عملکرد [ ویرایش ]

فرض کنید V و W یک جفت فضای برداری هستند و f  : V → W یک نقشه خطی است . سپس ، با مالکیت جهانی ، یک همگونی منحصر به فرد از جبرهای درجه بندی شده وجود دارد

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (f): {\ textstyle \ bigwedge} (V) \ rightarrow {\ textstyle \ bigwedge} (W)}

به طوری که

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (f) \ چپ | _ {{\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} (V)} \ راست. = f: V = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} ( V) \ rightarrow W = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} (W).}

به طور خاص ، Λ ( f ) درجه همگن را حفظ می کند. اجزای درجه K از Λ ( f ) بر روی عناصر تجزیه شده توسط داده می شوند

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (f) (x_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge x_ {k}) = f (x_ {1}) \ wedge \ cdots \ wedge f (x_ {k}). }

اجازه دهید

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (f) = {\ textstyle \ bigwedge} (f) \ سمت چپ | _ {{\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V)} \ راست.: { \ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ rightarrow {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (W).}

اجزای تحول Λ K ( F ) نسبت به اساس V و W ماتریس است ک × K افراد زیر سن قانونی از F . به طور خاص ، اگر V = W و V بعد محدود n باشد ، Λ n ( f ) نگاشت یک فضای بردار یک بعدی Λ n V به خود است و بنابراین توسط یک اسکالر تعیین می شود : تعیین کننده f .

دقت [ ویرایش ]

اگر {\ displaystyle 0 \ به U \ به V \ به W \ به 0}یک توالی دقیق کوتاه از فضاهای برداری است ، پس

{\ displaystyle 0 \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {1} (U) \ wedge {\ textstyle \ bigwedge} (V) \ به {\ textstyle \ bigwedge} (V) \ به {\ textstyle \ bigwedge} ( W) \ به 0}

یک توالی دقیق از فضاهای برداری درجه بندی شده است ، [16] همانطور که هست

{\ displaystyle 0 \ به {\ textstyle \ bigwedge} (U) \ به {\ textstyle \ bigwedge} (V).}[17]

مبالغ مستقیم [ ویرایش ]

به طور خاص ، جبر خارجی یک مقدار مستقیم با محصول تنسور جبرهای خارجی ناهمسان است:

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} (V \ oplus W) \ Cong {\ textstyle \ bigwedge} (V) \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} (W).}

این یک شکل گیری درجه بندی شده است. یعنی

{\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V \ oplus W) \ Cong \ bigoplus _ {p + q = k} {\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} (V) \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} ^ {q} (W).}

کمی کلی تر ، اگر {\ displaystyle 0 \ به U \ به V \ به W \ به 0}یک توالی دقیق کوتاه از فضاهای برداری است ، سپس Λ k (V) یک فیلتراسیون دارد

{\ displaystyle 0 = F ^ {0} \ subseteq F ^ {1} \ subseteq \ cdots \ subseteq F ^ {k} \ subseteq F ^ {k + 1} = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V )}

با ضرایب

{\ displaystyle F ^ {p + 1} / F ^ {p} = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {kp} (U) \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} ^ {p} (W).}

به طور خاص ، اگر U 1 بعدی باشد ، پس

{\ displaystyle 0 \ به U \ otimes {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k-1} (W) \ به {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ به {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k } (W) \ تا 0}

دقیق است و اگر W 1 بعدی باشد پس

{\ displaystyle 0 \ به {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (U) \ به {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} (V) \ به {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k-1} (U ) \ اوقات W \ تا 0}

دقیق است [18]

جبر تنسور متناوب [ ویرایش ]

اگر K یک میدان مشخصه 0 باشد ، [19] در این صورت می توان جبر خارجی فضای بردار V را به طور متعارف با فضای خلفی بردار T ( V ) متشکل از سنسورهای ضد متقارن شناسایی کرد . به یاد بیاورید که جبر خارجی برای ایده آل من تولید شده توسط x ⊗ x ضریب T ( V ) است .

بگذارید T r ( V ) فضای تانسورهای همگن درجه r باشد. این امر توسط تانسورهای تجزیه پذیر صورت می گیرد

{\ displaystyle v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {r} ، \ quad v_ {i} \ in V.}

antisymmetrization (یا گاهی اوقات کج-symmetrization ) یک تانسور تجزیه تعریف شده توسط

{\ displaystyle \ operatorname {Alt} (v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {r}) = {\ frac {1} {r!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S} } _ {r}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) v _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes v _ {\ sigma (r)}}

جایی که مجموع از گروه متقارن جایگشت ها بر روی نمادها {1 ، ... ، r } گرفته می شود. این با خطی و همگن بودن به عملیاتی که با Alt مشخص می شود ، روی جبر کامل کششی T ( V ) گسترش می یابد. تصویر Alt (T ( V )) جبر تنسور متناوب است که A ( V ) را نشان می دهد. این یک زیر فضای بردار T ( V ) است و ساختار فضای بردار درجه بندی شده را از فضای T ( V ) به ارث می برد . این محصول دارای درجه بندی انجمنی است

\ widehat {\ otimes} تعریف شده بوسیله ی

{\ displaystyle t ~ {\ widehat {\ otimes}} s = \ operatorname {Alt} (t \ otimes s).}

اگرچه این محصول با محصول تنسور متفاوت است ، اما هسته Alt دقیقاً I ایده آل است (باز هم با فرض اینکه K دارای 0 مشخصه است) ، و یک ایزومورفیسم متعارف وجود دارد

{\ displaystyle A (V) \ Cong {\ textstyle \ bigwedge} (V).}

نشانه گذاری فهرست [ ویرایش ]

فرض کنید V دارای بعد محدود n باشد و مبنای e 1 ، ...، e n از V داده شود. سپس هر تنسور متناوب t ∈ A r ( V ) ⊂ T r ( V ) را می توان در علامت گذاری شاخص به عنوان نوشت

{\ displaystyle t = t ^ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {r}} \، {\ mathbf {e}} _ {i_ {1}} \ otimes {\ mathbf {e}} _ { i_ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes {\ mathbf {e}} _ {i_ {r}}،}

که در آن T من 1 ⋅⋅⋅ من تحقیق است به طور کامل پادمتقارن در شاخص آن است.

محصول خارجی دو تنور متناوب t و s از رتبه های r و p توسط داده می شود

{\ displaystyle t ~ {\ widehat {\ otimes}} ~ s = {\ frac {1} {(r + p)!}} \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {r + p}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) t ^ {i _ {\ sigma (1)} \ cdots i _ {\ sigma (r)}} s ^ {i _ {\ sigma (r + 1)} \ cdots i_ {\ sigma (r + p)}} {\ mathbf {e}} _ {i_ {1}} \ otimes {\ mathbf {e}} _ {i_ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes {\ mathbf { e}} _ {i_ {r + p}}.}

اجزای سازنده این تنسور دقیقاً قسمت کجی اجزای محصول سنسور s ، t است که با براکت های مربعی بر روی شاخص ها مشخص می شوند:

{\ displaystyle (t ~ {\ widehat {\ otimes}} ~ s) ^ {i_ {1} \ cdots i_ {r + p}} = t ^ {[i_ {1} \ cdots i_ {r}} s ^ {i_ {r + 1} \ cdots i_ {r + p}]}.}

محصول داخلی نیز ممکن است در علامت گذاری به شرح زیر توصیف شود. اجازه دهید{\ displaystyle t = t ^ {i_ {0} i_ {1} \ cdots i_ {r-1}}}یک تانسور ضد متقارن از درجه r باشد. سپس ، برای α ∈ V ∗ ، i α t یک تنسور متناوب از درجه r است - 1 ، داده شده توسط

{\ displaystyle (i _ {\ alpha} t) ^ {i_ {1} \ cdots i_ {r-1}} = r \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ alpha _ {j} t ^ {ji_ {1} \ cdots i_ {r-1}}.}

که n بعد V است .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra