در ریاضیات ، یک رابطه هم ارز جزئی (که اغلب به اختصار PER خلاصه می شود ، در ادبیات قدیمی نیز رابطه معادل محدود نامیده می شود )R روی یک مجموعه ایکسیک رابطه باینری است که متقارن و انتقالی است . به عبارت دیگر ، این برای همه مناسب است

a ، b ، c \ در X که:

  1. اگرaRb، سپس سینه بند (تقارن)
  2. اگر aRb و bRc، سپس aRc (انتقال پذیری)

اگر Rهمچنین بازتابی ، پس از آنRیک رابطه هم ارزی است .

 

فهرست

ویژگی ها و برنامه ها [ ویرایش ]

در نظریه مجموعه ها ، یک رابطهR روی یک مجموعه

ایکس PER

است اگر ، و فقط اگر ، R یک رابطه هم ارز در زیر مجموعه است

Y = \ {x \ در X | x \ ، R \ ، x \} \ subseteq X. با ساخت و ساز ،R بازتابنده استبله و بنابراین یک رابطه معادل در 

بله. در حقیقت،R می تواند فقط در عناصر نگه دارد بله: اگرxRy، سپس yRx با تقارن ، بنابراین xRx و yYy با انتقال ، یعنی {\ displaystyle x، y \ in Y}. با این حال ، مجموعه ای داده شده استایکس و یک زیر مجموعهY \ subseteq X، یک رابطه هم ارز دربله لازم نیست PER روشن باشید ایکس؛ به عنوان مثال ، با در نظر گرفتن مجموعه

{\ displaystyle E = \ {a، b، c، d \}}، رابطه بیش از E با مجموعه مشخص می شود {\ displaystyle R = \ {a، b، c \} ^ {2} \ cup \ {(d، a) \}} یک رابطه معادل در است \ {a ، b ، c \} اما PER روشن نیست Eاز آنجا که نه متقارن است [یادداشت 1] و نه انتقالی [یادداشت 2] درE.

هر رابطه هم ارز جزئی ، یک رابطه عملکردی است ، اما عکس این مسئله برقرار نیست.

هر رابطه معادل جزئی یک رابطه اقلیدسی درست است . برعکس این صدق نمی کند: به عنوان مثال ، xRy در اعداد طبیعی ، تعریف شده با 0 ≤ x ≤ y +1 ≤ 2 ، درست اقلیدسی است ، اما نه متقارن است (از آنجا که به عنوان مثال 2 R 1 ، اما نه 1 R 2) و نه انتقالی (از آنجا که به عنوان مثال 2 R 1 و 1 R 0 ، اما نه 2 R 0). به همین ترتیب ، هر رابطه معادل بخشی یک رابطه اقلیدسی چپ است ، اما برعکس نیست. هر رابطه معادل جزئی شبه انعکاسی است ، [1] در نتیجه اقلیدسی بودن.

در تنظیمات نظریه غیر مجموعه [ ویرایش ]

در تئوری نوع ، ریاضیات سازنده و کاربردهای آنها در علوم رایانه ، ساخت آنالوگ زیر مجموعه ها اغلب مشکل ساز است [2] - بنابراین در این زمینه ها PER بیشتر استفاده می شود ، به ویژه برای تعریف مجموعه های کوچک ، که بعضی اوقات به آنها مجموعه های جزئی گفته می شود. تشکیل یک مجموعه مقدماتی جزئی از یک نوع و یک PER مشابه تشکیل زیرمجموعه ها و ضریب ها در ریاضیات نظری مجموعه ای کلاسیک است.

مفهوم جبری همخوانی را می توان به معادلات جزئی نیز تعمیم داد ، و مفهوم زیر همرنگی ، یعنی یک رابطه همجنس که متقارن و انتقالی است ، اما لزوماً انعکاسی نیست ، حاصل می شود. [3]

مثالها [ ویرایش ]

یک مثال ساده از PER که رابطه هم ارزی نیست ، رابطه خالی است R = \ emptyset ، اگر ایکس خالی نیست

هسته توابع جزئی [ ویرایش ]

اگر fیک تابع جزئی روی یک مجموعه استآ، سپس رابطه\ تقریبا  تعریف شده بوسیله یx \ تقریبا y اگر f در تعریف شده است

ایکسf در تعریف شده است yf (x) = f (y)

یک رابطه هم ارزی جزئی است ، زیرا کاملاً متقارن و انتقالی است.

اگر f بنابراین بر روی برخی از عناصر تعریف نشده است \ تقریبا یک رابطه هم ارزی نیست. از آنجا که اگر بازتابنده نیستf (x) پس تعریف نشده است x \ not \ تقریبا x - در واقع ، برای چنین ایکس وجود ندارد y \ در A به طوری که x \ تقریبا y. بلافاصله نتیجه می شود که بزرگترین زیرمجموعه ازآ که در آن \ تقریبا  یک رابطه معادل است دقیقاً زیرمجموعه ای است که در آن قرار دارد f تعریف شده است.

توابع مربوط به روابط معادل سازی [ ویرایش ]

بگذارید X و Y مجموعه های مجهز به روابط هم ارزی (یا PER) باشند، \ تقریبی _ {X} ، \ تقریبی _ {Y}. برایf ، g: X \ به Y، تعريف كردن f \ تقریبا g به معنی:

\ forall x_ {0} \؛ x_ {1} ، \ quad x_ {0} \ تقریبی _ {X} x_ {1} \ Rightarrow f (x_ {0}) \ تقریبی _ {Y} g (x_ {1} )

سپس f \ تقریبی fبه این معنی است که f یک عملکرد کاملاً مشخص از ضریب ها را القا می کندX / \ تقریبی _ {X} \؛ \ به \؛ Y / \ تقریبی _ {Y}. بنابراین ، \ تقریبا ایده تعریف تعریف شده بر روی ضریب ها و دو تابع القا کننده عملکرد یکسان را در ضریب گرفته می شود.

برابری مقادیر نقطه شناور IEEE [ ویرایش ]

استاندارد IEEE 754: 2008 شناور نقطه "EQ" را برای مقادیر نقطه شناور تعریف می کند. این محمول متقارن و انتقالی است ، اما به دلیل وجود مقادیر NaN که برای خود EQ نیستند ، بازتابنده نیست .

یادداشت ها [ ویرایش ]

  1. {\ displaystyle dRa}، اما نه {\ displaystyle aRd}
  2. {\ displaystyle dRa} و{\ displaystyle aRb}، اما نه{\ displaystyle dRb}

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_equivalence_relation