​

 
در ریاضیات ، به ویژه تئوری گروه ، ضرب  آزادعملیاتی است که دو گروه G و H را می گیرد و یک گروه جدید G ∗ H را می سازد . نتیجه شامل هر دو G و H به عنوان زیرگروه است ، توسط عناصر این زیرگروه ها تولید می شود و گروه " جهانی " است كه دارای این خصوصیات است ، به این معنا كه هر دو همگونی از G و H به یك عامل K گروه به طور منحصر به فرد از طریق همگونی از جی* H به K . تا زمانی که یکی از گروه های G و H بی اهمیت نباشد ، ضرب  آزادهمیشه نامحدود است. ساخت یک ضرب  آزاداز نظر روحیه مشابه ساخت یک گروه آزاد است (گروه جهانی با مجموعه ای مشخص از ژنراتورها).

ضرب  آزاد ضرب  مشترک در گروه است . یعنی ضربهای آزادهمان نقشی را در نظریه گروه ایفا می کند که اجتماع جدا از هم در تئوری مجموعه ای بازی می کند یا مجموع مستقیم در تئوری مدول بازی می کند . حتی اگر این گروه ها جابجایی داشته باشند ، ضرب  آزادآنها چنین نیست ، مگر اینکه یکی از این دو گروه گروه بی اهمیت باشد. بنابراین ، ضربهای آزادکالای مشترک در گروه گروه های آبلی نیست .

این ضرب  به صورت آزاد در مهم است توپولوژی جبری به دلیل قضیه پیش نمایش کمپن ، که می گوید که گروه های اساسی از اجتماع از دو همبند مسیری فضاهای توپولوژیک که اشتراک هم همبند مسیری است که همیشه یک ضرب  آزاددرهم ادغام از گروه های اساسی فضاهای . به طور خاص ، گروه بنیادی مجموع گوه ای دو فضا (یعنی فضای بدست آمده از پیوستن دو فضا بهم در یک نقطه واحد) به سادگی ضرب  آزاد گروه های اساسی فضاها است.

ضربهایآزاد نیز در نظریه باس-ساره ، مطالعه گروههایی که توسط خود ریختی هاروی درختان عمل می کنند ، مهم است . به طور خاص ، هر گروهی که با تثبیت کننده های راس محدود روی یک درخت عمل می کند ، ممکن است از گروه های محدود با استفاده از ضربهایآزاد آمیخته شده و پسوندهای HNN ساخته شود . با استفاده از عملکرد گروه مدولار در یک فلز خاص از صفحه هذلولی ، از این نظریه نتیجه می شود که گروه مدولار نسبت به ضرب  آزاد گروههای حلقوی از دستورات 4 و 6 در یک گروه دوری از ترتیب 2 ، غیر همسان است.

 

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

اگر G و H گروه باشند ، یک کلمه در G و H ضربی از فرم است

s_1 s_2 \ cdots s_n ،

جایی که هر s i یا عنصر G یا عنصر H است . چنین کلمه ای ممکن است با استفاده از عملیات زیر کاهش یابد :

  • نمونه ای از عنصر همانی ( G یا H ) را حذف کنید.
  • یک جفت از فرم g 1 g 2 را با ضرب  آن در G یا یک جفت h 1 h 2 را با ضرب  آن در H جایگزین کنید .

هر کلمه کاهش یافته یک ضرب  متناوب از عناصر G و عناصر H است ، به عنوان مثال

​

g_1 h_1 g_2 h_2 \ cdots g_k h_k.

ضرب آزاد  G * H گروه که عناصر کلمات کاهش در است G و H ، تحت عملیات الحاق با کاهش.

به عنوان مثال ، اگر G گروه دوری بی نهایت باشد\ langle x \ rangle ، و H گروه چرخه نامحدود است{\ displaystyle \ langle y \ rangle}، پس از آن هر عنصر از G * H یک صرب متناوب قدرت است X با قدرت Y . در این حالت ، G ∗ H برای گروه آزاد تولید شده توسط x و y یکدست است .

ارائه [ ویرایش ]

فرض کنید که

G = \ langle S_ {G} \ mid R_ {G} \ rangle

است ارائه برای G (که در آن S G مجموعه ای از ژنراتور است و R G مجموعه ای از روابط است)، و فرض کنید که

H = \ langle S_ {H} \ mid R_ {H} \ rangle

ارائه ای برای H است . سپس

G * H = \ langle S_ {G} \ cup S_ {H} \ mid R_ {G} \ cup R_ {H} \ rangle.

است که، G * H توسط ژنراتور برای تولید G همراه با ژنراتور برای H ، با روابط متشکل از روابط از G همراه با روابط از H (فرض در اینجا درگیری هیچ نوشتاری به طوری که این در واقع اجتماع مجزا ).

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال ، فرض کنید G یک گروه چرخه ای از ترتیب 4 است ،

G = \ langle x \ mid x ^ 4 = 1 \ rangle ،

و H یک گروه چرخه ای از سفارش 5 است

H = \ langle y \ mid y ^ 5 = 1 \ rangle.

سپس G ∗ H گروه بینهایت است

G * H = \ langle x ، y \ mid x ^ 4 = y ^ 5 = 1 \ رنجل.

از آنجا که هیچ رابطه ای در یک گروه آزاد وجود ندارد ، ضرب آزاد گروه های آزاد همیشه یک گروه آزاد است. به خصوص،

F_m * F_n \ Cong F_ {m + n} ،

جایی که F n نشانگر گروه آزاد موجود در n مولد است.

مثال دیگر گروه مدولار است {\ displaystyle PSL_ {2} (\ mathbf {Z})}. این ماده برای ضرب آزاد دو گروه چرخه ای یک شکل است [1]

{\ displaystyle PSL_ {2} (\ mathbf {Z}) = (\ \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}) \ ast (\ mathbf {Z} / 3 \ mathbf {Z}).}

تعمیم: ضرب آزاد همراه با ادغام [ ویرایش ]

ساخت کلی تر کالای آزاد همراه با ادغام به همین ترتیب نوع خاصی از فشار در همان گروه است . فرض کنیدG و حمانند قبل ، همراه با مونورفیسم (به عنوان مثال همومورفیسم گروه تزریقی ) آورده شده است:

{\ displaystyle \ varphi: F \ rightarrow G \ \،} و {\ displaystyle \ \، \ psi: F \ rightarrow H،}

جایی که Fیک گروه خودسر است با کالای آزاد شروع کنیدG * H و به عنوان روابط الحاق کنید

\ varphi (f) \ psi (f) ^ {- 1} = 1

برای هر f که در F. به عبارت دیگر ، کوچکترین زیر گروه طبیعی را در نظر بگیرید ن از G * Hحاوی تمام عناصر سمت چپ معادله فوق است که به طور ضمنی در آن در نظر گرفته شده استG * H با استفاده از شامل G و حدر ضرب آزاد آنها ضرب آزاد با ادغامG و ح، با توجه به \ varphi  و \ psi ، گروه ضریب است

(G * H) / N. \ ،

ادغام مجبور به شناسایی بین است {\ displaystyle \ varphi (F)} که در G با{\ displaystyle \ psi (F)} که درح، عنصر به عنصر. این ساختاری است که برای محاسبه گروه اساسی دو فضای متصل به هم متصل شده و در امتداد یک فضای فرعی متصل به هم متصل شده اند ،Fایفای نقش گروه بنیادی زیر فضایی. رجوع شود به قضیه وان کمپن-شیفرت .

کراس و سولیتر شرح زیرگروه های یک ضرب آزاد همراه با ادغام را ارائه داده اند. [2] به عنوان مثال ، هومورفیسم ها ازG و ح به گروه بهره {\ displaystyle (G * H) / N} که توسط \ varphi  و \ psi  هومورفیسم ناشی از F.

ضرب های آزاد همراه با ادغام و مفهوم نزدیکی از گسترش HNN ، عناصر اصلی ساخت در تئوری باس-ساره در مورد گروه هایی هستند که بر روی درختان کار می کنند.

در شاخه های دیگر [ ویرایش ]

به طور مشابه می توان ضرب های آزاد سایر ساختارهای جبری را غیر از گروه ها ، از جمله جبرها در یک زمینه ، تعریف کرد . ضرب های آزاد جبر از متغیرهای تصادفی همان نقشی را در تعریف " آزادگی " در نظریه احتمال آزاد بازی می کنند که ضرب های دکارتی در تعریف استقلال آماری در نظریه احتمال کلاسیک ایفا می کنند .

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

https://en.wikipedia.org/wiki/Free_product

​