حد سوپریمم و حد اینفیموم دنباله ها

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ quad {\ text {or}} \ quad \ varliminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}.}$

حد برتر یک دنباله $x_ {n}$ با نشان داده می شود

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ quad {\ text {or}} \ quad \ varlimsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}.}$

تعریف برای دنباله ها [ ویرایش ]

حد پایین تر از یک دنباله ( x n ) توسط

$\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ Big (} \ inf _ {m \ geq n} x_ {m} {\ Big)}$

یا

$\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ sup _ {n \ geq 0} \، \ inf _ {m \ geq n} x_ {m} = \ sup \ {\، \ inf \ {\، x_ {m}: m \ geq n \، \}: n \ geq 0 \، \}.$

به همین ترتیب ، حد برتر ( x n ) با تعریف می شود

$\ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ Big (} \ sup _ {m \ geq n} x_ {m} {\ Big)}$

یا

$\ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ inf _ {n \ geq 0} \، \ sup _ {m \ geq n} x_ {m} = \ inf \ {\، \ sup \ {\، x_ {m}: m \ geq n \، \}: n \ geq 0 \، \}.$

متناوباً ، نمادها $\ varliminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}$ و $\ varlimsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}$ بعضی اوقات استفاده می شود

$(x_ {n})$ $\ xi$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $(x_ {n})$ ${\ displaystyle (n_ {k})}$ ${\ displaystyle \ xi = \ lim _ {k \ to \ infty} x_ {n_ {k}}}$ ${\ displaystyle E \ زیرمجموعه {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $(x_ {n})$ ، سپس

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ sup E}$

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ inf E.}$

اگر اصطلاحات دنباله اعداد واقعی باشند ، حد برتر و حد پایین همیشه وجود دارد ، زیرا اعداد واقعی همراه با ± ie (یعنی خط اعداد واقعی توسعه یافته ) کامل هستند . به طور کلی، این تعاریف را حس در هر مجموعه ای پاره مرتب ، ارائه سوپریمم و infima وجود داشته باشد، از جمله در یک شبکه کامل .

هرگاه حد معمول وجود داشته باشد ، حد فروتر و حد برتر هر دو برابر آن هستند؛ بنابراین، هر یک می تواند در نظر گرفته شود یک کلیت از حد عادی است که در درجه اول در مواردی که محدودیت جالب نیست وجود داشته باشد. هر وقت lim inf x n و lim sup x n هر دو وجود داشته باشد ، ما داریم

$\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}.$

محدودیت های فروتر / برتر از این جهت که فقط دنباله ای را "در حد" محدود می کنند ، به نماد بزرگ-بزرگ مربوط می شوند . توالی ممکن است بیش از حد مجاز باشد. با این حال ، با علامت گذاری بزرگ-O دنباله فقط می تواند در یک پیشوند متناهی از دنباله محدود شود ، در حالی که حد برتر یک دنباله مانند e - n ممکن است در واقع از همه عناصر دنباله کمتر باشد. تنها وعده داده شده این است که برخی از دنباله ها می توانند در بالا با حد برتر به علاوه یک ثابت مثبت خودسرانه کوچک محدود شوند و در زیر با حد تحتانی منهای یک ثابت مثبت خودسرانه کوچک محدود شوند.

حد برتر و حد پایین تر از یک دنباله ، مورد خاصی از آن یک تابع است (به زیر مراجعه کنید).

مورد توالی اعداد واقعی [ ویرایش ]

در تحلیل ریاضی ، حد برتر و حد پایین از ابزارهای مهم برای مطالعه توالی اعداد واقعی هستند . از آنجا که ممکن است برتری و حداقل مجموعه ای نامحدود از اعداد واقعی وجود نداشته باشد (واقعی ها یک شبکه کامل نیستند) ، در نظر گرفتن توالی هایی در سیستم اعداد واقعی تمیز شده مناسب است : بی نهایتهای مثبت و منفی را به خط واقعی اضافه می کنیم برای دادن کامل مجموعه کاملاً مرتب شده [−∞ ، ∞] ، که یک شبکه کامل است.

تفسیر [ ویرایش ]

یک دنباله را در نظر بگیرید $(x_ {n})$ متشکل از اعداد واقعی است. فرض کنید که حد برتر و حد فروتر اعداد واقعی هستند (بنابراین ، بی نهایت نیستند).

$x_ {n}$ کوچکترین عدد واقعی است $ب$ به گونه ای که برای هر عدد واقعی مثبت $\ varepsilon$ ، یک عدد طبیعی وجود دارد $ن$ به طوری که $x_ {n} <b + \ varepsilon$ برای همه $n> N$ . به عبارت دیگر ، هر عدد بزرگتر از حد برتر یک حد بالایی نهایی برای دنباله است. فقط تعداد محدودی از عناصر دنباله بزرگتر از هستند $b + \ varepsilon$ .
حد پایین تر از $x_ {n}$ بزرگترین عدد واقعی است $ب$ به گونه ای که برای هر عدد واقعی مثبت $\ varepsilon$ ، یک عدد طبیعی وجود دارد $ن$ به طوری که $x_ {n}> b- \ varepsilon$ برای همه $n> N$ . به عبارت دیگر ، هر عدد زیر حد پایین ، یک حد نهایی پایین برای دنباله است. فقط تعداد محدودی از عناصر دنباله کمتر از هستند $ب- \ وارپسیلون$ .

خصوصیات [ ویرایش ]

$\ epsilon> 0$ ${\ displaystyle (\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} - \ epsilon ، \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} + \ epsilon)}$ .

رابطه حد پایین و حد برتر برای توالی اعداد واقعی به شرح زیر است:

$\ limsup _ {n \ to \ infty} (- x_ {n}) = - \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}$

همانطور که قبلا ذکر شد ، گسترش آن راحت است $\ mathbb {R}$ به [−∞ ، ∞]. سپس ، ( x n ) در [−∞ ، ∞] اگر و فقط اگر همگرا شود

$\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}$

$\ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n}$ ، همگرایی به −∞ یا as به عنوان همگرایی در نظر گرفته نمی شود.) از آنجا که حد پایین تر حداکثر حد برتر است ، شرایط زیر برقرار است

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty \؛ \؛ \ Rightarrow \؛ \؛ \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty،}$

$\ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} = - \ infty \؛ \؛ \ Rightarrow \؛ \؛ \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = - \ بی اعتبار.$

$I = \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}$ و

$S = \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}$ ، پس فاصله [ I ، S ] نیازی به هیچ یک از اعداد x n ندارد ، اما هر بزرگ شدن جزئی [ I - ε، S + ε] (برای خودسرانه کوچک ε> 0) شامل x n برای همه ، اما به طور حتم بسیاری از شاخص ها است N . در واقع ، فاصله [ I ، S ] کوچکترین فاصله بسته با این ویژگی است. ما می توانیم این ویژگی شبیه به این را رسمی: وجود دارد وجود دارد عواقب $x_ {k_ {n}}$ و $x_ {h_ {n}}$ از $x_ {n}$ (جایی که $k_ {n}$ و $h_ {n}$ یکنواخت هستند) که ما برای آنها داریم

$\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} + \ epsilon> x_ {h_ {n}} \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ \؛ x؛ {k_ {n}} > \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} - \ epsilon$

از طرف دیگر ، a وجود دارد $n_ {0} \ in \ mathbb {N}$ به طوری که برای همه $n \ geq n_ {0}$

$\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} - \ epsilon <x_ {n} <\ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} + \ epsilon$

برای خلاصه کردن:

$\ لامبدا$ بیشتر از حد برتر است ، در حداکثر تعداد زیادی وجود دارد $x_ {n}$ بزرگتر از $\ لامبدا$ ؛ اگر کمتر باشد ، بی نهایت زیاد است.
اگر $\ لامبدا$ کمتر از حد پایین است ، در حداکثر تعداد زیادی وجود دارد $x_ {n}$ کمتر از $\ لامبدا$ ؛ اگر بزرگتر باشد ، بی نهایت تعداد زیادی وجود دارد.

به طور کلی ما آن را داریم

$\ inf _ {n} x_ {n} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ leq \ sup _ {n} x_ {n}$

liminf و limsup یک دنباله به ترتیب کوچکترین و بزرگترین نقاط خوشه ای هستند .

$\ {a_ {n} \} ، \ {b_ {n} \}$ ، حد برتر هر زمان که سمت راست نابرابری تعریف شود ، ضریب مثبت بودن را برآورده می کند
$\ بی ارزش - \ بی ارزش$ یا $- \ ناقص + \ ناقص$ ):

$\ limsup _ {n \ to \ infty} (a_ {n} + b_ {n}) \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} (a_ {n}) + \ limsup _ {n \ to \ infty} (b_ {n}).$ .

به طور مشابه ، حد پایین ، بیش از حد حساسیت را برآورده می کند :

$\ liminf _ {n \ to \ infty} (a_ {n} + b_ {n}) \ geq \ liminf _ {n \ to \ infty} (a_ {n}) + \ liminf _ {n \ to \ infty} (b_ {n}).$

در مورد خاصی که یکی از توالی ها واقعاً همگرا باشد ، بگویید {\ نمایش سبک a_ {n} \ به a} $a_ {n} \ به a$ ، سپس نابرابری های فوق به برابری تبدیل می شوند (با

$\ limsup _ {n \ to \ infty} a_ {n}$ یا

$\ liminf _ {n \ to \ infty} a_ {n}$ جایگزین شده توسط

$آ$ )

برای هر دو دنباله از اعداد واقعی غیر منفی $\ {a_ {n} \} ، \ {b_ {n} \}$ ، نابرابری ها

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} (a_ {n} b_ {n}) \ leq {\ biggl (} \ limsup _ {n \ to \ infty} a_ {n} {\ biggr)} { \ biggl (} \ limsup _ {n \ to \ infty} b_ {n} {\ biggr)}}$

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} (a_ {n} b_ {n}) \ geq {\ biggl (} \ liminf _ {n \ to \ infty} a_ {n} {\ biggr)} { \ biggl (} \ liminf _ {n \ to \ infty} b_ {n} {\ biggr)}}$

$0 \ cdot \ بی اعتبار$ .

اگر $\ lim_ {n \ to \ infty} a_n = A$ وجود دارد (از جمله مورد ${\ displaystyle A = + \ infty}$ ) و ${\ displaystyle B = \ limsup _ {n \ to \ infty} b_ {n}}$ ، سپس

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} (a_ {n} b_ {n}) = AB}$

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال ، توالی داده شده توسط x n = sin ( n ) را در نظر بگیرید. با استفاده از این واقعیت است که عدد پی است غیر منطقی ، میتوان نشان داد که

$\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} = - 1$

$\ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} = 1+.$

(این به این دلیل است که توالی {1،2،3 ، ...} برابر است با توزیع مد 2π ، نتیجه قضیه توزیع توزیع ).

مثالی از تئوری اعداد است

$\ liminf _ {n \ to \ infty} (p_ {n + 1} -p_ {n}) ،$

که در آن P N است N هفتم عدد اول . مقدار این حد پایین تر حدس زده می شود 2 باشد - این حدس اصلی دوقلو است - اما از آوریل 2014 فقط کم یا مساوی 6 ثابت شده است. [2] حد برتر مربوطه $+ \ بی کیفیت$ ، زیرا بین اعداد اول متوالی فاصله دلخواه وجود دارد .

توابع با ارزش واقعی [ ویرایش ]

فرض کنید که یک تابع از زیرمجموعه اعداد واقعی به اعداد واقعی تعریف شده است. همانطور که در مورد توالی ها وجود دارد ، اگر اجازه دهیم مقادیر + ∞ و -∞ ، حد پایین و برتر همیشه به خوبی تعریف شده اند. در حقیقت ، اگر هر دو موافق باشند ، حد وجود دارد و برابر با ارزش مشترک آنها است (احتمالاً شامل بی نهایت). به عنوان مثال ، با توجه به f ( x ) = sin (1 / x ) ، ما دارای lim sup x → 0 f ( x ) = 1 و lim inf x → 0 f ( x ) = -1 هستیم. تفاوت بین این دو اندازه گیری تقریبی چگونگی نوسان "عملکرد" است و با مشاهده این واقعیت ،نوسان از F در 0 . این ایده نوسان برای توصیف توابع قابل تلفیق ریمان به صورت مداوم به جز مجموعه ای از اندازه صفر کافی است . [3] توجه داشته باشید که نقاط نوسان غیر صفر (به عنوان مثال ، نقاطی که f " بد رفتار می کند ") ناپیوستگی هایی هستند که ، مگر اینکه یک مجموعه صفر را تشکیل دهند ، به یک مجموعه ناچیز محدود می شوند.

توابع از فضاهای متریک تا شبکه های کامل [ ویرایش ]

مفهوم lim sup و lim inf برای توابع تعریف شده در یک فضای متریک وجود دارد که رابطه آن با محدودیت های توابع با ارزش واقعی منعکس کننده رابطه بین lim sup ، lim inf و حد یک توالی واقعی است. نگاهی فضاهای متریک X و Y ، یک شبه E موجود در X و یک تابع F : E → Y . برای هر نقطه محدود a از E تعریف کنید ،

$\ limsup _ {x \ to a} f (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (\ sup \ {f (x): x \ in E \ cap B (a؛ \ varepsilon) \ setminus \ {آ\}\})$

$\ liminf _ {x \ به a} f (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ به 0} (\ inf \ {f (x): x \ in E \ cap B (a؛ \ varepsilon) \ setminus \ {آ\}\})$

جایی که B ( a ؛ ε) نشانگر توپ متریک شعاع ε در مورد a است .

توجه داشته باشید که با کم شدن ε ، برتری عملکرد نسبت به توپ یکنواخت کاهش می یابد ، بنابراین ما این کار را داریم

$\ limsup _ {x \ to a} f (x) = \ inf _ {\ varepsilon> 0} (\ sup \ {f (x): x \ in E \ cap B (a؛ \ varepsilon) \ setminus \ { آ\}\})$

و به همین ترتیب

$\ liminf _ {x \ به a} f (x) = \ sup _ {\ varepsilon> 0} (\ inf \ {f (x): x \ in E \ cap B (a؛ \ varepsilon) \ setminus \ { آ\}\}).$

این در نهایت باعث ایجاد تعاریف در مورد فضاهای توپولوژیک عمومی می شود. X ، Y ، E و a را مانند قبل در نظر بگیرید ، اما اکنون اجازه دهید X و Y هر دو فضای توپولوژیکی باشند. در این حالت ، ما توپ های متریک را با محله ها جایگزین می کنیم:

$\ limsup _ {x \ to a} f (x) = \ inf \ {\ sup \ {f (x): x \ in E \ cap U \ setminus \ {a \} \}: U \ \ mathrm {open } ، a \ in U ، E \ cap U \ setminus \ {a \} \ neq \ emptyset \}$

$\ liminf _ {x \ به a} f (x) = \ sup \ {\ inf \ {f (x): x \ in E \ cap U \ setminus \ {a \} \}: U \ \ mathrm {open } ، a \ in U ، E \ cap U \ setminus \ {a \} \ neq \ emptyset \}$

(راهی برای نوشتن فرمول با استفاده از "lim" با استفاده از شبکه ها و فیلتر محله وجود دارد). این نسخه اغلب در بحث های نیمه تداوم مفید است که اغلب در تجزیه و تحلیل می شود. نکته جالب این است که این نسخه با در نظر گرفتن توالی ها به عنوان توابع از اعداد طبیعی به عنوان زیر فضایی توپولوژیکی از خط واقعی توسعه یافته ، در فضا نسخه دنباله ای را دنبال می کند (بسته شدن N در [−∞ ، ∞] ، تعداد واقعی گسترش یافته خط ، N ∪ {∞} است.)

توالی مجموعه ها [ ویرایش ]

مجموعه قدرت ℘ ( X ) یک مجموعه X است شبکه کامل است که توسط دستور گنجاندن مجموعه ، و بنابراین سوپریمم و infimum از هر مجموعه ای از زیر مجموعه های (از نظر شمول مجموعه) همیشه وجود داشته باشد. به طور خاص، هر زیر مجموعه Y از X است بالا توسط محدود X و زیر توسط مجموعه تهی ∅ دلیل ∅ ⊆ Y ⊆ X . از این رو ، ممکن است (و بعضاً مفید) محدوده های برتر و تحتانی دنباله ها در ℘ ( X ) را در نظر بگیریم (یعنی دنباله های زیرمجموعه های X ).

برای تعریف حد توالی مجموعه ها دو روش معمول وجود دارد. در هر دو مورد:

دنباله تجمع در اطراف مجموعه از نقاط به جای نقاط منفرد خود را دارند. یعنی ، چون هر عنصر از دنباله خود یک مجموعه است ، مجموعه های تجمع وجود دارد که به نوعی در نزدیکی بی نهایت بسیاری از عناصر دنباله قرار دارند.
حد برتر / برتر / خارجی مجموعه ای است که این مجموعه های انباشت را بهم می پیوندد . یعنی اتحادیه همه مجموعه های تجمع است. هنگام سفارش با در نظرگرفتن مجموعه ، حد تعالی کمترین حد بالای مجموعه نقاط تجمع است زیرا حاوی هر یک از آنها است. از این رو ، این برتری امتیازهای حد است.
حد پایین / پایین / درونی مجموعه ای است که همه این مجموعه های تجمع در آن جمع می شوند . یعنی تقاطع همه مجموعه های تجمع است. هنگام سفارش با درج مجموعه ، حد کمترین بزرگترین حد پایینی در مجموعه نقاط تجمع است زیرا در هر یک از آنها وجود دارد. از این رو ، حداقل نقاط حد است.
از آنجا که مرتب سازی با در نظر گرفتن مجموعه انجام می شود ، بنابراین حد خارجی همیشه حاوی حد داخلی است (به عنوان مثال ، inf inf X n ⊆ lim sup X n ). از این رو ، هنگام بررسی همگرایی یک دنباله از مجموعه ها ، به طور کلی کافی است که همگرایی حد خارجی آن دنباله را در نظر بگیریم.

تفاوت بین این دو تعریف شامل چگونگی تعریف توپولوژی (یعنی نحوه تعیین کمیت تفکیک) است. در حقیقت ، تعریف دوم وقتی که از متریک گسسته برای القای توپولوژی در X استفاده می شود ، یکسان است .

همگرایی مجموعه کلی [ ویرایش ]

در این حالت ، وقتی عناصر هر یک از اعضای دنباله به عناصر مجموعه محدود می شوند ، دنباله ای از مجموعه ها به یک مجموعه محدود نزدیک می شوند. به طور خاص ، اگر { X n } دنباله ای از زیرمجموعه های X باشد ، پس:

SUP محدودی X N ، که آن هم به نام مرز بیرونی ، متشکل از عناصری که محدودیت از نقاط در می X N گرفته شده از (قابل شمارش) بی نهایت بسیاری از N . این است که، X ∈ محدودی SUP X N اگر و تنها اگر دنباله ای از نقاط وجود دارد X K و یک توالی { X N K } از { X N } به طوری که X K ∈ X N K و X K → X به عنوان ک ∞
lim inf X n ، که حد داخلی نیز نامیده می شود ، از عناصری تشکیل شده است که برای نقاط مختلف X n محدودیت دارند ، اما تعداد زیادی n (به طور حتم تعداد زیادی n ). یعنی x ∈ lim inf X n در صورتی و فقط در صورت وجود دنباله ای از نقاط { x k } مانند x k ∈ X k و x k → x به عنوان k → → وجود دارد.

حد lim X n وجود دارد و فقط در صورت موافقت lim inf X n و lim sup X n ، در این حالت lim X n = lim sup X n = lim inf X n . [4]

حالت خاص: معیار گسسته [ ویرایش ]

این تعریفی است که در نظریه اندازه گیری و احتمال به کار رفته است . بحث و مثالهای بیشتر از دیدگاه نظریه مجموعه ، در مقابل نقطه نظر توپولوژیک بحث شده در زیر ، در حد نظری مجموعه قرار دارند .

با این تعریف ، دنباله ای از مجموعه ها وقتی به مجموعه محدود کننده نزدیک می شوند که مجموعه محدود کننده شامل عناصری باشد که همه آنها بجز تعداد زیادی از مجموعه های دنباله هستند و شامل عناصری نیستند که در همه به جز بسیاری از مکملهای مجموعه دنباله وجود دارد. به این معنی که وقتی توپولوژی مجموعه X از متریک گسسته القا می شود ، این تعریف خاص است .

به طور خاص ، برای نقاط x ∈ X و y ∈ X ، معیار گسسته توسط تعریف می شود

$d (x، y): = {\ begin {موارد} 0 & {\ text {if}} x = y ، \\ 1 & {\ text {if}} x \ neq y، \ end {موارد}}$

تحت آن دنباله ای از نقاط { x k } به نقطه x ∈ X همگرا می شود اگر و فقط اگر x k = x برای همه به غیر از تعداد زیادی k . بنابراین ، اگر مجموعه محدود وجود داشته باشد ، شامل نقاط و فقط نقاطی است که در همه وجود دارد ، بجز بسیاری از مجموعه های دنباله. از آنجا که همگرایی در متریک گسسته سخت ترین شکل همگرایی است (یعنی بیشترین نیاز را دارد) ، این تعریف از یک مجموعه محدودترین تعریف ممکن است.

اگر { X n } دنباله ای از زیرمجموعه های X باشد ، موارد زیر همیشه وجود دارند:

SUP محدودی X N شامل عناصر X که متعلق به X N برای بسیاری از بی نهایت N (نگاه کنید به شمارا نامحدودی ). یعنی x ∈ lim sup X n اگر و فقط در صورت وجود یک دنباله { X n k } از { X n } به گونه ای که x ∈ X n k برای همه k .
محدودی INF X N شامل عناصر X که متعلق به X N برای همه به جز تعداد متناهی N (یعنی برای cofinitely بسیاری از N ). یعنی x ∈ lim inf X n اگر و فقط اگر مقداری m > 0 وجود داشته باشد به طوری که x ∈ X n برای همه n > m .

مشاهده کنید که x ∈ lim sup X n اگر و فقط اگر x ∉ lim inf X n c باشد.

lim X n وجود دارد و فقط در صورت موافقت lim inf X n و lim sup X n ، در این حالت lim X n = lim sup X n = lim inf X n .

از این نظر ، دنباله محدودیتی دارد تا آنجا که هر نقطه در X یا در همه به جز بسیاری از X n ظاهر شود یا در همه به جز بسیاری از X n c ظاهر شود . [5]

با استفاده از اصطلاحات اصطلاحات استاندارد تئوری مجموعه ، شمول مجموعه یک ترتیب جزئی برای مجموعه همه زیر مجموعه های X فراهم می کند که به تقاطع مجموعه اجازه می دهد تا بزرگترین حد پایین و اتحادیه مجموعه را برای ایجاد حداقل حد بالای ایجاد کند. بنابراین ، کمترین یا ملاقات مجموعه ای از زیرمجموعه ها بزرگترین حد پایین است در حالی که برتری یا پیوند کمترین حد بالایی است. در این زمینه ، حد داخلی ، lim inf X n ، بزرگترین جلسه دم دنباله است و حد خارجی ، lim sup X n ، کوچکترین اتصال دمها استاز دنباله. موارد زیر این را دقیق می سازد.

اجازه دهید من N ملاقات از باشد N هفتم دم دنباله. به این معنا که،

${\ start {تراز شده} I_ {n} & = \ inf \ {X_ {m}: m \ in \ {n ، n + 1 ، n + 2 ، \ ldots \} \} \\ & = \ bigcap _ { m = n} ^ {\ infty} X_ {m} = X_ {n} \ cap X_ {n + 1} \ cap X_ {n + 2} \ cap \ cdots. \ end {تراز شده}}$

توالی { I n } کاهش نمی یابد ( I n ⊆ I n +1 ) زیرا هر I n + 1 محل تلاقی مجموعه های کمتر از I n است . کمترین حد بالایی در این توالی ملاقات دمها است

${\ start {تراز شده} \ liminf _ {n \ به \ ناکافی} X_ {n} & = \ sup \ {\ inf \ {X_ {m}: m \ in \ {n، n + 1، \ ldots \} \}: n \ in \ {1،2، \ dots \} \} \\ & = {\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty}} \ چپ ({\ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty}} X_ {m} \ right). \ end {تراز شده}}$

بنابراین حد حداقلی شامل همه زیرمجموعه هایی است که برای همه محدوده دارند ، به جز مجموعه های بسیار محدودی از دنباله.

به همین ترتیب ، اجازه دهید J n اتصال n امین دنباله باشد. به این معنا که،

${\ start {تراز شده} J_ {n} & = \ sup \ {X_ {m}: m \ in \ {n ، n + 1 ، n + 2 ، \ ldots \} \} \\ & = \ bigcup _ { m = n} ^ {\ infty} X_ {m} = X_ {n} \ جام X_ {n + 1} \ جام X_ {n + 2} \ جام \ cdots. \ end {تراز شده}}$

توالی { J n } غیر افزایشی است ( J n ⊇ J n + 1 ) زیرا هر J n + 1 اتحادیه مجموعه های کمتری از J n است . بزرگترین حد پایین در این دنباله اتصال دم است

${\ start {تراز شده} \ limsup _ {n \ تا \ ناقص} X_ {n} & = \ inf \ {\ sup \ {X_ {m}: m \ in \ {n ، n + 1 ، \ ldots \} \}: n \ in \ {1،2، \ dots \} \} \\ & = {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty}} \ left ({\ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty}} X_ {m} \ right). \ end {تراز شده}}$

بنابراین ماجرای برتر در همه زیرمجموعه ها وجود دارد که برای همه محدوده فوقانی است ، به جز بسیاری از مجموعه های دنباله.

مثالها [ ویرایش ]

در زیر چندین مثال همگرایی تنظیم شده آورده شده است. آنها با توجه به معیار مورد استفاده برای القای توپولوژی در مجموعه X به بخشهایی تقسیم شده اند .

با استفاده از متریک گسسته

بورل-Cantelli لم یک برنامه نمونه ای از این سازه ها است.

یا از متریک گسسته یا از معیار اقلیدسی استفاده کنید

مجموعه X = {0،1} و توالی زیر مجموعه ها را در نظر بگیرید :

$\ {X_ {n} \} = \ {\ {0 \} ، \ {1 \} ، \ {0 \} ، \ {1 \} ، \ {0 \} ، \ {1 \} ، \ نقطه \ }$

عناصر "فرد" و "زوج" این دنباله دو دنباله را تشکیل می دهند ، {{0} ، {0} ، {0} ، ...} و {{1} ، {1} ، {1} ، ... } ، که به ترتیب دارای نقاط حد 0 و 1 هستند ، و بنابراین حد خارجی یا برتر مجموعه {0،1} این دو نقطه است. با این حال ، هیچ محدودیتی وجود ندارد که بتوان از دنباله { X n } به عنوان یک کل برداشت کرد ، بنابراین حد داخلی یا پایین تر مجموعه خالی است {}. به این معنا که،

lim sup X n = {0،1}
lim inf X n = {}

اما برای { Y n } = {{0} ، {0} ، {0} ، ...} و { Z n } = {{1} ، {1} ، {1} ، ...}:

lim sup Y n = lim inf Y n = lim Y n = {0}
lim sup Z n = lim inf Z n = lim Z n = {1}

مجموعه X = {50 ، 20 ، -100 ، -25 ، 0 ، 1} و توالی زیر مجموعه ها را در نظر بگیرید :

$\ {X_ {n} \} = \ {\ {50 \} ، \ {20 \} ، \ {- 100 \} ، \ {- 25 \} ، \ {0 \} ، \ {1 \} ، \ {0 \} ، \ {1 \} ، \ {0 \} ، \ {1 \} ، \ نقاط \}.$

مانند دو مثال قبلی ،

lim sup X n = {0،1}
lim inf X n = {}

یعنی ، چهار عنصری که با الگو مطابقت ندارند ، بر روی inf inf و lim sup تأثیر نمی گذارند ، زیرا فقط تعداد زیادی از آنها وجود دارد. در واقع ، این عناصر را می توان در هر مکانی از توالی قرار داد (به عنوان مثال ، در موقعیت های 100 ، 150 ، 275 و 55000). تا زمانی که دنباله های دنباله حفظ شوند ، محدوده های بیرونی و داخلی بدون تغییر خواهند بود. مفاهیم مربوط به حدود ضروری داخلی و خارجی ، که از برتری اساسی و حداقل ضروری استفاده می کنند ، یک تغییر مهم را ایجاد می کنند که به طور قابل ملاحظه ای بسیاری از (و نه فقط به طور محدود بسیاری) اضافات میان بافتی را "خرد" می کند.

با استفاده از معیار اقلیدسی

دنباله زیرمجموعه اعداد گویا را در نظر بگیرید :

$\ {X_ {n} \} = \ {\ {0 \} ، \ {1 \} ، \ {1/2 \} ، \ {1/2 \} ، \ {2/3 \} ، \ {1 / 3 \} ، \ {3/4 \} ، \ {1/4 \} ، \ نقاط \}.$

عناصر "فرد" و "زوج" این دنباله دو زیر دنباله را تشکیل می دهند ، {{0} ، {1/2} ، {2/3} ، {3/4} ، ...} و {{1} ، { 1/2} ، {1/3} ، {1/4} ، ...} که به ترتیب دارای نقاط حد 1 و 0 هستند و بنابراین حد بیرونی یا برتر مجموعه {0،1} این دو است نکته ها. با این حال ، هیچ محدودیتی وجود ندارد که بتوان از دنباله { X n } به عنوان یک کل برداشت کرد ، بنابراین حد داخلی یا پایین تر مجموعه خالی است {}. بنابراین ، مانند مثال قبلی ،

lim sup X n = {0،1}
lim inf X n = {}

با این وجود ، برای { Y n } = {{0} ، {1/2} ، {2/3} ، {3/4} ، ...} و { Z n } = {{1} ، {1/2 } ، {1/3} ، {1/4} ، ...}:

lim sup Y n = lim inf Y n = lim Y n = {1}
lim sup Z n = lim inf Z n = lim Z n = {0}

در هر یک از این چهار مورد ، عناصر مجموعه های محدود عناصر هیچ یک از مجموعه های دنباله اصلی نیستند.

حد Ω (به عنوان مثال ، مجموعه محدودیت ) یک راه حل برای یک سیستم پویا ، حد خارجی مسیرهای حل سیستم است. [4] : 50–51 از آنجا که مدارها به این مجموعه حد نزدیکتر و نزدیکتر می شوند ، دم این خطوط به مجموعه حد همگرا می شوند .

به عنوان مثال ، یک سیستم LTI که اتصال آبشار چندین سیستم پایدار با یک سیستم LTI مرتبه دوم بدون میراگر است (یعنی نسبت میرایی صفر ) پس از آشفتگی به طور بی وقفه نوسان می کند (به عنوان مثال ، یک زنگ ایده آل پس از برخورد). از این رو ، اگر موقعیت و سرعت این سیستم در برابر یکدیگر ترسیم شود ، مسیرها به یک دایره در فضای حالت نزدیک می شوند . این دایره که مجموعه محدوده Ω سیستم است ، حد خارجی مسیرهای حل سیستم است. دایره نشان دهنده منبع یک مسیر مربوط به یک خروجی تن سینوسی خالص است. یعنی خروجی سیستم به لحن خالص نزدیک می شود / تقریب می یابد.

تعاریف تعمیم یافته [ ویرایش ]

تعاریف فوق برای بسیاری از کاربردهای فنی ناکافی است. در واقع ، تعاریف فوق تخصص تعاریف زیر است.

تعریف برای یک مجموعه [ ویرایش ]

حد پایین تر از یک مجموعه X ⊆ Y است infimum از همه از نقطه حدی از مجموعه. به این معنا که،

$\ liminf X: = \ inf \ {x \ in Y: x {\ text {یک نقطه حد}} X \} \ ،$

به طور مشابه، برتری حدی از یک مجموعه X است سوپریمم از همه از نقاط محدود از مجموعه. به این معنا که،

$\ limsup X: = \ sup \ {x \ in Y: x {\ text {یک حد مجاز}} X \} \ ،$

توجه داشته باشید که مجموعه X باید به عنوان زیرمجموعه ای از مجموعه ای مرتب Y تعریف شود که همچنین یک فضای توپولوژیکی است تا این تعاریف معنا پیدا کنند. علاوه بر این ، باید یک شبکه کامل باشد تا سوپرما و infima همیشه وجود داشته باشند. در این صورت هر مجموعه دارای یک حد برتر و یک حد پایین تر است. همچنین توجه داشته باشید که حد پایین و حد برتر یک مجموعه لازم نیست عناصر مجموعه باشند.

تعریف برای پایه فیلترها [ ویرایش ]

یک فضای توپولوژیکی X و یک پایه فیلتر B در آن فضا بگیرید. مجموعه تمام نقاط خوشه برای آن پایه فیلتر توسط داده شده است

$\ bigcap \ {{\ overline {B}} _ {0}: B_ {0} \ in B \}$

جایی که ${\ overline {B}} _ {0}$ است بسته شدن از $B_ {0}$ . این به وضوح یک مجموعه بسته است و شبیه مجموعه نقاط محدودیت یک مجموعه است. فرض کنید X نیز یک مجموعه تا حدی مرتب است . حد برتر پایه فیلتر B به این صورت تعریف شده است