​

تعاریف و مثالها [ ویرایش ]

یک گروه لی حقیقی به گروهی گفته می شود که یک منیفولد صاف حقیقی بعدی نیز باشد ، که در آن عملیات ضرب و وارونگی گروه ، نقشه های صاف هستند . صاف بودن ضرب گروه

\ mu: G \ بار G \ به G \ quad \ mu (x ، y) = xy

به این معنی است که μ یک نقشه صاف از منیفولد ضرب G × G به G است . این دو مورد را می توان با نیاز واحدی که نقشه برداری است ترکیب کرد

(x ، y) \ mapsto x ^ {- 1} سال

یک نقشه صاف از منیفولد ضرب به G باشد.

اولین نمونه ها [ ویرایش ]

\ operatorname {GL} (2 ، \ mathbf {R}) = \ چپ \ {A = {\ start {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}: \ det A = ad-bc \ neq 0 \ right \}

این یک گروه لی حقیقی غیر کامپکت چهار بعدی است . این یک زیر مجموعه باز است{\ mathbb R} ^ {4}. این گروه قطع است . این دو م مولفه ها متصل به هم مربوط به مقادیر مثبت و منفی ماده تعیین کننده است .

  • چرخش ماتریس فرم زیر گروه از GL (2، R ) ، مشخص شده توسط SO (2، R ) . به طور خاص، فشرده لی گروه متصل یک بعدی است که: این یک لی گروه در حق خود است همانریخت به دایره . با استفاده از زاویه چرخش\ varphi به عنوان یک پارامتر ، این گروه را می توان به صورت زیر پارامتر کرد :

\ operatorname {SO} (2 ، \ mathbf {R}) = \ چپ \ {{\ \ شروع {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix }}: \ varphi \ in \ mathbf {R} / 2 \ pi \ mathbf {Z} \ right \}.

افزودن زاویه ها مربوط به ضرب عناصر SO (2 ، R ) و گرفتن زاویه مخالف مربوط به وارونگی است. بنابراین هر دو ضرب و وارونگی نقشه های متمایزی هستند.

  • گروه آفین به از یک بعد یک ماتریس گروه لی دو بعدی است، متشکل از2 بار 2 ماتریس های مثلثی فوقانی حقیقی ، با اولین ورودی مورب مثبت و ورودی مورب دوم 1. بنابراین ، گروه از ماتریس های فرم تشکیل شده است

{\ displaystyle A = \ left ({\ start {array} {cc} a & b \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) ، \ quad a> 0، \، b \ in \ mathbb {R}.}

غیر نمونه [ ویرایش ]

اکنون ما نمونه ای از گروه را با تعداد غیرقابل شماری از عناصر ارائه می دهیم که تحت یک توپولوژی خاص گروه Lie نیستند. گروهی که توسط

{\ displaystyle H = \ چپ \ {\ چپ. \ چپ ({\ start {matrix} e ^ {2 \ pi i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {2 \ pi ia \ theta} \ end {matrix}} \ راست) \ راست | \ تتا \ در \ mathbb {R} \ راست \} \ زیرمجموعه \ mathbb {T} ^ {2} = \ چپ \ {\ چپ. \ چپ ({\ start {matrix} e ^ { 2 \ pi i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {2 \ pi i \ phi} \ end {matrix}} \ right) \ right | \ theta، \ phi \ in \ mathbb {R} \ right \}،}

با {\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}یک عدد غیر منطقی ثابت ، یک زیر گروه از توروس است {\ mathbb T} ^ {2}اگر توپولوژی زیر فضایی داده شود ، این یک گروه لی نیست . [1] اگر هر محله کوچکی را انتخاب کنیمتو از یک نقطه ساعت که در ح، به عنوان مثال ، بخش از ح که در توقطع شده است گروهحبه طور مکرر در اطراف توروس می چرخد ​​بدون اینکه به نقطه قبلی مارپیچ برسد و بنابراین یک زیر گروه متراکم تشکیل می دهد{\ mathbb T} ^ {2}.

بخشی از گروه ح داخل {\ mathbb T} ^ {2}. محله های کوچک عنصرh \ در H در توپولوژی زیر مجموعه قطع می شوندح

گروه ح با این وجود می توان توپولوژی متفاوتی داد که در آن فاصله بین دو نقطه وجود داشته باشد {\ displaystyle h_ {1} ، h_ {2} \ in H}به عنوان طول کوتاهترین مسیر در گروه تعریف می شود ح پیوستن h_ {1} به h_ {2}. در این توپولوژی ،ح با شناسایی هر عنصر با عدد به صورت همانریخت با خط حقیقی مشخص می شود \ تتا  در تعریف ح. با این توپولوژی ،ح فقط گروهی از اعداد حقیقی است که جمع می شوند و بنابراین یک گروه Lie است.

گروهحیک نمونه از " زیرگروه لی " از یک گروه لی است که بسته نشده است. بحث زیر زیر گروه های لی را در بخش مفاهیم اساسی مشاهده کنید.

 

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

​