دوگانگی [ ویرایش ]

عملگرهای متناوب [ ویرایش ]

با توجه به دو فاصله برداری V و X و یک عدد طبیعی k ، یک عملگر متناوب از V k به X یک نقشه چند خطی است

{\ displaystyle f \ colon V ^ {k} \ به X}

به طوری که هر زمان که V 1 ، ...، V K هستند وابستگی خطی بردارها در V ، پس از آن

{\ displaystyle f (v_ {1} ، \ ldots ، v_ {k}) = 0.}

نقشه

{\ displaystyle w \ colon V ^ {k} \ به {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} (V)}

که با بردارهای k از V ارتباط خارجی دارد ، یعنی k- vector مربوطه آنها نیز متناوب است. در واقع ، این نقشه "عمومی ترین" عملگر متناوب تعریف شده در V k است . با توجه به هر اپراتور متناوب f  : V k → X ، یک نقشه خطی منحصر به فرد φ وجود دارد  : Λ k ( V ) → X با f = φ ∘ w . این ویژگی جهانی ، فضای Λ k ( V) را مشخص می کند) و می تواند به عنوان تعریف آن عمل کند.

اشکال چند خطی متناوب [ ویرایش ]

تفسیر هندسی برای کالا بیرونی از N 1-فرم ( ε ، η ، ω ) برای به دست آوردن N دندانی (از "مش" هماهنگ سطوح ، در اینجا هواپیما)، [11] برای N = 1، 2، 3 . "گردش ها" جهت گیری را نشان می دهد . [12] [13]

بحث فوق تخصصی در مواردی است که X = K ، قسمت پایه. در این حالت یک تابع چند خطی متناوب است

f: V ^ k \ به K \

فرم چند خطی متناوب نامیده می شود . مجموعه تمام اشکال چند خطی متناوب یک فضای بردار است ، زیرا مجموع دو نقشه از این دست یا محصول چنین نقشه ای با یک اسکالر ، دوباره متناوب است. توسط ملک جهانی از قدرت بیرونی، فضای متناوب اشکال از درجه K در V است به طور طبیعی با ریخت فضای برداری دوگانه (Λ K V ) * . اگر V متناهی باشد ، دومی به طور طبیعی با Λ k ( V ∗ ) ناهمسان است . به ویژه، اگر V است Nبعدی، بعد از فضای از نقشه متناوب از V K به K است ضریب دو جمله ای{\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}.}

تحت این شناسایی ، محصول خارجی شکل بتنی به خود می گیرد: یک نقشه ضد متقارن جدید از دو نقشه داده شده تولید می کند. فرض کنید ω  : V k → K و η  : V m → K دو نقشه ضد متقارن هستند. همانطور که در مورد محصولات کششی نقشه های چند خطی ، تعداد متغیرهای محصول خارجی آنها مجموع تعداد متغیرهای آنها است. اینطور تعریف می شود: [14]

{\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta = {\ frac {(k + m)!} {k! \، m!}} \ operatorname {Alt} (\ omega \ otimes \ eta)،}

که در آن جایگزین Alt یک نقشه چند خطی به عنوان میانگین مقادیر تنظیم شده با علامت در کل جایگزین های متغیرهای آن تعریف شده است:

\ operatorname {Alt} (\ امگا) (x_1 ، \ ldots ، x_k) = \ frac {1} {k!} \ sum _ {\ sigma \ در S_k} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ ، \ امگا ( x _ {\ sigma (1)} ، \ ldots ، x _ {\ sigma (k)}).

این تعریف از محصول بیرونی است به خوبی تعریف شده حتی اگر درست K است ویژگی های محدود ، اگر یک نسخه معادل یک از موارد فوق که فاکتوریل و یا هر ثابت استفاده نمی نظر:

{\ omega \ wedge \ eta (x_1، \ ldots، x_ {k + m})} = \ sum _ {\ sigma \ in Sh_ {k، m}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \، \ امگا ( x _ {\ sigma (1)} ، \ ldots ، x _ {\ sigma (k)}) \ eta (x _ {\ sigma (k + 1)} ، \ ldots ، x _ {\ sigma (k + m)}) ،

که در آن در اینجا ش ک ، M⊂ S K + Mزیر مجموعه ای از است ( K ،M ) shuffles را : جایگشت σ از مجموعه {1، 2، ...، K + M} به طوری که σ (1) < σ (2 ) <... < σ ( k ) و σ ( k + 1) < σ ( k + 2) <... < σ ( k + m ) .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra