همومورفیسم و ​​ایزومورفیسم [ ویرایش ]

اگر G و H گروه های دروغ هستند ، یک همگونی گروه دروغ f  : G → H یک تجانس گروه صاف است . در مورد گروه های پیچیده دروغ ، چنین همگونی لازم است که یک نقشه هولو فرم باشد. با این حال ، این الزامات کمی سختگیرانه است. هر همگونی متداول بین گروه های دروغ واقعی ، تحلیلی (واقعی) است . [10]

ترکیب دو همجنس گویی دروغ باز همجنس گرائی است و کلاس همه گروه های دروغگرا ، همراه با این شکل گیری ها ، یک گروه را تشکیل می دهند . علاوه بر این ، هر همگونی گروه دروغ باعث الگوبرداری بین جبرهای دروغ مربوطه می شود. اجازه دهید\ phi \ روده بزرگ G \ به H یک همگونی گروه دروغ باشید و بگذارید\ phi _ {*}مشتق آن در هویت باشد. اگر جبرهای دروغ G و H را با فضای مماس آنها در عناصر هویت شناسایی کنیم\ phi _ {*} یک نقشه بین جبرهای دروغ مربوطه است:

\ phi _ {*} \ colon {\ mathfrak {g}} \ به {\ mathfrak {h}}

می توان این را نشان داد  \ phi _ {*}در واقع یک همجنس گویی جبر دروغ است (به این معنی که این یک نقشه خطی است که براکت دروغ را حفظ می کند ). در زبان تئوری دسته بندی ، پس ما یک عامل متغیر متغیر از گروه گروه های دروغ به دسته جبرهای دروغ داریم که یک گروه دروغ را به جبر دروغ و یک همگانی گروه دروغ را به مشتق آن در هویت می فرستد.

در صورت وجود یک همجنس گویی ذهنی به دو گروه دروغ ، ایزومورف گفته می شود که عکس آن نیز یکسان سازی گروه دروغ باشد. به طور معادل ، این یک دیفرومورفیسم است که یک هومومورفیسم گروهی نیز است.

ایزومورفیسم گروه دروغ در مقابل دروغ دروغ [ ویرایش ]

گروه های دروغ ایزومورفیک لزوماً جبرهای دروغ ایزومورفیک دارند. پس منطقی است که بپرسیم کلاسهای ایزومورفیسم گروه های دروغ با کلاس های هم شکل مضاعف جبرهای دروغ چگونه ارتباط دارند.

اولین نتیجه در این جهت قضیه سوم دروغ است که بیان می کند هر جبر دروغ واقعی و محدود ، جبر دروغ برخی از گروه های دروغ (خطی) است. یکی از راه های اثبات قضیه سوم دروغ ، استفاده از قضیه آدو است که می گوید هر جبر دروغ واقعی بعدی محدود با جبر دروغ ماتریس یک شکل نیست. در همین حال ، برای هر جبر دروغ ماتریس بعدی محدود ، یک گروه خطی (گروه دروغ ماتریس) با این جبر به عنوان جبر دروغ وجود دارد. [11]

از طرف دیگر ، گروه های دروغ با جبرهای دروغی همسان شکل نیازی به همسان نیستند. علاوه بر این ، حتی اگر فرض کنیم گروه ها به هم متصل شده باشند ، این نتیجه درست باقی می ماند. به بیان دیگر ، ساختار جهانی یک گروه دروغ توسط جبر دروغ آن تعیین نمی شود. برای مثال ، اگر Z زیرگروه گسسته ای از مرکز G باشد ، G و G / Z جبر Lie دارند ( برای مثال به جدول گروه های Lie مراجعه کنید). نمونه ای از اهمیت در فیزیک گروه های SU (2) و SO (3) است . این دو گروه دارای جبرهای Lie هم شکل هستند ، [12]اما گروهها خودشان یکدست نیستند ، زیرا SU (2) به سادگی متصل است اما SO (3) متصل نیست. [13]

از طرف دیگر ، اگر ما نیاز داشته باشیم که گروه Lie به سادگی به هم متصل شود ، ساختار جهانی توسط جبر Lie آن تعیین می شود: دو گروه Lie متصل به سادگی با جبرهای Lie غیر هم شکل ، غیر همسان هستند. [14] (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد گروه های دروغ به سادگی به زیر بخش بعدی مراجعه کنید.) با توجه به قضیه سوم دروغ ، بنابراین ممکن است بگوییم که بین کلاسهای هم انحراف از جبرهای دروغ واقعی بعدی محدود و یک مکالمه یک به یک وجود دارد. کلاسهای ایزومورفیسم گروههای دروغی که به سادگی به هم متصل شده اند.

به سادگی گروه های دروغ را به هم متصل کنید [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: گروه دروغ - مکاتبات جبر دروغ و گروه های بنیادی § گروه های دروغ

یک گروه دروغ Gگفته می شود که اگر هر حلقه وارد شود به سادگی متصل می شودG می تواند به طور مداوم به یک نقطه در کوچک شود G. این مفهوم به دلیل نتیجه زیر مهم است که به عنوان یک فرضیه اتصال ساده دارد:

قضیه [15] : فرض کنیدG و ح گروه های دروغ با جبر دروغ هستند {\ mathfrak {g}} و {\ mathfrak {h}} و آن {\ displaystyle f: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}یک تجانس جبر دروغ است. اگرG به سادگی متصل است ، پس یک همگونی منحصر به فرد در گروه دروغ وجود دارد {\ displaystyle \ phi: G \ rightarrow H} به طوری که {\ displaystyle \ phi _ {*} = f}، جایی که {\ displaystyle \ phi _ {*}} دیفرانسیل از است \ فی  در هویت

قضیه سوم دروغ می گوید که هر جبر دروغ واقعی بعدی محدود ، جبر دروغ یک گروه دروغ است. از قضیه سوم دروغ و نتیجه قبلی نتیجه می شود که هر جبر دروغ واقعی بعدی محدود ، جبر دروغ است از یک گروه دروغ منحصر به فرد متصل به دروغ.

یک نمونه از یک گروه متصل به سادگی ، گروه واحد ویژه SU (2) است که به عنوان یک منیفولد 3 کره است. SO چرخش گروه (3) ، از سوی دیگر، به سادگی متصل نیست. (به توپولوژی SO (3 مراجعه کنید .)) عدم اتصال SO (3) به سادگی با تمایز چرخش عدد صحیح و چرخش نیم عدد صحیح در مکانیک کوانتوم ارتباط دارد. مثالهای دیگر از گروههای دروغگویی متصل به سادگی شامل گروه واحد ویژه SU (n) ، گروه چرخش (پوشش دوگانه گروه چرخش) چرخش (n) برایn \ geq 3، و گروه متقارن فشرده Sp (n) . [16]

روش های تعیین اینکه آیا یک گروه دروغ به سادگی متصل است یا خیر ، در مقاله گروه های اساسی گروه های دروغ بحث شده است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group