زیر گروه دروغ [ ویرایش ]

یک زیر گروه Lie ح از یک گروه دروغ Gیک گروه دروغ است که زیر مجموعه ای از آن استGو به گونه ای که نقشه ورود ازح به Gیک IS تزریقی غوطه وری و گروه همریخت . طبق قضیه کارتان ، یک زیر گروه بسته ازGیک ساختار صاف و منحصر به فرد را پذیرفته و آن را به یک زیرگروه تعبیه شده دروغ تبدیل می کندGیک زیر گروه Lie وجود دارد ، به طوری که نقشه شامل یک تعبیه صاف است.

نمونه هایی از زیر گروه های غیر تعطیل فراوان است. به عنوان مثالG یک توروس از بعد 2 یا بیشتر باشد ، و اجازه دهیدحیک زیر گروه یک پارامتر از شیب غیر منطقی باشد ، به عنوان مثال یک گروه که در اطراف G می پیچد . سپس یک گروه دروغ وجود دارد همریخت{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ به G} با {\ displaystyle \ mathrm {im} (\ varphi) = H}. بسته شدن ازح یک توروس فرعی در خواهد بود G.

نقشه نمایی می دهد تناظر یک به یک بین زیر گروه دروغ متصل شده از یک گروه دروغ متصلG و زیربرابرهای جبر دروغ از  G. [18] به طور معمول ، زیرگروه مربوط به یک ساب جبر یک زیر گروه بسته نیست. هیچ معیاری صرفاً براساس ساختار وجود نداردG که تعیین می کند کدام زیربرابرها مربوط به زیرگروه های بسته هستند.

نمایندگی ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمایندگی یک گروه دروغ

همچنین نگاه کنید به: گروه فشرده theory تئوری بازنمایی یک گروه دروغ جمع و جور متصل ، و نمایش جبر دروغ

یکی از جنبه های مهم مطالعه گروه های دروغ ، نمایش آنهاست ، یعنی نحوه عملکرد (خطی) آنها بر روی فضاهای برداری. در فیزیک ، گروه های دروغ اغلب تقارن های یک سیستم فیزیکی را رمزگذاری می کنند. روشی که فرد برای کمک به تحلیل سیستم از این تقارن استفاده می کند اغلب از طریق تئوری بازنمایی است. به عنوان مثال ، معادله شرودینگر مستقل از زمان را در مکانیک کوانتوم در نظر بگیرید ،{\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}. فرض کنید سیستم مورد نظر دارای گروه چرخشی SO (3) به عنوان یک تقارن است ، به این معنی که عملگر همیلتونین{\ کلاه {H}} با عملکرد SO (3) بر روی تابع موج رفت و آمد می کند \ psi . (یک مثال مهم برای چنین سیستمی ، اتم هیدروژن است .) این فرض لزوماً به معنای راه حل نیست\ psi توابع ثابت چرخشی هستند. بلکه این بدان معنی است که فضای راه حل برای{\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi} تحت چرخش ثابت است (برای هر مقدار ثابت ازE) بنابراین ، این فضا نمایشی از SO است (3). این بازنمایی ها طبقه بندی شده و طبقه بندی منجر به ساده سازی قابل توجه مسئله می شود ، اساساً یک معادله دیفرانسیل جزئی سه بعدی را به یک معادله دیفرانسیل معمولی یک بعدی تبدیل می کند.

مورد یک گروه دروغ جمع و جور متصل K (شامل مورد SO (3) که به آن اشاره شد) به ویژه قابل حل است. [19] در آن حالت ، هر نمایش محدود بعدی K به عنوان یک جمع مستقیم از نمایش های غیرقابل تقلیل تجزیه می شود. نمایندگی های غیرقابل تقلیل ، به نوبه خود ، توسط هرمان ویل طبقه بندی شد . طبقه بندی از نظر "بالاترین وزن" نمایندگی است. طبقه بندی ارتباط نزدیکی با طبقه بندی نمایش های جبر دروغ نیمه ساده دارد .

همچنین می توان نمایش های واحد (به طور کلی بی نهایت) از یک گروه Lie خودسرانه (نه لزوماً جمع و جور) را مطالعه کرد. به عنوان مثال ، می توان یک توصیف صریح نسبتاً ساده از نمایش های گروه SL (2 ، R) و نمایش های گروه Poincaré ارائه داد .

تاریخ اولیه [ ویرایش ]

طبق معتبرترین منبع در مورد تاریخ اولیه گروه های دروغ (هاوکینز ، ص 1) ، خود سوفوس لی زمستان 1873-1874 را به عنوان تاریخ تولد نظریه خود درباره گروه های مداوم در نظر گرفت. با این حال ، هاوکینز معتقد است که این "فعالیت تحقیقاتی عجیب دروغ در طی دوره چهار ساله از پاییز 1869 تا پاییز 1873" بوده است که منجر به ایجاد نظریه شده است ( همان ). برخی از ایده های اولیه دروغ در همکاری نزدیک با فلیکس کلاین توسعه یافت . دروغ هر روز از اکتبر 1869 تا 1872 با کلاین دیدار می کرد: از اواخر اکتبر 1869 تا پایان فوریه 1870 در برلین و در دو سال بعد در پاریس ، گوتینگن و ارلانگن ( همان)، پ. 2) دروغ اظهار داشت که همه نتایج اصلی تا سال 1884 بدست آمده است. اما در طی دهه 1870 همه مقالات وی (به استثنای اولین یادداشت) در مجلات نروژی منتشر شد که مانع شناخت کار در سایر نقاط اروپا شد ( همان ، ص 76) ) در سال 1884 یک ریاضیدان جوان آلمانی ، فریدریش انگل ، با لی در یک رساله سیستماتیک کار کرد تا نظریه خود را درباره گروه های مداوم افشا کند. از این تلاش سه جلد نظریه Transformationsgruppen ، که در 1888 ، 1890 و 1893 منتشر شد ، حاصل شد. اصطلاح groupes de Lie برای اولین بار در سال 1893 در پایان نامه دانشجو دروغ ، آرتور ترسه ، به زبان فرانسه ظاهر شد. [20]

ایده های دروغ در انزوا از بقیه ریاضیات نبود. در حقیقت ، علاقه او به هندسه معادلات دیفرانسیل برای اولین بار توسط کارل گوستاو ژاکوبی ، در مورد نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی از مرتبه اول و معادلات مکانیک کلاسیک ایجاد شد . بیشتر کارهای ژاکوبی پس از مرگ در دهه 1860 منتشر شد ، که علاقه زیادی به فرانسه و آلمان ایجاد کرد (هاوکینز ، ص 43). رفع اشکال دروغ این بود که نظریه ای از تقارن معادلات دیفرانسیل را توسعه دهد که آنچه را که Évariste Galois برای آنها انجام می دهد ، به دست آورد.برای معادلات جبری انجام داده بود: یعنی طبقه بندی آنها از نظر تئوری گروه. دروغ و سایر ریاضیدانان نشان دادند که مهمترین معادلات توابع خاص و چند جمله ای های متعامد از تقارن های نظری گروهی ناشی می شود. در کارهای اولیه Lie ، ایده ساخت نظریه گروههای مداوم ، برای تکمیل نظریه گروههای گسسته که در نظریه اشکال مدولار در دستان فلیکس کلاین و هنری پوانکره ساخته شده بود ، بود . اولین کاربردی که دروغ در ذهن داشت ، تئوری معادلات دیفرانسیل بود . در مدل نظریه گالوا ومعادلات چند جمله ای ، مفهوم محرک یک تئوری است که می تواند با مطالعه تقارن ، کل منطقه معادلات دیفرانسیل معمولی را متحد کند . با این حال ، این امید که تئوری دروغ کل حوزه معادلات دیفرانسیل معمولی را متحد کند ، برآورده نشد. روش های تقارن برای ODE ها همچنان مورد مطالعه قرار می گیرند ، اما بر موضوع مسلط نیستند. یک نظریه افتراقی گالوا وجود دارد ، اما توسط دیگران ، مانند پیکارد و وسیو ، توسعه یافته است و نظریه کوادراتورها ، انتگرال های نامعین لازم برای بیان راه حل ها را ارائه می دهد.

انگیزه اضافی برای در نظر گرفتن گروههای مداوم از ایده های برنهارد ریمان ، در مورد پایه های هندسه ، و توسعه بیشتر آنها در دست کلاین حاصل شد. بنابراین سه مضمون اصلی در ریاضیات قرن نوزدهم توسط لی در ایجاد نظریه جدید خود ترکیب شد: ایده تقارن ، که گالوا از طریق مفهوم جبری یک گروه مثال زد . نظریه هندسی و راه حلهای صریح معادلات دیفرانسیل مکانیک ، تهیه شده توسط پواسون و جاکوبی. و درک جدید هندسه که در آثار Plücker ، Möbius ، Grassmann پدیدار شد و دیگران ، و در بینش انقلابی ریمان در مورد این موضوع به اوج خود رسید.

اگرچه امروزه سوفوس دروغ به حق به عنوان خالق نظریه گروههای مداوم شناخته می شود ، اما گام بزرگی در پیشرفت نظریه ساختار آنها ، که تأثیر زیادی در توسعه بعدی ریاضیات دارد ، توسط ویلهلم کشتار ، که در سال 1888 اولین مقاله از یک مجموعه تحت عنوان Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( ترکیب گروه های تحول محدود محدود پیوسته ) را منتشر کرد (هاوکینز ، ص 100). کار کشتار ، بعداً توسط الی کارتان اصلاح و تعمیم یافت ، منجر به طبقه بندی جبرهای نیمه ساده دروغ ، نظریه فضاهای متقارن کارتان و هرمان ویل شد.شرح نمایندگی گروه دروغ جمع و جور و نیمه ساده با استفاده از بالاترین وزن .

در سال 1900 دیوید هیلبرت با مسئله پنجم خود که در کنگره بین المللی ریاضی دانان در پاریس ارائه شد ، نظریه پردازان دروغ را به چالش کشید .

ویل دوره ابتدایی توسعه نظریه گروه های دروغ را به ثمر رساند ، زیرا او نه تنها نمایش های غیرقابل تقلیل گروه های دروغ نیمه نیمه را طبقه بندی کرد و تئوری گروه ها را با مکانیک کوانتوم به هم پیوند داد ، بلکه نظریه دروغ را نیز بر پایه های محکم تری قرار داد تمایز بین گروههای بی نهایت کوچک دروغ (به عنوان مثال ، جبرهای دروغ) و گروههای دروغ را به وضوح اعلام کرد و تحقیقات در مورد توپولوژی گروه های دروغ را آغاز کرد. [21] نظریه گروه های دروغ به طور سیستماتیک در زبان ریاضی مدرن در یک مونوگراف توسط کلود چوالی دوباره کار شد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group