موارد خاص [ ویرایش ]

تمام آزمایشات در سلسله مراتب دی مورگان به جز آزمون گاوس را می توان به راحتی موارد ویژه ای از آزمون كومر دانست: [4]

  • برای آزمون نسبت ، بگذارید ζ n = 1. سپس:

{\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = \ چپ ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ راست) = 1 / \ rho _ {نسبت} -1}

  • برای آزمون Raabe ، اجازه دهید n n = n. سپس:

{\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = \ left (n {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - (n + 1) \ right) = \ rho _ {Raabe} -1 }

  • برای آزمون برتراند ، بگذارید ζ n = n ln (n). سپس:

{\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = n \ ln (n) \ چپ ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} \ راست) - (n + 1) \ ln (n 1+)}

استفاده كردن {\ displaystyle \ ln (n + 1) = \ ln (n) + \ ln (1 + 1 / n)}و تقریب{\ displaystyle \ ln (1 + 1 / n) \ rightarrow 1 / n}برای n بزرگ ، که در مقایسه با سایر اصطلاحات قابل اغماض است ،{\ displaystyle \ rho _ {Kummer}} ممکن است نوشته شود:

{\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = n \ ln (n) \ چپ ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ راست) - \ ln (n) -1 = \ rho _ {برتراند} -1}

  • برای امتحان برتراند ، اجازه دهید {\ displaystyle \ zeta _ {n} = n \ prod _ {k = 1} ^ {K} \ ln _ {(k)} (n).}از گسترش سری تیلور برای بزرگnبه تقریب می رسیم

{\ displaystyle \ ln _ {(k)} (n + 1) = \ ln _ {(k)} (n) + {\ frac {1} {n \ prod _ {j = 1} ^ {k-1 } \ ln _ {(j)} (n)}} + O \ چپ ({\ frac {1} {n ^ {2}}} \ راست) ،}

جایی که محصول خالی 1 در نظر گرفته شود.

{\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = n \ prod _ {k = 1} ^ {K} \ ln _ {(k)} (n) {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1} }} - (n + 1) \ چپ [\ prod _ {k = 1} ^ {K} \ چپ (\ ln _ {(k)} (n) + {\ frac {1} {n \ prod _ { j = 1} ^ {k-1} \ ln _ {(j)} (n)}} \ راست) \ right] + o (1) = n \ prod _ {k = 1} ^ {K} \ ln _ {(k)} (n) \ چپ ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ راست) - \ sum _ {j = 1} ^ {K} \ تولید _ {k = 1} ^ {j} \ ln _ {(K-k + 1)} (n) -1 + o (1).}

از این رو ،

{\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = \ rho _ {ExtendedBertrand} -1.}

توجه داشته باشید که برای این چهار آزمون ، هرچه در سلسله مراتب دی مورگان بالاتر باشند ، آهسته تر می شوند {\ displaystyle 1 / \ zeta _ {n}} سریال واگرا می شود.

اثبات آزمایش کامر [ ویرایش ]

اگر {\ displaystyle \ rho _ {n}> 0} سپس یک عدد مثبت را درست کنید {\ displaystyle 0 <\ delta <\ rho _ {n}}. یک عدد طبیعی وجود داردن به طوری که برای هر n> N ،

\ delta \ leq \ zeta_ {n} \ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}} - \ zeta_ {n + 1}.

از آنجا که a_ {n + 1}> 0، برای هر n> N ،

0 \ leq \ delta a_ {n + 1} \ leq \ zeta_ {n} a_ {n} - \ zeta_ {n + 1} a_ {n + 1}.

به خصوص 

\ zeta_ {n + 1} a_ {n + 1} \ leq \ zeta_ {n} a_ {n} برای همه n \ geq N به این معنی که از شاخص شروع می شودن تسلسل و توالی 

\ zeta_ {n} a_ {n}> 0 یکنواخت کاهش یافته و مثبت است که به ویژه نشان می دهد که در زیر 0. قرار دارد ، بنابراین ، حد

\ lim_ {n \ to \ infty} \ zeta_ {n} a_ {n} = L وجود دارد

این نشان می دهد که سری مثبت تلسکوپی

\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ چپ (\ zeta_ {n} a_ {n} - \ zeta_ {n + 1} a_ {n + 1} \ سمت راست) همگرا است ،

و از آنجایی که برای همه n> N ،

\ دلتا a_ {n + 1} \ leq \ zeta_ {n} a_ {n} - \ zeta_ {n + 1} a_ {n + 1}

توسط آزمون مقایسه مستقیم برای سری های مثبت ، این مجموعه\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ delta a_ {n + 1} همگرا است

از طرف دیگر ، اگر \ rho <0، سپس یک N وجود دارد به طوری که\ zeta_n a_n در حال افزایش است برای n> N. به طور خاص ، وجود دارد\ epsilon> 0 برای کدام \ zeta_n a_n> \ epsilon برای همهn> N، و همینطور \ sum_n a_n = \ sum_n \ frac {a_n \ zeta_n} {\ zeta_n} در مقایسه با \ sum_n \ frac \ epsilon {\ zeta_n}.

آزمون نسبت علی دوم [ ویرایش ]

آزمون نسبت تصفیه شده ، آزمون نسبت دوم است: [7] [9] برایa_ {n}> 0 تعریف کردن:

{\ displaystyle L_ {0} \ Equ \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n}} {a_ {n}}}}
{\ displaystyle L_ {1} \ Equ \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n + 1}} {a_ {n}}}}
{\ displaystyle L \ Equ \ max (L_ {0}، L_ {1})}

با آزمایش نسبت دوم ، این مجموعه:

  • اگر همگرایی کنید{\ displaystyle L <{\ frac {1} {2}}}
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle L> {\ frac {1} {2}}}
  • اگر {\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}}} پس آزمون بی نتیجه است.

اگر محدودیت های فوق وجود نداشته باشد ، ممکن است از محدوده های برتر و فرومایه استفاده شود. تعریف کردن:

{\ displaystyle L_ {0} \ Equ \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n}} {a_ {n}}}} {\ displaystyle L_ {1} \ Equ \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n + 1}} {a_ {n}}}}
{\ displaystyle \ ell _ {0} \ Equ \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n}} {a_ {n}}}} {\ displaystyle \ ell _ {1} \ Equ \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n + 1}} {a_ {n}}}}
{\ displaystyle L \ Equ \ max (L_ {0}، L_ {1})} {\ displaystyle \ ell \ Equ \ min (\ ell _ {0} ، \ ell _ {1})}

سپس این مجموعه:

  • اگر همگرایی کنید {\ displaystyle L <{\ frac {1} {2}}}
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle \ ell> {\ frac {1} {2}}}
  • اگر {\ displaystyle \ ell \ leq {\ frac {1} {2}} \ leq L} پس آزمون بی نتیجه است.