3. آزمون برتراند [ ویرایش ]

این گسترش به دلیل جوزف برتراند و آگوستوس دی مورگان است .

تعریف:{\ displaystyle \ rho _ {n} \ equ n \ ln n \ چپ ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ راست) - \ ln n}

آزمون برتراند [4] [10] ادعا می کند که این مجموعه:

  • وقتی c> 1 وجود دارد به گونه ای جمع شوید که به گونه ای باشد{\ displaystyle \ rho _ {n} \ geq c}برای همه N> N .
  • هنگامی که واگرایی کنید {\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq 1}برای همه N> N .
  • در غیر این صورت ، این آزمون بی نتیجه است.

برای نسخه محدود ، این مجموعه:

  • اگر همگرایی کنید {\ displaystyle \ rho = \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 1}(این مورد ρ = includes را شامل می شود )
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <1}.
  • اگر ρ = 1 باشد ، آزمون بی نتیجه است.

وقتی حد فوق وجود نداشته باشد ، ممکن است از محدودیت های برتر و فرومایه استفاده شود. [4] [9] [13] این مجموعه:

  • اگر همگرایی کنید {\ displaystyle \ liminf \ rho _ {n}> 1}
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <1}
  • در غیر این صورت ، این آزمون بی نتیجه است.

4. تمدید آزمون برتراند [ ویرایش ]

این افزونه احتمالاً در اولین بار توسط مارگارت مارتین در [14] ظاهر شد . یک دلیل کوتاه بر اساس آزمون کامر و بدون پیش فرض های فنی (مثلاً وجود محدودیت ها) به عنوان مثال در [15] ارائه شده است .

اجازه دهید {\ displaystyle K \ geq 1} یک عدد صحیح باشد ، و اجازه دهید {\ displaystyle \ ln _ {(K)} (x)} را نشان می دهد کهفتم تکرار از لگاریتم طبیعی ، یعنی{\ displaystyle \ ln _ {(1)} (x) = \ ln (x)} و برای هر {\ displaystyle 2 \ leq k \ leq K}{\ displaystyle \ ln _ {(k)} (x) = \ ln _ {(k-1)} (\ ln (x))}.

فرض کنید این نسبت {\ displaystyle a_ {n} / a_ {n + 1}}، چه زمانی n بزرگ است ، می تواند در فرم ارائه شود

{\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} = 1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {K-1} {\ frac {1} {\ prod _ {k = 1} ^ {i} \ ln _ {(k)} (n)}} + {\ frac {\ rho _ { n}} {n \ prod _ {k = 1} ^ {K} \ ln _ {(k)} (n)}} ، \ quad K \ geq 1.}

(جمع خالی 0. در نظر گرفته می شود. با K = 1، آزمون به آزمون برتراند تقلیل می یابد.)


ارزش{\ displaystyle \ rho _ {n}} می تواند به صراحت در فرم ارائه شود

{\ displaystyle \ rho _ {n} = n \ prod _ {k = 1} ^ {K} \ ln _ {(k)} (n) \ سمت چپ ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n +1}}} - 1 \ راست) - \ sum _ {j = 1} ^ {K} \ prod _ {k = 1} ^ {j} \ ln _ {(K-k + 1)} (n) .}

آزمون برتر برتر بیان می کند که این مجموعه

  • وقتی وجود دارد همگرایی کنید c> 1 به طوری که {\ displaystyle \ rho _ {n} \ geq c} برای همه n> N.
  • هنگامی که واگرایی کنید {\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq 1} برای همه n> N.
  • در غیر این صورت ، این آزمون بی نتیجه است.

برای نسخه محدود ، این مجموعه است

  • اگر همگرایی کنید {\ displaystyle \ rho = \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 1} (این مورد را شامل می شود {\ displaystyle \ rho = \ infty})
  • واگرایی کنید اگر{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <1}.
  • اگر\ rho = 1، آزمون بی نتیجه است.

وقتی حد فوق وجود نداشته باشد ، ممکن است از محدودیت های برتر و فرومایه استفاده شود. سریال

  • اگر همگرایی کنید {\ displaystyle \ liminf \ rho _ {n}> 1}
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <1}
  • در غیر این صورت ، این آزمون بی نتیجه است.

برای کاربردهای آزمون Extended Bertrand ، فرایند تولد-مرگ را ببینید .

5. آزمون گاوس [ ویرایش ]

این تمدید به دلیل کارل فردریش گاوس است .

با فرض N > 0 و r> 1 است ، اگر یک دنباله محدود C N را می توان مانند پیدا شده است که برای تمام N : [5] [7] [9] [10]

{\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} = 1 + {\ frac {\ rho} {n}} + {\ frac {C_ {n}} {n ^ {r }}}}

سپس مجموعه:

  • اگر همگرایی کنید \ rho> 1
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle \ rho \ leq 1}

6. آزمون کامر [ ویرایش ]

این پسوند به دلیل ارنست کامر است .

بگذارید ζ n توالی کمکی ثابتهای مثبت باشد. تعریف کردن

{\ displaystyle \ rho _ {n} \ Equ \ left (\ zeta _ {n} {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - \ zeta _ {n + 1} \ right) }

آزمون كومر بیان می دارد كه این مجموعه: [5] [6] [10] [11]

  • اگر وجود دارد همگرایی کنید c> 0 به طوری که {\ displaystyle \ rho _ {n} \ geq c}برای همه n> N (توجه داشته باشید این همان گفتن نیست{\ displaystyle \ rho _ {n}> 0})
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq 0} برای همه n> N و {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / \ zeta _ {n}} واگرایی

برای نسخه محدود ، این مجموعه: [16] [7] [9]

  • اگر همگرایی کنید {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 0}(این مورد ρ = includes را شامل می شود )
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <0} و {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / \ zeta _ {n}} واگرایی
  • در غیر این صورت آزمون بی نتیجه است

وقتی حد فوق وجود نداشته باشد ، ممکن است از محدودیت های برتر و فرومایه استفاده شود. [4] این مجموعه خواهد بود

  • اگر همگرایی کنید {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 0}
  • واگرایی کنید اگر {\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <0} و {\ displaystyle \ sum 1 / \ zeta _ {n}} واگرایی