فهرست

تعریف

اجازه دهید ( X، Σ )(ایکس،Σ)یک فضای قابل اندازه گیری باشد.

یک زیر مجموعه س⊆ Xس⊆ایکسگفته می شود (ΣΣ-) قابل اندازه گیری است اگر و فقط اگر س∈ Σس∈Σ.

 

مجموعه قابل اندازه گیری اقدام خارجی خودسرانه

اجازه دهید μ*μ*یک اندازه گیری بیرونی درایکسایکس.

یک زیر مجموعه س⊆ Xس⊆ایکس نامیده میشود μ*μ*-اگر فقط درصورتی که شرایط Carathéodory را برآورده کند قابل اندازه گیری است :

μ*( الف ) =μ*( A ∩ S) +μ*( A ∖ S)μ*(آ)=μ*(آ∩س)+μ*(آ∖س)

برای هر A ⊆ Xآ⊆ایکس.


با تنظیم تفاوت به عنوان تقاطع با متمم ، این برابر است با:

μ*( الف ) =μ*( A ∩ S) +μ*( A ∩ ∁ ( S) )μ*(آ)=μ*(آ∩س)+μ*(آ∩∁(س))

جایی که ∁ ( S)∁(س)نشان دهنده مکمل نسبی ازسس که در ایکسایکس.

مجموعه ای از μ*μ*مجموعه های قابل اندازه گیری نشان داده شده است م (μ*)م(μ*)و یکσσ-جبر تموم ایکسایکس.

 

زیر مجموعه قابل اندازه گیری از واقعیات

یک زیر مجموعه سساز اعداد واقعیRRگفته می شود Lebesgue قابل اندازه گیری است ، یا اغلب فقط قابل اندازه گیری است ، اگر و فقط اگر برای هر مجموعه باشدA ∈ Rآ∈R:

λ*( الف ) =λ*( A ∩ S) +λ*( A ∖ S)λ*(آ)=λ*(آ∩س)+λ*(آ∖س)

جایی که λ*λ*است اندازه گیری بیرونی لبسگو .

مجموعه ای از همه مجموعه قابل اندازه گیری ازRR اغلب نشان داده می شود مRمR یا فقط مم.

 

زیر مجموعه قابل اندازه گیری از RnRn

یک زیر مجموعه سس از RnRnگفته می شود Lebesgue قابل اندازه گیری است ، اغلب فقط قابل اندازه گیری است ، اگر و فقط اگر برای هر مجموعه باشد ∈Rnآ∈Rn:

متر*A =متر*( A ∩ S) +متر*( A ∩ ∁ ( S) )متر*آ=متر*(آ∩س)+متر*(آ∩∁(س))

جایی که:

∁ ( S)∁(س)است مکمل ازسس که در RnRn

متر*متر* به عنوان ... تعریف شده است:

متر*( S) =inf{منک} : S⊆ ∪منک∑ v (منک)متر*(س)=inf{منک}:س⊆∪منکΣv(منک)

جایی که:

{منک}{منک}یک توالی از مجموعه رضایت:

منک= [آ1..ب1] × ⋯ × [آک..بک]منک=[آ1..ب1]×⋯×[آک..بک]

v (منn)v(منn)است حجم Πمن =1n|بمن-آمن|Πمن=⁡1n|بمن-آمن|

infimum محدوده بیش از همه از جمله مجموعه {منn}{منn}


مجموعه ای از همه مجموعه قابل اندازه گیری ازRnRn اغلب نشان داده می شود مRnمRn.

 

همچنین نگاه کنید به

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Measurable_Set