در ریاضیات ، معادلات انتگرال ولترا نوع خاصی از معادلات انتگرال است . [1] آنها به دو گروه تقسیم می شوند كه از آنها به عنوان نوع اول و دوم یاد می شود.

یک معادله خطی ولترا از نوع اول است

f (t) = \ int _ {a} ^ {t} K (t، s) \، x (s) \، ds

که در آن ƒ یک تابع داده شده است و x یک تابع ناشناخته است که باید برای آن حل شود. معادله خطی ولترا از نوع دوم است

x (t) = f (t) + \ int _ {a} ^ {t} K (t، s) x (s) \، ds.

در نظریه عملگر و در نظریه فردهلم ، عملگرهای مربوطه عملگرهای Volterra نامیده می شوند . یک روش مفید برای حل چنین معادلاتی ، روش تجزیه آدومی ، به دلیل جورج آدمیان است .

یک معادله انتگرال خطی ولترا یک معادله کانولوشن است اگر

x (t) = f (t) + \ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} K (ts) x (s) \، ds.

کارکرد کدر انتگرال هسته نامیده می شود . چنین معادلاتی را می توان با استفاده از تکنیک های تبدیل لاپلاس تحلیل و حل کرد .

معادلات انتگرال ولترا توسط ویتو ولترا معرفی شد و سپس توسط ترائیان لالسكو در تز خود در سال 1908 ، Sur les équations de Volterra ، تحت مدیریت امیل پیكارد مورد مطالعه قرار گرفت . در سال 1911 ، لالسكو اولین كتاب درباره معادلات انتگرال را نوشت.

معادلات جدایی ناپذیر ولترا از طریق معادله تجدید ، در دموگرافی ، مطالعه مواد ویسکوالاستیک و در علم عملگر کاربرد دارند . [2]

 

فهرست

تبدیل معادله ولترا از نوع اول به نوع دوم [ ویرایش ]

یک معادله ولترا خطی از نوع اول را همیشه می توان به یک معادله خطی ولترا از نوع دوم تقلیل داد ، با این فرض که {\ displaystyle K (t، t) \ neq 0}. با استفاده از مشتق معادله نوع اول ولترا:

 

{\ displaystyle {df \ over {dt}} = \ int _ {a} ^ {t} {\ partial K \ over {\ partial t}} x (s) ds + K (t، t) x (t) }تقسیم از طریق {\ displaystyle K (t، t)} بازده - محصول:

 

{\ displaystyle x (t) = {1 \ over {K (t، t)}} {df \ over {dt}} - \ int _ {a} ^ {t} {1 \ over {K (t، t )}} {\ جزئی K = بیش از {\ جزئی t}} x ds}تعریف کردن

{\ textstyle {\ widetilde {f}} (t) = {1 \ بیش از {K (t، t)}} {df \ بیش از {dt}}} و {\ textstyle {\ widetilde {K}} (t، s) = - {1 \ over {K (t، t)}} {\ partial K \ over {\ partial t}}} تبدیل معادله نوع اول را به یک معادله خطی ولترا از نوع دوم کامل می کند.

 

راه حل عددی با استفاده از قانون ذوزنقه ای [ ویرایش ]

یک روش استاندارد برای محاسبه حل عددی یک معادله خطی ولترا از نوع دوم ، قانون ذوزنقه ای است که برای زیرفواصل هایی با فاصله یکسان\ دلتا x از رابطه زیر بدست می آید:

 

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx \ تقریبی {\ Delta x \ over {2}} \ left [f (x_ {0}) + 2 \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} f (x_ {i}) + f (x_ {n}) \ راست]}با فرض فاصله مساوی برای subinterval ها ، ممکن است م componentلفه انتگرال معادله Volterra با تقریب زیر:

 

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {t} K (t، s) x (s) ds \ تقریبی {\ Delta s \ over {2}} \ left [K (t، s_ {0}) x ( s_ {0}) + 2K (t، s_ {1}) x (s_ {1}) + \ cdots + 2K (t، s_ {n-1}) x (s_ {n-1}) + K (t ، s_ {n}) x (s_ {n}) \ راست]}تعریف کردن {\ displaystyle x_ {i} = x (s_ {i})}{\ displaystyle f_ {i} = f (t_ {i})}، و {\ displaystyle K_ {ij} = K (t_ {i}، s_ {j})}، ما سیستم معادلات خطی را داریم:

 

{\ displaystyle {\ شروع {تراز شده} x_ {0} & = f_ {0} \\ x_ {1} & = f_ {1} + {\ Delta s \ بیش از {2}} \ چپ (K_ {10} x_ {0} + K_ {11} x_ {1} \ right) \\ x_ {2} & = f_ {2} + {\ Delta s \ over {2}} \ left (K_ {20} x_ {0} + 2K_ {21} x_ {1} + K_ {22} x_ {2} \ راست) \\ & \ vdots \\ x_ {n} & = f_ {n} + {\ Delta s \ بیش از {2}} \ سمت چپ (K_ {n0} x_ {0} + 2K_ {n1} x_ {1} + \ cdots + 2K_ {n، n-1} x_ {n-1} + K_ {nn} x_ {n} \ سمت راست) \ پایان {هم راستا}}}این معادل معادله ماتریس است:

 

{\ displaystyle x = f + Mx \ حاوی x = (IM) ^ {- 1} f}برای هسته های خوش رفتار ، قاعده ذوزنقه ای به خوبی کار می کند.

 

کاربرد: نظریه خرابی [ ویرایش ]

یکی از زمینه هایی که معادلات انتگرال ولترا در آن ظاهر می شود ، تئوری خرابی است ، مطالعه خطر ورشکستگی در علم محاسبات. هدف این است که کمی از بین ببرد{\ displaystyle \ psi (u) = \ mathbb {P} [\ tau (u) <\ infty]}، جایی که تو مازاد اولیه است و {\ displaystyle \ tau (u)}زمان خرابی است. در مدل کلاسیک نظریه خرابی ، وضعیت خالص نقدیX _ {{t}} تابعی از مازاد اولیه ، درآمد حق بیمه بدست آمده با نرخ است ج، و ادعاهای خروجی \ xi :

 

{\ displaystyle X_ {t} = u + ct- \ sum _ {i = 1} ^ {N_ {t}} \ xi _ {i} ، \ quad t \ geq 0}جایی که {\ displaystyle N_ {t}}یک روند پواسون برای تعداد ادعاها با شدت است\ لامبدا . در این شرایط ، احتمال خرابی را می توان با یک معادله انتگرال ولترا از فرم نشان داد [3] :

 

{\ displaystyle \ psi (u) = {\ lambda \ over {c}} \ int _ {u} ^ {\ infty} S (x) dx + {\ lambda \ over {c}} \ int _ {0} ^ {u} \ psi (ux) S (x) dx}جایی که S (\ cdot)است تابع بقا از توزیع ادعا می کند.

 

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra_integral_equation