در جبر خطی ، در خارج قسمت یک فضای برداری V توسط فضا N یک فضای برداری به دست آمده توسط "سقوط" است N به صفر است. فضای بدست آمده را فضای ضریب می نامند و V / N نشان داده می شود ( V mod N یا V را با N بخوانید ).

 

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

به طور رسمی ، ساخت و ساز به شرح زیر است ( Halmos 1974 ، §21-22). بگذارید V یک فضای بردار بیش از یک زمینه K باشد ، و N یک فضای خالی از V باشد. ما با بیان اینکه x ~ y اگر x  -  y ∈ N باشد ، رابطه معادل ~ را در V تعریف می کنیم . به این معنی که x می تواند با y مرتبط باشد اگر بتوان یکی را از دیگری با افزودن عنصری از N بدست آورد . از این تعریف می توان نتیجه گرفت که هر عنصر Nمربوط به بردار صفر است. به طور دقیق تر ، همه بردارها در N به طبقه معادلات بردار صفر ترسیم می شوند.

کلاس همارزی (و یا در این مورد، هممجموعهها ) از X اغلب نشان داده می شود

[ x ] = x + N

از آنجا که توسط آن داده شده است

[ x ] = { x + n  : n ∈ N }.

فضای ضریب V / N سپس به صورت V / defined تعریف می شود ، مجموعه ای از همه کلاسهای هم ارزی بیش از V با. ضرب و جمع اسکالر در کلاسهای معادل با تعریف می شوند

  • α [ x ] = [α x ] برای همه α ∈ K ، و

  • [ x ] + [ y ] = [ x + y ].

بررسی دقیق بودن این عملیات دشوار نیست (یعنی به انتخاب نماینده بستگی ندارد). این عملیات ، فضای فاکتور V / N را به فضای بردار بیش از K تبدیل می کند و N کلاس صفر است ، [0].

نقشه ای که با v  ∈  V طبقه معادل سازی [ v ] مرتبط است به عنوان نقشه ضریب شناخته می شود .

مثالها [ ویرایش ]

بگذارید X  =  R 2 صفحه استاندارد دکارتی باشد و Y یک خط از مبدا در X باشد. سپس فضای ضریب X / Y را می توان با فضای تمام خطوط موجود در X که با Y موازی هستند ، شناسایی کرد . به این معنی است که ، عناصر مجموعه X / Y خطوطی در X به موازات Y هستند. توجه داشته باشید که نقاط در امتداد هر یک از این خطها رابطه هم ارزی را برآورده می کنند زیرا بردارهای اختلاف آنها به Y تعلق دارند. این به یک روش تجسم فضاهای ضریب به صورت هندسی می دهد. (با پارامتر سازی مجدد این خطوط ، فضای ضریب می تواند به طور متعارف به عنوان فضای تمام نقاط در امتداد یک خط از طریق مبدا نشان داده شود که با Y موازی نیست. به همین ترتیب ، فضای ضریب R 3 توسط یک خط از طریق مبدا می تواند مجدداً به عنوان مجموعه ای از همه خطوط هم موازی نشان داده می شود ، یا اینکه به عنوان فضای بردار متشکل از صفحه ای که فقط خط را از ابتدا قطع می کند ، نشان داده می شود.)

مثال دیگر خارج قسمت است R N توسط فضا میرسد توسط اولین متر بردارهای پایه استاندارد. فضای R n از همه n- مجموعه های اعداد واقعی تشکیل شده است ( x 1 ،… ، x n ). فضا، مشخص با R متر ، عبارت است از تمام N tuples به طوری که آخرین نانومتر نوشته صفر: ( X 1 ، ...، X متر ، 0،0، ...، 0). دو بردار از R n در یک مدول کلاس همخوانی در فضای مشابه هستند اگر و فقط اگر در آخرین n یکسان باشند- مختصات m . فضای خارج قسمت R N / R متر است ریخت به R N - متر در شیوه ای آشکار است.

به طور کلی ، اگر V یک جمع مستقیم (داخلی) از زیر فضاهای U و W باشد ،

V = U \ oplus W

پس فضای فضای مجازی V / U به طور طبیعی با W یکسان نیست ( Halmos 1974 ، قضیه 22.1).

یک مثال مهم از یک فضای ضریب عملکردی ، یک فضای L p است .

خصوصیات [ ویرایش ]

یک اپی مورفیسم طبیعی از V به فضای فاکتور V / U وجود دارد که با ارسال x به کلاس هم ارزی آن [ x ] داده می شود. هسته (یا nullspace ) این epimorphism فضا است U . این رابطه به طور دقیق با توالی دقیق کوتاه خلاصه می شود

0 \ به U \ به V \ به V / U \ به 0. \ ،

اگر U یک زیرفضا است V از بعد از V / U نامیده می شود codimension از U در V . از آنجا که یک اساس V ممکن است از اساس ساخته از U و اساس B از V / U با اضافه کردن یک نماینده از هر عنصر از B به ، بعد از V مجموع ابعاد است U و V / U . اگر V باشداز بعد محدود ، نتیجه می شود که همزیستی U در V تفاوت بین ابعاد V و U است ( Halmos 1974 ، قضیه 22.2):

\ mathrm {codim} (U) = \ dim (V / U) = \ dim (V) - \ dim (U).

بگذارید T  : V → W یک عملگر خطی باشد . هسته T ، نشان داده شده ker ( T ) ، مجموعه تمام x ∈ V است به طوری که Tx = 0. هسته یک زیر فضای V است . اولین قضیه ریخت جبر خطی می گوید که فضای خارج قسمت V / KER ( T ) ریخت به تصویر است V در W . نتیجه فوری ، برای فضاهای بعدی محدود ، قضیه بی اعتبار بودن درجه است : بعد Vکه به ابعاد هسته (برابر است بطلان از T ) به علاوه بعد از تصویر است ( رتبه از T ).

cokernel از یک عملگر خطی T  : V → W تعریف می شود فضای خارج قسمت W / IM ( T ).

ضریب فضای Banach توسط یک زیر فضایی [ ویرایش ]

اگر X یک فضای باناخ و M است بسته فضا از X ، سپس خارج قسمت X / M است دوباره یک فضای باناخ. فضای ضریب در حال حاضر با ساخت قسمت قبلی با یک ساختار فضای بردار مجهز شده است. ما یک هنجار را در X / M توسط تعریف می کنیم

\ | [x] \ | _ {X / M} = \ inf _ {m \ in M} \ | xm \ | _ {X}.

هنگامی که X کامل است، پس از آن فضای خارج قسمت X / M است کامل با توجه به هنجار، و در نتیجه یک فضای باناخ. [ نیاز به منبع ]

مثالها [ ویرایش ]

بگذارید C [0/1] فضای Banach از توابع پیوسته با ارزش واقعی را در فاصله [0،1] با هنجار sup نشان دهد . زیرفضا تمام توابع f ∈ C [0،1] را با f (0) = 0 در M نشان دهید . سپس کلاس هم ارزی برخی از تابع g با مقدار آن در 0 تعیین می شود ، و فضای ضریب C [0،1] /  M برابر R است .

اگر X یک فضای هیلبرت ، سپس فضا خارج قسمت X / M ریخت به است مکمل متعامد از M .

تعمیم به فضاهای محدب محلی [ ویرایش ]

ضریب فضای محدب موضعی توسط یک فضای خالی بسته دوباره به صورت محلی محدب است ( Dieudonné 1970 ، 12.14.8). در واقع ، فرض کنید X به صورت موضعی محدب است به طوری که توپولوژی X با خانواده ای از ماسوره ها تولید می شود { p α  | α ∈  A } که A یک مجموعه شاخص است. اجازه دهید M یک فضای خالی بسته باشد ، و seminorms q α را در X / M توسط تعریف کنید

{\ displaystyle q _ {\ alpha} ([x]) = \ inf _ {v \ in [x]} p _ {\ alpha} (v).}

سپس X / M یک فضای محدب محلی است و توپولوژی روی آن توپولوژی ضریب است .

علاوه بر این ، X قابل اندازه گیری است ، پس X / M نیز قابل اندازه گیری است . اگر X یک فضای Fréchet است ، X / M نیز چنین است ( Dieudonné 1970 ، 12.11.3).

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع 

https://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra)