رسمی، اندازه گیری دارای خاصیت بودن یکنواخت به این معنا که اگر است زیر مجموعه از B ، اندازه گیری از است کمتر یا اندازه گیری برابر B . علاوه بر این ، اندازه مجموعه خالی 0 می باشد.

در تحلیل ریاضی ، اندازه گیری روی یک مجموعه یک روش سیستماتیک برای اختصاص دادن یک عدد به هر زیر مجموعه مناسب از آن مجموعه است ، که بصورت شهودی به عنوان اندازه آن تفسیر می شود. از این نظر ، معیار تعمیم مفاهیم طول ، مساحت و حجم است. یک مثال مهم است اندازه گیری Lebesgue در فضای اقلیدسی ، که اختصاص معمولی طول ، مساحت ، و حجم از هندسه اقلیدسی به زیر مجموعه های مناسب از N - بعدی فضای اقلیدسی R N. به عنوان مثال ، مقدار Lebesgue از فاصله [0 ، 1] در اعداد واقعی طول آن به معنای روزمره کلمه است ، به طور خاص ، 1.

از نظر فنی ، اندازه گیری تابعی است که یک عدد واقعی غیر منفی یا + ∞ به (خاص) زیر مجموعه های مجموعه X اختصاص می دهد ( به تعریف زیر مراجعه کنید). علاوه بر این باید به طور قابل شماری افزودنی باشد : اندازه گیری یک زیرمجموعه "بزرگ" که می تواند به تعداد محدود (یا قابل شمارش بی نهایت) تعداد زیر مجموعه های "غیر کوچکتر" تجزیه شود ، برابر با مجموع اندازه گیری های زیرمجموعه های "کوچکتر" است. به طور کلی ، اگر کسی بخواهد اندازه ثابت را به هر زیر مجموعه از یک مجموعه معین مرتبط کند در حالی که بدیهیات دیگر اندازه گیری را برآورده می کند ، فقط نمونه های بی اهمیت مانند اندازه گیری شمارش را پیدا می کند. این مشکل فقط با تعیین اندازه گیری فقط در زیر مجموعه ای از همه زیر مجموعه ها برطرف شد. زیرمجموعه های به اصطلاح قابل اندازه گیری ، که برای تشکیل جبر σ لازم است . این بدان معنی است که اتحادیه های قابل شمارش ، تقاطع های قابل شمارش و مکمل های زیر مجموعه قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری هستند. مجموعه های غیر قابل اندازه گیری در یک فضای اقلیدسی ، که اندازه گیری Lebesgue را نمی توان به طور مداوم بر روی آنها تعریف کرد ، لزوماً پیچیده است به این معنی که بد با مکمل آنها مخلوط شده است. [1] در واقع ، وجود آنها نتیجه ای غیر پیش پا افتاده از بدیهیات انتخاب است .

نظریه اندازه گیری در اواخر قرن 19 و اوایل قرن 20 در مراحل پی در پی توسط امیل بورل ، هنری لبسگو ، یوهان رادون و موریس فرشته ، و دیگران ایجاد شد. برنامه های کاربردی اصلی از اقدامات در مبانی هستند Lebesgue انتگرال ، در آندره کلموگروف را axiomatisation است از نظریه احتمال و در نظریه ergodic . در تئوری ادغام ، تعیین یک اندازه گیری به فرد امکان می دهد انتگرال ها را تعریف کنددر فضاهای عمومی تر از زیر مجموعه های فضای اقلیدسی ؛ علاوه بر این ، انتگرال با توجه به اندازه گیری Lebesgue در فضاهای اقلیدسی کلی تر است و نظریه غنی تری نسبت به سلف خود ، انتگرال ریمان دارد . نظریه احتمال ، معیارهایی را که به کل مجموعه اندازه 1 اختصاص می دهند در نظر می گیرد و زیرمجموعه های قابل اندازه گیری را رویدادهایی می داند که احتمال آنها با این معیار داده می شود. نظریه ارگودیک اقداماتی را در نظر می گیرد که تحت یک سیستم پویا ثابت نیستند یا به طور طبیعی از آن ناشی می شوند .

 

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

جمع شدن قابل شمارش اندازه گیری μ : معیار اندازه گیری اتحادیه غیر متغیر قابل شمارش برابر است با مجموع تمام معیارهای هر زیر مجموعه.

اجازه دهید X یک مجموعه و Σ σ جبر بیش X . یک تابع μ از Σ به خط عدد واقعی توسعه یافته در صورتی که خصوصیات زیر را برآورده کند ، معیار نامیده می شود :

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) .}

اگر حداقل یک مجموعه باشد E دارای اندازه گیری محدود است ، پس از آن شرط\ mu (\ varnothing) = 0به طور خودکار ملاقات می شود در واقع ، با افزودنی قابل شمارش ،

{\ displaystyle \ mu (E) = \ mu (E \ cup \ varnothing) = \ mu (E) + \ mu (\ varnothing) ،}

و بنابراین {\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0.}

اگر فقط شرط دوم و سوم تعریف اندازه گیری فوق وجود داشته باشد و μ حداکثر یکی از مقادیر ± takes را به خود اختصاص دهد ، آنگاه μ را معیار امضا شده می نامند .

جفت ( X ، Σ) را فضای قابل اندازه گیری می نامند ، اعضای Σ را مجموعه های قابل اندازه گیری می نامند . اگر{\ displaystyle \ چپ (X ، \ Sigma _ {X} \ راست)} و{\ displaystyle \ چپ (Y ، \ Sigma _ {Y} \ راست)} دو فضای قابل اندازه گیری هستند ، سپس یک تابع f: X \ به Yنامیده می شود اندازه گیری اگر برای هر Y مجموعه {\ displaystyle B \ in \ Sigma _ {Y}}از تصویر معکوس است X -measurable - یعنی:{\ displaystyle f ^ {(- 1)} (B) \ in \ Sigma _ {X}}. در این تنظیمات ، ترکیب توابع قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری است ، و باعث می شود که فضاهای قابل اندازه گیری و توابع قابل اندازه گیری به یک دسته تبدیل شوند ، فضاهای قابل اندازه گیری به عنوان اشیا و مجموعه توابع قابل اندازه گیری به عنوان فلش باشند. همچنین به عملکرد قابل اندازه گیری # تغییرات استفاده مدت در مورد تنظیم دیگری مراجعه کنید.

یک سه گانه ( X ، Σ، μ ) را فضای اندازه گیری می نامند . اندازه احتمال یک اقدام با مجموع یک اندازه گیری است - یعنی μ ( X ) = 1 . فضای احتمال یک فضای از اندازه گیری با اندازه احتمال است.

برای فضاهای اندازه گیری که فضاهای توپولوژیکی نیز هستند ، می توان شرایط سازگاری مختلفی برای اندازه گیری و توپولوژی تعیین کرد. بیشتر اقدامات در عمل در تجزیه و تحلیل (و در بسیاری از موارد نیز در تئوری احتمال ) انجام می شود ، اقدامات رادون است . اقدامات رادون یک تعریف جایگزین از لحاظ functionals خطی در دارند فضا در سطح محلی محدب از توابع پیوسته با پشتیبانی جمع و جور . این روش توسط بورباکی (2004) و تعدادی از منابع دیگر اتخاذ شده است. برای جزئیات بیشتر ، به مقاله اقدامات رادون مراجعه کنید .

مثالها [ ویرایش ]

برخی اقدامات مهم در اینجا ذکر شده است.

سایر اقدامات 'به نام' استفاده شده در نظریه های مختلف عبارتند از: بورل اندازه گیری ، اندازه گیری اردن ، اندازه گیری ارگودیک ، اندازه گیری اویلر ، اندازه گیری گاوسی ، اندازه گیری بئر ، اندازه گیری رادون ، اندازه گیری جوان ، و اندازه گیری لوئب .

در فیزیک ، نمونه ای از اندازه گیری ، توزیع فضایی جرم است (به عنوان مثال ، پتانسیل گرانش را ببینید ) ، یا یک ویژگی گسترده غیر منفی دیگر ، محفوظ است ( برای لیست این موارد به قانون حفاظت مراجعه کنید ) یا خیر. مقادیر منفی منجر به اقدامات امضا شده می شود ، به "کلیات" در زیر مراجعه کنید.

خصوصیات اساسی [ ویرایش ]

بگذارید μ یک معیار باشد.

یکنواختی [ ویرایش ]

اگر E 1 و E 2 مجموعه قابل اندازه گیری با E 1  ⊆  E 2 پس از آن

\ mu (E_ {1}) \ leq \ mu (E_ {2}).

اندازه گیری اتحادیه ها و تقاطع های قابل شمارش [ ویرایش ]

حساسیت فرعی [ ویرایش ]

برای هر دنباله قابل شمارش E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه (و لزوما جدا از هم نیست) قابل اندازه گیری E n در Σ:

\ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {i}).

تداوم از پایین [ ویرایش ]

اگر E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه های قابل اندازه گیری هستند و{\ displaystyle E_ {n} \ subseteq E_ {n + 1}،}برای همه n ، پس اتحاد مجموعه های E n قابل اندازه گیری است ، و

\ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to \ infty} \ mu (E_ {i}).

تداوم از بالا [ ویرایش ]

اگر E 1 ، E 2 ، E 3 ، ... مجموعه های قابل اندازه گیری هستند و برای همه {\ displaystyle E_ {n + 1} \ subseteq E_ {n}،}سپس تقاطع مجموعه های E n قابل اندازه گیری است. بعلاوه ، اگر حداقل یکی از E n دارای اندازه محدود باشد ، پس

\ mu \ left (\ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ lim _ {i \ to \ infty} \ mu (E_ {i}).

این ویژگی بدون فرض اینکه حداقل یکی از E n دارای اندازه محدود باشد نادرست است . به عنوان مثال ، برای هر n ∈ N ، بگذارید E n = [ n ، ∞) ⊂ R ، که اندازه گیری Lebesgue نامحدود است ، اما تقاطع خالی است.

اقدامات محدود سیگما [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری محدود سیگما

فضای اندازه گیری ( X ، Σ، μ ) نامیده می شود محدود اگر μ ( X ) یک عدد حقیقی محدود (به جای ∞) است. معیارهای محدود غیر صفر مشابه معیارهای احتمال هستند به این معنا که هر اندازه محدود μ با اندازه گیری احتمال متناسب است{\ frac {1} {\ mu (X)}} \ mu . اگر X را بتوان به یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه های قابل اندازه گیری اندازه محدود تبدیل کرد ، یک اندازه گیری μ σ-محدود نامیده می شود. همین قیاس، مجموعه ای در یک فضای اندازه است گفت: به یک اندازه گیری σ-محدود اگر آن را یک اتحادیه قابل شمارش از مجموعه با اندازه گیری محدود است.

به عنوان مثال ، اعداد واقعی با اندازه گیری استاندارد Lebesgue σ محدود هستند اما محدود نیستند. فواصل بسته [ k ، k +1] را برای تمام عدد صحیح k در نظر بگیرید . تعداد فواصل بسیار زیادی وجود دارد که هر کدام دارای اندازه 1 هستند و اتحادیه آنها کل خط واقعی است. متناوباً ، اعداد واقعی را با معیار شمارش در نظر بگیرید، که به هر مجموعه متناهی از تعداد واقعی نقاط تنظیم می شود. این فضای اندازه گیری σ محدود نیست ، زیرا هر مجموعه ای با اندازه گیری محدود فقط دارای بسیاری از نقاط است و برای پوشش دادن کل خط واقعی تعداد زیادی از این مجموعه ها به طول می انجامد. فضاهای اندازه گیری محدود σ دارای ویژگی های بسیار مناسبی هستند. σ-محدود بودن را می توان از این لحاظ با ویژگی Lindelöf فضاهای توپولوژیکی مقایسه کرد. همچنین می توان آنها را به عنوان یک تعمیم مبهم این ایده تصور کرد که فضای اندازه گیری ممکن است "اندازه گیری غیرقابل شمارش" داشته باشد.

اقدامات محدود [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری محدود

گفته می شود که معیاری اگر جمع قابل شماری از معیارهای محدود باشد ، s-محدود است. معیارهای S محدود محدودتر از اقدامات محدود سیگما هستند و در تئوری فرآیندهای تصادفی کاربرد دارند .

کامل بودن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اندازه گیری کامل

به مجموعه ای قابل اندازه گیری X گفته می شود که درصورت μ ( X ) = 0 ، مجموعه تهی باشد . به زیرمجموعه ای از مجموعه null یک مجموعه ناچیز گفته می شود . یک مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری نیست ، اما هر مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری به طور خودکار یک مجموعه پوچ است. اگر هر مجموعه ناچیز قابل اندازه گیری باشد ، معیار را کامل می نامند .

اندازه گیری را می توان به یکی از کامل با در نظر گرفتن σ جبر از زیر مجموعه های گسترش Y که توسط مجموعه ای ناچیز از یک مجموعه قابل اندازه گیری متفاوت X ، این است که، به طوری که تفاوت متقارن از X و Y در یک مجموعه تهی موجود است. یکی μ ( Y ) را برابر μ ( X ) تعریف می کند .

افزودنی [ ویرایش ]

اقدامات لازم است تا به طور قابل شماری افزودنی باشند. با این حال ، شرایط می تواند به شرح زیر تقویت شود. برای هر مجموعهمن و هر مجموعه ای از موارد منفی {\ displaystyle r_ {i} ، من \ در I} تعريف كردن:

\ sum _ {i \ in I} r_ {i} = \ sup \ left \ lbrace \ sum _ {i \ in J} r_ {i}: | J | <\ aleph _ {0}، J \ subseteq I \ راست \ آغوش.

یعنی ، ما مجموع r_ {i} به عنوان برتری کل مبالغ بسیاری از آنها باشد.

یک اندازه \ mu  بر \ سیگما  است \ کاپا در صورت وجود ، اضافه می شود {\ displaystyle \ lambda <\ kappa} و هر خانواده ای از مجموعه های جدا از هم{\ displaystyle X _ {\ alpha} ، \ alpha <\ lambda} وضعیت زیر:

{\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in \ lambda} X _ {\ alpha} \ in \ Sigma}

\ mu \ left (\ bigcup _ {\ alpha \ in \ lambda} X _ {\ alpha} \ right) = \ sum _ {\ alpha \ in \ lambda} \ mu \ left (X _ {\ alpha} \ right)

توجه داشته باشید که شرط دوم معادل این جمله است که ایده آل مجموعه های پوچ است\ کاپا -کامل.

مجموعه های غیر قابل اندازه گیری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مجموعه ای غیر قابل اندازه گیری

اگر اصل موضوع انتخاب فرض بر این است درست باشد، می توان آن را ثابت کرد که همه زیر مجموعه از فضای اقلیدسی می لبسگو اندازه گیری ؛ نمونه هایی از این مجموعه ها شامل مجموعه Vitali و مجموعه های غیر قابل اندازه گیری است که توسط پارادوکس هاوسدورف و پارادوکس Banach – Tarski فرض شده است .

تعمیم [ ویرایش ]

برای اهداف خاص ، داشتن "معیاری" مفید است که مقادیر آن محدود به واقعیات غیر منفی یا بینهایت نباشد. به عنوان مثال ، یک تابع جمع کننده افزودنی قابل شمارش با مقادیر در اعداد واقعی (امضا شده) ، معیار امضا شده نامیده می شود ، در حالی که چنین تابعی با مقادیر در اعداد مختلط ، معیار پیچیده ای نامیده می شود . اقداماتی که در فضاهای Banach مقادیر لازم را دارند ، به طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته اند. [2] به معیاری که مقادیر مجموعه ای از پیش بینی های خود بهم پیوسته در فضای هیلبرت را می گیرد ، معیار اندازه گیری برآورد گفته می شود . اینها در تحلیل عملکردی برای قضیه طیفی استفاده می شوند. هنگامی که لازم است معیارهای معمول که مقادیر غیر منفی را از کلیات می گیرند ، تشخیص دهیم ، از اصطلاح معیار مثبت استفاده می شود. معیارهای مثبت تحت ترکیب مخروطی بسته می شوند اما با ترکیب خطی عمومی بسته نمی شوند ، در حالی که اقدامات امضا شده بسته شدن خطی اقدامات مثبت است.

تعمیم دیگر ، اندازه گیری کاملاً افزودنی است که به عنوان محتوا نیز شناخته می شود . این همان اندازه گیری است با این تفاوت که به جای اینکه به افزودنی قابل شمارش نیاز داشته باشیم ، فقط به افزودنی محدود نیاز داریم . از نظر تاریخی ، ابتدا از این تعریف استفاده می شد. به نظر می رسد که به طور کلی، اقدامات متناهی افزودنی با مفاهیمی همچون متصل محدودیت باناخ ، دوگانه L ∞ و فشرده سنگ-چک . همه اینها از یک راه یا دیگری با بدیهیات انتخابی مرتبط هستند . مطالب در برخی مشکلات فنی در نظریه اندازه گیری هندسی مفید است . این تئوری استاقدامات Banach .

شارژ یک تعمیم در هر دو جهت است: آن متناه افزودنی، اندازه گیری امضا شده است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)