نتیجه گیری [ ویرایش ]

یک نتیجه ساده اما بسیار مفید از قاعده L'Hopital معیار شناخته شده ای برای تمایز است. این بیان به شرح زیر است: فرض کنید که F مستمر در است ، و این کهf '(x)برای همه x در برخی بازه های باز حاوی a وجود دارد ، به جز شایدx = یک. فرض کنید ، علاوه بر این ، که{\ displaystyle \ lim _ {x \ به a} f '(x)}وجود دارد سپسf '(a) نیز وجود دارد و

{\ displaystyle f '(a) = \ lim _ {x \ to a} f' (x).}

به طور خاص ، f ' نیز در a پیوسته است .

اثبات [ ویرایش ]

توابع را در نظر بگیرید{\ displaystyle h (x) = f (x) -f (a)} و g (x) = xa. تداوم f در a به ما می گوید که{\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} h (x) = 0}. علاوه بر این،{\ displaystyle \ lim _ {x \ به a} g (x) = 0}از آنجا که یک تابع چند جمله ای همیشه در همه جا مداوم است. اعمال قانون L'Hopital این را نشان می دهد

{\ displaystyle f '(a): = \ lim _ {x \ to a} {\ frac {f (x) -f (a)} {xa}} = \ lim _ {x \ to a} {\ frac {h (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ به a} f '(x)}.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule