در ریاضیات ، یک مجموعه غیر قابل اندازه گیری است مجموعه ای که نمی توان به "حجم" معنی دار است. وجود ریاضی چنین مجموعه تفسیر شده است برای ارائه اطلاعات در مورد مفاهیم طول ، مساحت و حجم در نظریه مجموعه رسمی. در ZF ، انتخاب شامل زیرمجموعه های غیر قابل اندازه گیری از\ mathbb {R}  وجود دارد

مفهوم مجموعه ای غیر قابل اندازه گیری از زمان معرفی تاکنون مناقشات زیادی ایجاد کرده است. از نظر تاریخی ، این باعث شد که بورل و کلموگروف نظريه احتمال را در مجموعه هایی که قابل اندازه گیری هستند ، تدوین کنند. مجموعه های قابل اندازه گیری روی خط ، اتحادیه های قابل شمارش تکراری و تقاطع های فواصل (به نام مجموعه های بورل ) مجموعه های منفی منفی هستند . این مجموعه ها به اندازه کافی غنی هستند که شامل هر تعریف قابل تصوری از مجموعه ای است که در ریاضیات استاندارد مطرح می شود ، اما برای اثبات قابل اندازه گیری بودن مجموعه ها به فرمالیسم زیادی نیاز دارند.

در سال 1970 ، رابرت ام. سولووی مدل سولووی را ساخت ، که نشان می دهد با تئوری مجموعه استاندارد بدون انتخاب غیرقابل شمارش مطابقت دارد ، که همه زیر مجموعه واقعی ها قابل اندازه گیری هستند. با این حال ، نتیجه سولووی به وجود یک کاردینال غیرقابل دسترس بستگی دارد ، که وجود و ثبات آن را نمی توان در تئوری مجموعه استاندارد اثبات کرد.

 

فهرست

ساخت های تاریخی [ ویرایش ]

اولین نشانه وجود مشكلی در تعریف طول برای یك مجموعه خودسرانه از قضیه ویتالی ناشی شده است . [1]

وقتی اتحادیه دو مجموعه جدا از هم را تشکیل می دهید ، انتظار می رود که اندازه گیری نتیجه حاصل جمع دو مجموعه باشد. به معیاری با این خاصیت طبیعی افزودنی محدود گفته می شود . در حالی که یک اندازه گیری کاملاً افزودنی برای بیشتر شهودهای منطقه کافی است و مشابه ادغام ریمان است ، اما از نظر احتمالات کافی نیست ، زیرا درمانهای مدرن معمولی توالی وقایع یا متغیرهای تصادفی ، افزایشی قابل شماری را می طلبند .

از این نظر ، هواپیما شبیه خط است. یک اندازه گیری کاملاً افزودنی وجود دارد ، که اندازه گیری Lebesgue را گسترش می دهد ، که در تمام isometries ثابت نیست . وقتی ابعاد شما افزایش می یابد ، تصویر بدتر می شود. تناقض هاسدورف و باناخ-تارسکی تناقض نشان می دهد که شما می توانید یک سه بعدی را توپ شعاع 1، تشریح آن را به 5 بخش، حرکت و چرخش قطعات و دو توپ از شعاع 1. این ساخت و ساز به صورت فیزیکی تحقق است. در سال 1989 ، AK Dewdney نامه ای از دوست خود Arlo Lipof را در ستون Computer Recreations در نشریه American American منتشر كردجایی که او یک عملیات زیرزمینی "در یک کشور آمریکای جنوبی" را از دو برابر کردن توپ های طلا با استفاده از پارادوکس Banach-Tarski توصیف می کند . [2] به طور طبیعی، این در شماره ماه آوریل، و "آرلو Lipof" یک است مقلوب از " احمق آوریل ".

مثال [ ویرایش ]

در نظر بگیرید S ، مجموعه ای از تمام نقاط در دایره واحد، و عمل در S توسط یک گروه G متشکل از تمام چرخش منطقی (دور با زاویه که مضرب منطقی π هستند). در اینجا G قابل شمارش است (به طور خاص تر ، G برابر با یکسان نیست{\ mathbb {Q}} / {\ mathbb {Z}}) در حالی که S غیر قابل شمارش است. از این رو S در تعداد زیاد مدارهای G تحت تعداد بی شماری قرار می گیرد . با استفاده از بدیهیات انتخابی ، می توانیم از هر مدار یک نقطه واحد انتخاب کنیم و یک زیر مجموعه غیرقابل شمارش بدست آوریمX \ زیرمجموعه Sبا ملکی که همه از ترجمه (نسخه ترجمه شده) [3] از X توسط G هستند مجزا از X و از یکدیگر. مجموعه ای از آنها ، دایره را به یک مجموعه قابل شمارش از مجموعه های جداگانه تبدیل می کند که همه از لحاظ جفتی با هم منطبق هستند (با چرخش های منطقی). مجموعه X خواهد بود غیر قابل اندازه گیری برای هر چرخش ثابت قابل شمارش اندازه احتمال افزودنی در S : اگر X است صفر اندازه گیری، جمع پذیری قابل شمارش بیانگر آن است که طیف دایره تا صفر اندازه گیری. اگر X دارای اندازه مثبت باشد ، افزودنی قابل شمارش نشان می دهد که دایره دارای اندازه بی نهایت است.

تعاریف منسجم از اندازه گیری و احتمال [ ویرایش ]

پارادوکس باناخ-تارسکی نشان می دهد این است که هیچ راهی برای تعریف حجم در سه بعد وجود دارد مگر اینکه یکی از چهار امتیازات زیر ساخته شده است:

  1. حجم مجموعه ممکن است هنگام چرخش تغییر کند.
  2. حجم اتحاد دو مجموعه جداگانه ممکن است با مجموع حجم آنها متفاوت باشد.
  3. برخی از مجموعه ها ممکن است "غیر قابل اندازه گیری" برچسب گذاری شوند ، و قبل از صحبت کردن در مورد حجم آن ، باید بررسی شود که "یک مجموعه" قابل اندازه گیری است.
  4. ممکن است بدیهیات ZFC ( نظریه مجموعه Zermelo – Fraenkel با بدیهی انتخابی) تغییر یابد.

تئوری اندازه گیری استاندارد گزینه سوم را انتخاب می کند. یکی خانواده ای از مجموعه های قابل اندازه گیری را تعریف می کند که بسیار غنی است و تقریباً هر مجموعه ای که در اکثر شاخه های ریاضیات به صراحت تعریف شود در میان این خانواده خواهد بود. معمولاً بسیار آسان است که ثابت شود یک زیر مجموعه خاص از صفحه هندسی قابل اندازه گیری است. فرض اساسی این است که یک مجموعه بی نظیر قابل شمارش از تعداد نامحدود ، فرمول جمع را برآورده می کند ، خصوصیاتی به نام σ-addtivity .

در سال 1970، Solovay نشان داد که وجود یک مجموعه غیر قابل اندازه گیری برای اندازه گیری Lebesgue است قابل اثبات در چارچوب نظریه مجموعه زرملو-فرانکل در غیاب یک اصل اضافی (مانند اصل موضوع انتخاب) نیست، با نشان دادن اینکه ( با فرض قوام یک کاردینال غیرقابل دسترس ) یک مدل از ZF وجود دارد ، به نام مدل Solovay ، که در آن انتخاب قابل شمارش وجود دارد ، هر مجموعه Lebesgue قابل اندازه گیری است و در آن بدیهیات کامل انتخاب ناموفق است.

بدیهی انتخاب معادل یک نتیجه اساسی توپولوژی مجموعه ای از نقطه ، قضیه Tychonoff است ، و همچنین بهم پیوستگی دو نتیجه اساسی تحلیل عملکردی ، قضیه Banach-Alaoglu و قضیه Kerin-Milman . این امر همچنین بر مطالعه گروههای بی نهایت و همچنین نظریه حلقه و نظم تأثیر می گذارد (به قضیه ایده آل اصلی بولی مراجعه کنید ). با این حال ، بدیهیات تعیین و انتخاب وابسته در کنار هم برای بیشتر نظریه اندازه گیری هندسی ، نظریه پتانسیل ، سری فوریه وفوریه تبدیل می شود ، در حالی که تمام زیر مجموعه های خط واقعی Lebesgue را قابل اندازه گیری می کند.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Non-measurable_set