σ -جبر

در تجزیه و تحلیل ریاضی و در نظریه احتمال ، یک σ جبر (همچنین σ میدان ) در یک مجموعه X است مجموعه Σ از زیر مجموعه های از X است که شامل X خود را، بسته تحت مکمل ، و تحت بسته است قابل شمارش اتحادیه .

این تعریف حاکی از آن است که زیرمجموعه خالی را نیز شامل می شود و در تقاطع های قابل شمارش بسته است .

جفت ( X ، Σ) را فضای قابل اندازه گیری یا فضای بورل می نامند .

جبر σ یک نوع جبر مجموعه است . جبر و مقابله از مجموعه نیاز دارد، تنها به بسته می شود تحت اتحادیه و یا تقاطع از متناهی بسیاری از زیر مجموعه، یک شرط ضعیف تر است. [1]

استفاده اصلی از جبرها در تعریف اقدامات است . به طور خاص ، مجموعه آن دسته از زیرمجموعه هایی که معیار مشخصی برای آنها تعریف شده است ، لزوماً جبر σ است. این مفهوم در تحلیل ریاضی به عنوان پایه و اساس ادغام Lebesgue و در تئوری احتمال ، جایی که از آن به عنوان مجموعه رویدادهایی که می توان به آنها تخصیص داد تفسیر می شود. همچنین ، به احتمال زیاد ، σ-جبری ها در تعریف انتظار مشروط محوری هستند .

در آمار ، جبرهای σ (ج) برای تعریف ریاضی رسمی یک آمار کافی مورد نیاز است ، [2] به ویژه هنگامی که آماری یک تابع یا یک فرایند تصادفی است و مفهوم چگالی شرطی قابل استفاده نیست.

اگر X = { a ، b ، c ، d } ، یک جبر σ در X ممکن است Σ = {∅ ، { a ، b } ، { c ، d } ، { a ، b ، c ، d }} باشد ، کجا ∅ است مجموعه تهی . به طور کلی ، یک جبر محدود همیشه یک جبر σ است.

اگر { A 1 ، A 2 ، A 3 ،…} یک پارتیشن قابل شمارش از X باشد ، مجموعه تمام اتحادیه های مجموعه در پارتیشن (از جمله مجموعه خالی) یک جبر σ است.

یک مثال مفیدتر مجموعه زیرمجموعه های خط واقعی است که با شروع با تمام بازه های زمانی باز و اضافه کردن در تمام اتحادیه های قابل شمارش ، تقاطع های قابل شمارش و مکمل های نسبی و ادامه این روند (با تکرار نامحدود از طریق تمام دستورالعمل های قابل شمارش ) تا زمان بسته شدن مربوطه خواص به دست می آیند - جبر σ تولید شده توسط این فرآیند به عنوان جبر بورل در خط واقعی شناخته می شود ، و همچنین می تواند به عنوان کوچکترین (به عنوان "درشت ترین") σ جبر شامل تمام مجموعه های باز ، یا به طور معادل شامل همه مجموعه های بسته اندازه گیری نظریه و بنابراین نظریه احتمال مدرن اساسی است، و یک ساختار مرتبط معروف به سلسله مراتب بورل با تئوری مجموعه توصیفی ارتباط دارد.

فهرست

انگیزه [ ویرایش ]

حداقل سه محرک اصلی برای σ-جبر وجود دارد: تعریف اقدامات ، دستکاری محدودیت مجموعه ها و مدیریت اطلاعات جزئی که با مجموعه مشخص می شوند.

اندازه گیری [ ویرایش ]

اندازه گیری در X است تابع است که یک غیر منفی عدد حقیقی به زیر مجموعه های X ؛ می توان تصور کرد که این مفهوم دقیق "اندازه" یا "حجم" برای مجموعه ها است. ما می خواهیم اندازه اتحادیه مجموعه های جدا از هم جمع اندازه های منفرد آنها باشد ، حتی برای یک توالی نامحدود از مجموعه های جدا از هم .

یکی می خواهد به هر زیرمجموعه X یک اندازه اختصاص دهد ، اما در بسیاری از تنظیمات طبیعی ، این امکان وجود ندارد. به عنوان مثال ، بدیهی انتخاب به این معنی است که وقتی اندازه در نظر گرفته شده مفهوم عادی طول برای زیرمجموعه های خط واقعی است ، مجموعه هایی وجود دارند که هیچ اندازه ای برای آنها وجود ندارد ، به عنوان مثال مجموعه های ویتالی . به همین دلیل ، در عوض مجموعه کوچکتری از زیر مجموعه های ممتاز X در نظر گرفته می شود. این زیر مجموعه ها را مجموعه های قابل اندازه گیری می نامند. آنها تحت عملیاتی بسته می شوند که انتظار می رود مجموعه های قابل اندازه گیری باشد. یعنی مکمل یک مجموعه قابل اندازه گیری یک مجموعه قابل اندازه گیری است و اتحادیه قابل شمارش مجموعه های قابل اندازه گیری یک مجموعه قابل اندازه گیری است. مجموعه های غیرخالی مجموعه هایی که دارای این خصوصیات هستند ، جبری ها σ نامیده می شوند.

محدودیت های مجموعه [ ویرایش ]

بسیاری از کاربردهای اندازه گیری ، مانند مفهوم احتمال همگرایی تقریباً مطمئن ، شامل محدودیت توالی مجموعه ها است . برای این ، تعطیلی در اتحادیه های قابل شمارش و تقاطع ها از اهمیت بالاتری برخوردار است. محدودیتهای تعیین شده به شرح زیر در جبرهای σ تعریف می شوند.

برتری حد یک دنباله A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... ، که هر کدام از آنها زیر مجموعه ای از X هستند ،

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

حد حداقل یک دنباله A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... ، که هر کدام از آنها زیر مجموعه ای از X هستند ،

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m}.}$

اگر ، در واقع ،

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n}،}$

سپس $\ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}$ به عنوان مجموعه مشترک وجود دارد.

زیر جبری [ ویرایش ]

به احتمال زیاد ، به ویژه هنگامی که انتظار مشروط در میان باشد ، مجموعه ای مربوط به مجموعه هایی است که فقط بخشی از تمام اطلاعات ممکن را که می توانند مشاهده شوند ، نشان می دهند. این اطلاعات جزئی را می توان با جبر σ کوچکتر توصیف کرد که زیرمجموعه اصلی جبر اصلی است. این شامل مجموعه زیرمجموعه هایی است که فقط مربوط به اطلاعات جزئی هستند و فقط توسط آنها تعیین می شود. یک مثال ساده برای نشان دادن این ایده کافی است.

تصور کنید شما و شخص دیگر در حال شرط بندی در یک بازی هستید که شامل ورق زدن مکرر یک سکه و مشاهده اینکه آیا سرها ( H ) یا دمها ( T ) بالا می آید ، هستید . از آنجایی که شما و حریفتان بی نهایت ثروتمند هستید ، مدت دوام بازی محدودیتی ندارد. این بدان معنی است که فضای نمونه Ω باید از تمام توالی های بی نهایت H یا T تشکیل شده باشد :

{\ displaystyle \ Omega = \ {H، T \} ^ {\ infty} = \ {(x_ {1}، x_ {2}، x_ {3}، \ dots): x_ {i} \ in \ {H ، T \} ، من \ geq 1 \}.} ${\ displaystyle \ Omega = \ {H، T \} ^ {\ infty} = \ {(x_ {1}، x_ {2}، x_ {3}، \ dots): x_ {i} \ in \ {H ، T \} ، من \ geq 1 \}.}$

با این حال ، ممکن است بخواهید بعد از n تلنگر سکه ، استراتژی شرط بندی خود را قبل از تلنگر بعدی تعیین یا اصلاح کنید. اطلاعات مشاهده شده در آن نقطه می تواند در شرایط از 2 شرح N احتمالات را برای اولین N پایین بپرد. به طور رسمی ، از آنجا که شما نیاز دارید از زیر مجموعه های Ω استفاده کنید ، این به عنوان جبر σ رمزگذاری می شود

{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = \ {A \ times \ {H، T \} ^ {\ infty}: A \ subset \ {H، T \} ^ {n} \}. } ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n} = \ {A \ times \ {H، T \} ^ {\ infty}: A \ subset \ {H، T \} ^ {n} \}. }$

پس آن را مشاهده کنید

{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} \ زیرمجموعه {\ mathcal {G}} _ {2} \ زیرمجموعه {\ mathcal {G}} _ {3} \ زیرمجموعه \ cdots \ زیرمجموعه {\ mathcal { G}} _ {\ ناکافی} ،} ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} \ زیرمجموعه {\ mathcal {G}} _ {2} \ زیرمجموعه {\ mathcal {G}} _ {3} \ زیرمجموعه \ cdots \ زیرمجموعه {\ mathcal { G}} _ {\ ناکافی} ،}$

جایی که {\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ infty}} ${\ mathcal {G}} _ {\ نامعتبر}$ کوچکترین جبر σ است که شامل تمام موارد دیگر است.

تعریف و خصوصیات [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

بگذارید X مقداری تنظیم شود و بگذارید{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)} ${\ mathcal {P}} (X)$ مجموعه قدرت آن را نشان می دهد . سپس یک زیر مجموعه{\ displaystyle \ Sigma \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)} ${\ displaystyle \ Sigma \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$ در صورتی که سه ویژگی زیر را برآورده کند ، جبر σ نامیده می شود : [3]

X در Σ است ، و X به عنوان مجموعه جهانی در زمینه زیر در نظر گرفته می شود .
Σ تحت مکمل بسته می شود : اگر A در Σ باشد ، مکمل آن نیز X \ A است .
Σ تحت اتحادیه های قابل شمارش بسته است : اگر A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... در Σ باشد ، A = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ in نیز باشد.

از این ویژگی ها نتیجه می شود که جبر σ نیز در تقاطع های قابل شمارش بسته می شود (با اعمال قوانین دی مورگان ).

همچنین نتیجه می شود که مجموعه خالی in در Σ است ، زیرا توسط (1) X در Σ است و (2) ادعا می کند که مکمل آن ، مجموعه خالی نیز در Σ است. علاوه بر این ، از آنجا که { X ، ∅ } شرایط (3) را نیز برآورده می کند ، از این رو نتیجه می شود که { X ، σ} کوچکترین σ جبر ممکن در X است . بزرگترین σ-جبر ممکن در X 2 X است : ={\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)} ${\ mathcal {P}} (X)$ .

عناصر جبر σ را مجموعه قابل اندازه گیری می نامند . یک جفت مرتب ( X ، Σ) ، که در آن X یک مجموعه است و Σ یک جبر σ بیش از X است ، یک فضای قابل اندازه گیری نامیده می شود . اگر پیش اندازه هر مجموعه قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری باشد ، به یک تابع بین دو فضای قابل اندازه گیری یک تابع قابل اندازه گیری گفته می شود. مجموعه فضاهای قابل اندازه گیری ، دسته ای را تشکیل می دهد که توابع قابل اندازه گیری را به صورت مورفیسم در اختیار شما قرار می دهد . اقدامات به عنوان انواع خاصی از توابع از σ تعریف می شوند-جبر به [0 ، ∞].

جبر σ هم یک سیستم π است و هم یک سیستم Dynkin ( سیستم λ). مکالمه نیز با قضیه دینکین درست است (در زیر).

قضیه π-λ دینکین [ ویرایش ]

این قضیه (یا قضیه کلاس یکنواخت مرتبط ) ابزاری اساسی برای اثبات بسیاری از نتایج در مورد خواص جبرهای خاص σ است. این از ماهیت دو کلاس ساده مجموعه ، یعنی زیر استفاده می کند.

π-سیستم P مجموعه ای از زیر مجموعه های X است که تحت finitely بسیاری از تقاطع بسته است، و

سیستم Dynkin (یا λ سیستم) D مجموعه ای از زیر مجموعه های X که شامل X و تحت مکمل و تحت اتحادیه شمارا از بسته است متلاشی شدن زیر مجموعه.

قضیه π-λ Dynkin می گوید ، اگر P یک سیستم π است و D یک سیستم Dynkin است که حاوی P است ، جبر σ σ ( P ) تولید شده توسط P در D موجود است . از آنجا که برخی از سیستم های π کلاسهای نسبتاً ساده ای هستند ، ممکن است سخت باشد که همه مجموعه های P از ویژگی مورد نظر لذت ببرند در حالی که از طرف دیگر ، نشان می دهد مجموعه D از همه زیر مجموعه های این ویژگی یک سیستم Dynkin است همچنین سرراست باشید قضیه π-λ Dynkin نشان می دهد که همه مجموعه های σ ( P ) از ویژگی برخوردار هستند ، از انجام بررسی آن برای مجموعه دلخواه در σ ( P)

یکی از اساسی ترین کاربردهای قضیه π-λ نشان دادن برابری معیارها یا انتگرال های جداگانه تعریف شده است. به عنوان مثال ، برای معادل سازی احتمال یک متغیر تصادفی X با انتگرال Lebesgue-Stieltjes که معمولاً با محاسبه احتمال مرتبط است ، استفاده می شود:

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in A) = \ int _ {A} \، F (dx)} $\ mathbb {P} (X \ in A) = \ int _ {A} \، F (dx)$ برای همه A در جبر بورل در R ،

که در آن F ( x ) تابع توزیع تجمعی برای X است ، تعریف شده در R ، در حالی که{\ displaystyle \ mathbb {P}} $\ mathbb {P}$ یک اندازه گیری احتمال است که در یک جبر σ از زیر مجموعه برخی از فضای نمونه Ω تعریف شده است.

ترکیب σ-جبری [ ویرایش ]

فرض کنید {\ displaystyle \ textstyle \ {\ Sigma _ {\ alpha}: \ alpha \ in {\ mathcal {A}} \}} $\ textstyle \ {\ Sigma _ {\ alpha}: \ alpha \ in {\ mathcal {A}} \}$ مجموعه ای از جبرهای σ بر روی فضای X است .

تقاطع مجموعه ای از جبرها σ یک جبر است. برای تأکید بر شخصیت آن به عنوان جبر σ ، اغلب با این مشخص می شود:

{\ displaystyle \ bigwedge _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha}.} $\ bigwedge _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha}.$

طرح اثبات: بگذارید Σ ∗ تقاطع را نشان دهد. از آنجا که X در هر Σ α است ، Σ ∗ خالی نیست. بستن تحت اتحادیه های مکمل و قابل شمارش برای هر Σ α حاکی از این است که برای Σ ∗ نیز باید همین امر صادق باشد . بنابراین، Σ * σ-جبر است.

اتحادیه مجموعه ای از جبرها به طور کلی جبر σ ، یا حتی جبر نیست ، اما یک جبر σ تولید می کند که به عنوان پیوند شناخته می شود و به طور معمول مشخص می شود

{\ displaystyle \ bigvee _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ سمت راست).} $\ bigvee _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right).$

یک سیستم π که اتصال را ایجاد می کند

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ left \ {\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}: A_ {i} \ in \ Sigma _ {\ alpha _ {i}} ، \ alpha _ {i} \ in {\ mathcal {A}} ، \ n \ geq 1 \ right \}.} ${\ mathcal {P}} = \ چپ \ {\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}: A_ {i} \ in \ Sigma _ {\ alpha _ {i}} ، \ alpha _ {i} \ in {\ mathcal {A}} ، \ n \ geq 1 \ right \}.$

Sketch of Proof: با حالت n = 1 ، مشاهده می شود که هر کدام{\ displaystyle \ Sigma _ {\ alpha} \ زیرمجموعه {\ mathcal {P}}} $\ Sigma _ {\ alpha} \ زیرمجموعه {\ mathcal {P}}$ ، بنابراین

{\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ subset {\ mathcal {P}}.} $\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ subset {\ mathcal {P}}.$

این دلالت می کنه که

{\ displaystyle \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right) \ subset \ sigma ({\ mathcal {P}})} $\ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست) \ زیرمجموعه \ sigma ({\ mathcal {P}})$

با تعریف جبر σ تولید شده توسط مجموعه ای از زیر مجموعه ها. از سوی دیگر،

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ subset \ sigma \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ right)} ${\ mathcal {P}} \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ راست)$

که با قضیه π-λ دینکین بر آن دلالت دارد

{\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {P}}) \ زیرمجموعه \ sigma \ سمت چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ سمت راست).} $\ sigma ({\ mathcal {P}}) \ زیرمجموعه \ sigma \ چپ (\ bigcup _ {\ alpha \ در {\ mathcal {A}}} \ Sigma _ {\ alpha} \ سمت راست)$

σ-جبری برای زیر فضاها [ ویرایش ]

فرض کنید Y یک زیرمجموعه از X است و اجازه دهید ( X ، Σ) یک فضای قابل اندازه گیری باشد.

مجموعه { Y ∩ B : B ∈ Σ} یک جبر σ از زیر مجموعه های Y است .
فرض کنید ( Y ، Λ) یک فضای قابل اندازه گیری است. مجموعه { A ⊂ X : A ∩ Y ∈ Λ} یک جبر σ از زیر مجموعه های X است .

ارتباط با حلقه σ [ ویرایش ]

σ جبر Σ فقط یک σ حلقه که شامل مجموعه جهانی X . [4] σ نیاز حلقه نمی شود یک σ جبر، به عنوان مثال زیر مجموعه های قابل اندازه گیری از صفر اندازه گیری Lebesgue در خط واقعی یک σ حلقه، اما نه یک σ جبر از خط واقعی است اندازه گیری بی نهایت و در نتیجه نمی تواند توسط اتحادیه قابل شمارش آنها حاصل شود. اگر به جای اندازه صفر ، زیرمجموعه های قابل اندازه گیری از اندازه محدود Lebesgue گرفته شود ، اینها یک حلقه هستند اما یک حلقه σ نیستند ، زیرا خط واقعی را می توان توسط اتحادیه قابل شمارش آنها بدست آورد ، اما اندازه آن محدود نیست.

یادداشت تایپوگرافی [ ویرایش ]

σ - جبرها گاهی اوقات با استفاده از حروف بزرگ خط ، یا حروف چاپی Fraktur نشان داده می شوند . بنابراین ( X ، Σ) ممکن است به عنوان نشان داده شود{\ displaystyle \ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathcal {F}})} $\ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathcal {F}})$ یا {\ displaystyle \ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathfrak {F}})} $\ scriptstyle (X ، \ ، {\ mathfrak {F}})$ .

موارد و مثالهای خاص [ ویرایش ]

σ-جبری های قابل تفکیک [ ویرایش ]

یک جبر (یا میدان جداکننده σ ) قابل تفکیک یک جبر σ است{\ displaystyle {\ mathcal {F}}} ${\ mathcal {F}}$ این یک فضای قابل تفکیک است که به عنوان یک فضای متریک با متریک در نظر گرفته شود {\ displaystyle \ rho (A، B) = \ mu (A {\ mathbin {\ مثلث}} B)} ${\ displaystyle \ rho (A، B) = \ mu (A {\ mathbin {\ مثلث}} B)}$ برای {\ displaystyle A ، B \ in {\ mathcal {F}}} ${\ displaystyle A ، B \ in {\ mathcal {F}}}$ و یک معیار مشخص {\ displaystyle \ mu} $\ mu$ (و با {\ displaystyle \ مثلث} $\مثلث$ بودن تفاوت متقارن اپراتور). [5] توجه داشته باشید که هر جبر σ تولید شده توسط مجموعه قابل شمارش از مجموعه ها قابل تفکیک است ، اما برعکس لازم نیست. به عنوان مثال ، جبر Lebesgue قابل تفکیک است (از آنجا که هر مجموعه قابل اندازه گیری Lebesgue معادل برخی از مجموعه های Borel است) اما به طور قابل شمارش تولید نمی شود (از آنجا که اصالت آن بالاتر از پیوستار است).

یک فضای اندازه گیری قابل تفکیک دارای یک شبه سنجی طبیعی است که آن را به عنوان یک فضای شبه سنجی قابل تفکیک می کند . فاصله بین دو مجموعه به عنوان اندازه گیری اختلاف متقارن دو مجموعه تعریف شده است. توجه داشته باشید که اختلاف متقارن دو مجموعه مجزا می تواند اندازه صفر داشته باشد. بنابراین لازم نیست که شبه سنجی همانطور که در بالا تعریف شد ، یک معیار واقعی باشد. با این وجود ، اگر مجموعه هایی که اختلاف متقارن آنها دارای اندازه صفر است ، در یک کلاس معادل واحد شناسایی شوند ، می توان با استفاده از متریک القایی ، مجموعه ضریب حاصل را به درستی اندازه گیری کرد. اگر فضای اندازه گیری قابل تفکیک باشد ، می توان نشان داد که فضای متریک مربوطه نیز هست.

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-algebra

+ نوشته شده در دوشنبه هشتم دی ۱۳۹۹ ساعت 11:4 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی