از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

 

در ریاضیات ، قضیه بورل-کاراتئودوری در تحلیل پیچیده نشان می دهد که یک تابع تحلیلی ممکن است به قسمت واقعی آن محدود شود . این یک کاربرد از اصل مدول حداکثر است . این نام برای امیلی بورل و کنستانتین کاراتودوری است .

بیان قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید یک تابع fتحلیلی در شود دیسک بسته از شعاع R محور در منشاء . فرض کنید که R < R . سپس ، ما نابرابری زیر را داریم:

\ | f \ | _ {r} \ leq {\ frac {2r} {Rr}} \ sup _ {{| z | \ leq R}} \ operatorname {Re} f (z) + {\ frac {R + r} {Rr}} | f (0) |.

در اینجا ، هنجار در سمت چپ نشان دهنده حداکثر مقدار f در دیسک بسته است:

\ | f \ | _ {r} = \ max _ {{| z | \ leq r}} | f (z) | = \ max _ {{| z | = r}} | f (z) |

(جایی که آخرین برابری به دلیل اصل مدول حداکثر است).

اثبات [ ویرایش ]

تعریف توسط

A = \ sup _ {{| z | \ leq R}} \ operatorname {Re} f (z).

اگر f ثابت باشد ، نابرابری از آنجا بی اهمیت است{\ displaystyle (R + r) / (Rr)> 1}، بنابراین ممکن است فرض کنیم f ثابت نیست. ابتدا f (0) = 0. بگذارید. از آنجا که Re f هارمونیک است ، Re f (0) برابر است با میانگین مقادیر آن در اطراف هر دایره ای که مرکز آن 0 باشد. یعنی ،

{\ displaystyle \ operatorname {Re} f (0) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {| z | = R} \ operatorname {Re} f (z) dz.}

از آنجا که f تحلیلی و غیر ثابت است ، بنابراین باید Re f نیز ناپایدار باشد. از آنجا که Re f (0) = 0 ، ما باید Re داشته باشیم{\ displaystyle f (z)> 0}برای برخی از z روی دایره{\ displaystyle | z | = R}، بنابراین ما ممکن است A> 0. اکنون f به نیم صفحه P در سمت چپ خط x = A نقشه می زند. تقریباً هدف ما این است که این نیم صفحه را روی یک دیسک ترسیم کنیم ، لمای شوارتز را در آنجا اعمال کنیم و نابرابری بیان شده را مشخص کنیم.

{\ w \ mapsto w / A-1P را به نیم صفحه استاندارد چپ می فرستد .w \ mapsto R (w + 1) / (w-1)نیم صفحه چپ را به دایره شعاع R با مرکز مبدا می فرستد . کامپوزیت که از 0 تا 0 نقشه می کشد ، نقشه مورد نظر است:

w \ mapsto {\ frac {Rw} {w-2A}}.

از لما شوارتز اعمال شده به کامپوزیت این نقشه و f ، ما داریم

{\ frac {| Rf (z) |} {| f (z) -2A |}} \ leq | z |.

بگیر | z | ≤ R . موارد فوق می شود

R | f (z) | \ leq r | f (z) -2A | \ leq r | f (z) | + 2Ar

بنابراین

| f (z) | \ leq {\ frac {2Ar} {Rr}}،

همانطور که ادعا شده است. در حالت کلی ، ممکن است موارد بالا را در f ( z ) - f (0) اعمال کنیم:

{\ start {تراز شده} | f (z) | - | f (0) | & \ leq | f (z) -f (0) | \ leq {\ frac {2r} {Rr}} \ sup _ {{ | w | \ leq R}} \ operatorname {Re} (f (w) -f (0)) \\ & \ leq {\ frac {2r} {Rr}} \ سمت چپ (\ sup _ {{| w | \ leq R}} \ operatorname {Re} f (w) + | f (0) | \ سمت راست) ، \ end {تراز شده}}

که در صورت تنظیم مجدد ادعا می کند.

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Carath%C3%A9odory_theorem