx}

هر دو وجود دارند بعلاوه ، f Lebesgue قابل تجزیه در [ a ، ∞] است و انتگرال Lebesgue آن برابر است با انتگرال نامناسب ریمان.

به عنوان مثال ، انتگرال

\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}}

می تواند جایگزین به عنوان انتگرال نامناسب تفسیر شود

\ lim _ {{b \ to \ infty}} \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} = \ lim _ {{b \ to \ infty} } \ arctan {b} = {\ frac {\ pi} {2}} ،

یا ممکن است به جای آن به عنوان یک انتگرال Lebesgue در مجموعه (0 ، ∞) تفسیر شود . از آنجا که هر دو نوع این انتگرال با هم توافق دارند ، شخص آزاد است که روش اول را برای محاسبه مقدار انتگرال انتخاب کند ، حتی اگر در نهایت بخواهد آن را به عنوان یک انتگرال Lebesgue در نظر بگیرد. بنابراین انتگرال های نامناسب به وضوح ابزاری مفید برای بدست آوردن مقادیر واقعی انتگرال ها هستند.

با این حال ، در موارد دیگر ، یک انتگرال Lebesgue بین نقاط انتهایی محدود حتی ممکن است تعریف نشده باشد ، زیرا انتگرال قسمتهای مثبت و منفی f هر دو نامحدود هستند ، اما انتگرال نامناسب ریمان ممکن است هنوز وجود داشته باشد. چنین مواردی انتگرال "به درستی نامناسب" هستند ، به این معنی که مقادیر آنها را نمی توان تعریف کرد مگر در چنین محدوداتی. مثلا،

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \، dx}

از آنجا که نمی توان به عنوان یک ماده انتزاعی Lebesgue تفسیر کرد

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ right | \، dx = \ infty.}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}}} با این وجود بین هر دو نقطه محدود متناسب است و انتگرال آن بین 0 و usually معمولاً به عنوان حد انتگرال قابل درک است:

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \، dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ { b} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \، dx = {\ frac {\ pi} {2}}.}

تکینگی ها [ ویرایش ]

می توان از یکتایی یک انتگرال نامناسب صحبت کرد ، یعنی آن نقاط از خط اعداد واقعی توسعه یافته که در آن از حد استفاده می شود.

ارزش اصلی کوشی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ارزش اصلی کوشی

تفاوت مقادیر دو حد را در نظر بگیرید:

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- a} {\ frac {dx} {x}} + \ int _ {a} ^ { 1} {\ frac {dx} {x}} \ راست) = 0 ،}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- a} {\ frac {dx} {x}} + \ int _ {2a} ^ { 1} {\ frac {dx} {x}} \ سمت راست) = - \ ln 2.}

اولین مورد ، ارزش اصلی کوشی در اصطلاح تعریف بد تعریف شده است

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}} {\} \ سمت چپ ({\ mbox {که}} \ {\ mbox {می دهد}} \ - \ نامعتبر + \ ناکافی \ راست).}

به همین ترتیب ، ما داریم

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- a} ^ {a} {\ frac {2x \، dx} {x ^ {2} +1}} = 0،}{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- a} ^ {a} {\ frac {2x \، dx} {x ^ {2} +1}} = 0،}

ولی

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- 2a} ^ {a} {\ frac {2x \، dx} {x ^ {2} +1}} = - \ ln 4.}{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- 2a} ^ {a} {\ frac {2x \، dx} {x ^ {2} +1}} = - \ ln 4.}

مورد اول ارزش اصلی عبارت غیرقابل تعریف است

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {2x \، dx} {x ^ {2} +1}} {\} \ سمت چپ ({\ mbox {which}} \ { \ mbox {dide}} \ - \ infty + \ infty \ right).}{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {2x \، dx} {x ^ {2} +1}} {\} \ سمت چپ ({\ mbox {which}} \ { \ mbox {dide}} \ - \ infty + \ infty \ right).}

تمام محدودیت های فوق موارد شکل نامشخص ∞ - هستند.

این آسیب شناسی ها بر عملکردهای "تلفیق پذیر Lebesgue" تأثیر نمی گذارد ، یعنی عملکردهای انتگرال مقادیر مطلق آنها محدود است.