انتگرال نامناسب از نوع اول. انتگرال ممکن است لازم باشد در یک دامنه نامحدود تعریف شود.

جدایی ناپذیر ریمان از نوع دوم. یکپارچه ممکن است به دلیل وجود یک مجانب عمودی در عملکرد وجود نداشته باشد.

بخشی از یک سری مقالات در مورد
حساب

دیفرانسیل[نمایش]

انتگرال[پنهان شدن]

تعاریف
ادغام توسط

سلسله[نمایش]

بردار[نمایش]

چند متغیره[نمایش]

تخصصی[نمایش]

واژه نامه حساب[نمایش]

در تجزیه و تحلیل ریاضی ، یک جدایی ناپذیر نامناسب است حد از یک انتگرال معین به عنوان یک نقطه پایانی از فاصله (بازدید کنندگان) ادغام رویکردهای مشخص هم عدد حقیقی ،- \ بی فایده ، یا در بعضی موارد با نزدیک شدن هر دو نقطه انتهایی. چنین انتگرال غالباً به صورت نمادین درست مانند یک انتگرال معین استاندارد ، در بعضی موارد با بی نهایت به عنوان حد ادغام نوشته می شود.

به طور خاص ، انتگرال نامناسب محدودیت فرم است:

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، dx، \ qquad \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \، dx،}

یا

{\ displaystyle \ lim _ {c \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \، dx، \ quad \ lim _ {c \ to a ^ {+}} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \، dx،}

که در آن یکی در نقطه پایانی (یا گاهی هر دو) محدودیت می گیرد ( Apostol 1967 ، §10.23).

با سو abuse استفاده از علامت گذاری ، انتگرال های نامناسب غالباً به صورت نمادین درست مانند انتگرال های مشخص استاندارد نوشته می شوند ، شاید با بی نهایت بودن در بین مرزهای ادغام. وقتی انتگرال مشخص وجود دارد (به معنای انتگرال ریمان یا انتگرال پیشرفته تر لبسگ ) ، این ابهام حل می شود زیرا هم انتگرال مناسب و هم نادرست از نظر ارزش با هم منطبق می شوند.

غالباً فرد قادر است مقادیر را برای انتگرال های نامناسب محاسبه کند ، حتی اگر این تابع به معنای متداول قابل جمع نیست (به عنوان مثال یکپارچه ریمان ) به دلیل تکینگی در تابع یا بی نهایت بودن یکی از مرزهای ادغام است.

 

فهرست

مثالها [ ویرایش ]

تعریف اصلی انتگرال ریمان برای تابعی مانند این اعمال نمی شود1 / {x ^ {2}}در فاصله [1 ، ∞) ، زیرا در این حالت دامنه ادغام نامحدود است . با این حال ، انتگرال ریمان را اغلب می توان با تداوم ، با تعریف انتگرال نامناسب در عوض به عنوان یک حد ، گسترش داد

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \، dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ { b} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \، dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ left (- {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1 } {1}} \ راست) = 1.}

تعریف محدود انتگرال ریمان نیز عملکرد را پوشش نمی دهد 1 / {\ sqrt {x}}روی فاصله [0 ، 1]. مسئله در اینجا این است که Integrand در حوزه ادغام نامحدود است (تعریف نیاز دارد که دامنه یکپارچه سازی و Integrand محدود شوند). با این حال ، انتگرال نامناسب اگر به عنوان حد محدود شناخته شود ، وجود دارد

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {x}}} \، dx = \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {x}}} \، dx = \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} (2-2 {\ sqrt {a}}) = 2. }

انتگرال نامناسب
\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} = \ pi
دارای فواصل نامحدود برای دامنه و دامنه است.

بعضی اوقات انتگرال ها ممکن است در جایی که نامناسب هستند ، دو تک داشته باشند. در نظر بگیرید، برای مثال، تابع 1 / (( X + 1) √ X ) یکپارچه از 0 تا ∞ (راست نشان داده شده). در کران پایین، به عنوان X می رود به 0 تابع می رود به ∞ ، و کران بالا است ∞ ، هر چند تابع را به 0. می رود بنابراین این انتگرال مضاعف نامناسب است. یکپارچه ، مثلاً از 1 تا 3 ، یک مقدار معمولی ریمان برای تولید نتیجه π / 6 کافی است. به ادغام از 1 تا ∞ ، مبلغ ریمان امکان پذیر نیست. با این حال ، هر مرز فوقانی محدود ، مثلاً t (با t > 1) بگویید) ، یک نتیجه کاملاً مشخص ، 2 ارکان ( √ t ) - π / 2 می دهد . این یک حد محدود دارد زیرا t به بی نهایت می رود ، یعنی π / 2. به طور مشابه ، انتگرال از 1/3 به 1 به یک مقدار ریمان نیز اجازه می دهد ، به طور تصادفی دوباره π / 6 تولید می کند . جایگزینی 1/3 با یک مقدار دلخواه مثبت بازدید کنندگان (با بازدید کنندگان <1 ) به همان اندازه بی خطر است، به π / 2 - 2 arctan ( √ بازدید کنندگان ) . این نیز یک حد محدود دارد زیرا s به صفر می رسد ، یعنی π / 2. با ترکیب حدود دو قطعه ، نتیجه این انتگرال نامناسب است

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ int _ {0} ^ {\ ناکافی} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} & {} = \ lim _ {s \ به 0 ^ {+}} \ int _ {s} ^ {1} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} + \ lim _ {t \ to \ invyy} \ int _ {1} ^ {t} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} \\ & {} = \ lim _ {s \ تا 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ arctan {\ sqrt {s}} \ right) + \ lim _ {t \ to \ infty} \ left (2 \ arctan {\ sqrt {t }} - {\ frac {\ pi} {2}} \ راست) \\ & {} = {\ frac {\ pi} {2}} + \ چپ (\ pi - {\ frac {\ pi} {2 }} \ راست) \\ & {} = \ pi. \ end {تراز شده}}}

این روند موفقیت را تضمین نمی کند. ممکن است محدودیتی وجود نداشته باشد یا بی نهایت باشد. به عنوان مثال ، در فاصله محدود از 0 تا 1 ، انتگرال 1 / x همگرا نیست. و بیش از فاصله نامحدود از 1 تا ∞ انتگرال 1 / √ x همگرا نیست.

انتگرال نامناسب
\ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} = 6
همگرایی می کند ، از آنجا که هر دو حد چپ و راست وجود دارد ، اگرچه یکپارچه در نزدیکی یک نقطه داخلی محدود نیست.

همچنین ممکن است اتفاق بیفتد که یک انتگرال نزدیک به یک نقطه داخلی بدون محدودیت باشد ، در این صورت انتگرال باید در آن نقطه تقسیم شود. برای همگرایی یکپارچه به عنوان یک کل ، انتگرال های حد در هر دو طرف باید وجود داشته باشند و باید محدود شوند. مثلا:

{\ start {تراز شده} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} و {} = \ lim _ {s \ به 0} \ int _ {- 1} ^ {- s} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} + \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {t} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} \\ & {} = \ lim _ {s \ به 0} 3 (1- {\ sqrt [{3}] {s}}) + \ lim _ {t \ تا 0} 3 (1 - {\ sqrt [{3}] {t}}) \\ & {} = 3 + 3 \ \ & {} = 6. \ end {تراز شده}}

اما انتگرال مشابه

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}}}

از این طریق نمی توان مقداری اختصاص داد ، زیرا انتگرال های بالا و زیر صفر به طور مستقل با هم جمع نمی شوند. (با این حال ، به ارزش اصلی کوشی مراجعه کنید .)

همگرایی انتگرال [ ویرایش ]

انتگرال نامناسب اگر حد مشخص کننده آن وجود داشته باشد همگرا می شود. بنابراین به عنوان مثال یکی می گوید که انتگرال نامناسب

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {t} f (x) \، dx}

اگر انتگرالهای زیر حد برای همه t به اندازه کافی بزرگ وجود داشته باشد و برابر با L است و مقدار حد برابر با L است .

همچنین ممکن است یک انتگرال نامناسب تا بی نهایت دور شود. در این حالت ، می توان مقدار ∞ (یا -∞) را به انتگرال اختصاص داد. برای مثال

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} {\ frac {1} {x}} \، dx = \ infty.}

با این حال ، انتگرال های نامناسب دیگر ممکن است به سادگی در هیچ جهت خاصی از هم جدا شوند ، مانند

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} x \ sin (x) \، dx،}

که وجود ندارد ، حتی به عنوان یک عدد واقعی گسترش یافته . به این واگرایی در اثر نوسان گفته می شود.

محدودیت روش یکپارچه سازی نادرست این است که این محدودیت باید با توجه به یک نقطه انتهایی در یک زمان انجام شود. بنابراین ، به عنوان مثال ، انتگرال نامناسب فرم

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \، dx}

با گرفتن دو حد جداگانه می توان تعریف کرد. شوخ طبع بودن

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \، dx = \ lim _ {a \ to - \ infty} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a } ^ {b} f (x) \، dx}

مشروط بر اینکه حد دو برابر محدود باشد. همچنین می تواند به عنوان یک جفت انتگرال مجزا و نامناسب از نوع اول تعریف شود:

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \، dx + \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {c} ^ {b } f (x) \، dx}

که در آن c هر نقطه مناسب برای شروع ادغام است. این تعریف همچنین درصورتی که یکی از این انتگرال ها نامحدود باشد یا هر دو در صورت داشتن علامت یکسان ، اعمال می شود.

مثالی از یک انتگرال نامناسب که در آن هر دو نقطه انتهایی نامحدود هستند ، انتگرال گاوسی است {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \، dx = {\ sqrt {\ pi}}}. مثالی که تا بی نهایت ارزیابی می کند این است{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {x} \، dx}. اما حتی نمی توان سایر انتگرال های دیگر از این دست را بدون ابهام تعریف کرد ، مانند{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \، dx}، از آنجا که حد دو برابر بی نهایت و روش دو انتگرال است

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {c} x \، dx + \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {c} ^ {b} x \ ، dx}

بازده - محصول \ بی ارزش - \ بی ارزش . در این حالت ، با این وجود می توان یک انتگرال نامناسب را به معنای مقدار اصلی کوشی تعریف کرد :

{\ displaystyle \ operatorname {pv} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \، dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {- b} ^ {b} x \، dx = 0.}

س questionsالاتی که فرد باید در تعیین انتگرال نامناسب به آنها بپردازد عبارتند از:

  • آیا محدودیت وجود دارد؟
  • آیا می توان حد را محاسبه کرد؟

سوال اول مسئله تحلیل ریاضی است . روش دوم را می توان با استفاده از تکنیک های حسابگری ، بلکه در برخی موارد با ادغام کانتور ، تبدیل فوریه و سایر روش های پیشرفته تر مورد توجه قرار داد.