اندومورفیسم و ​​خود شکل گیری [ ویرایش ]

مقالات اصلی: اندومورفیسم و خود شکلی

یک تحول خطی f : V → V یک اندومورفیسم از V است . مجموعه تمام این اندومورفیسم های انتهایی ( V ) همراه با جمع ، ترکیب و ضرب مقیاسی همانطور که در بالا تعریف شد ، یک جبر انجمنی با عنصر هویت در زمینه K (و به ویژه یک حلقه ) تشکیل می دهد. عنصر هویت ضربی از این جبر است بر روی نقشه هویت : شناسه V → V .

روپوست از V است که همچنین ریخت یک نام های automorphism از V . ترکیب دو automorphisms است دوباره های automorphism، و مجموعه ای از تمام automorphisms از V اشکال گروه از گروه automorphism از V است که توسط امیرکبیر (مشخص V ) و یا GL ( V ). از آنجا که اتومورفیسم ها دقیقاً همان اندومورفیسم هایی هستند که تحت ترکیب معکوس دارند ، Aut ( V ) گروهی از واحدهای انتهای حلقه ( V ) است.

اگر V است محدود بعد N ، پس از آن پایان ( V ) است ریخت به جبر انجمنی از همه N × N ماتریس با ورودی در K . گروه automorphism از V است ریخت به گروه کلی خطی GL ( N ، K ) از همه N × N ماتریس وارون با ورودی در K .

هسته ، تصویر و قضیه بی اعتبار بودن درجه [ ویرایش ]

مقالات اصلی: هسته (عملگر خطی) ، تصویر (ریاضیات) و رتبه یک ماتریس

اگر F  : V → W خطی است، تعریف کنیم کرنل و تصویر و یا محدوده از F توسط

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ ker (f) & = \ {\ ، x \ در V: f (x) = 0 \ ، \} \\\ نام اپراتور {im} (f) & = \ {\ \ ، w \ در W: w = f (x) ، x \ در V \ ، \} \ پایان {تراز شده}}}

ker ( f ) یک زیر فضایی از V و im ( f ) یک زیر فضایی از W است . فرمول ابعاد زیر به عنوان قضیه بی اعتبار بودن درجه شناخته می شود :

{\ displaystyle \ dim (\ ker (f)) + \ dim (\ operatorname {im} (f)) = \ dim (V).}[10]

به عدد کم (im ( f )) نیز درجه f گفته می شود و به صورت مرتبه ( f ) یا بعضی اوقات ρ ( f ) نوشته می شود عدد کم نور (ker ( f )) null بودن f نامیده می شود و به صورت null ( f ) یا ν ( f ) نوشته می شود. اگر V و W متناهی باشند ، بازها انتخاب شده اند و f با ماتریس A نمایش داده می شود ، در این صورت درجه و پوچ بودن f به ترتیب با درجه و پوچ ماتریس A برابر است.

کوکرنل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کوکرنل

یک تغییر ناپذیر ظریف از یک تحول خطی {\ textstyle f: V \ به W}است شرکت هسته ، که به عنوان تعریف

{\ displaystyle \ operatorname {coker} (f): = W / f (V) = W / \ operatorname {im} (f).}

این مفهوم دوگانه هسته است: همانطور که هسته یک فضای فرعی از دامنه است ، هسته هسته نیز یک فضای نصف از هدف است. به طور رسمی ، یک توالی دقیق دارد

{\ displaystyle 0 \ به \ ker (f) \ به V \ به W \ به \ operatorname {coker} (f) \ به 0.}

اینها را می توان بدین ترتیب تفسیر کرد: برای حل یک معادله خطی f ( v ) = w ،

  • هسته فضای است راه حل به همگن معادله F ( V ) = 0، و ابعاد آن تعداد است درجه آزادی در یک راه حل، در صورت وجود؛
  • co-kernel فضای محدودیتهایی است که اگر معادله راه حلی داشته باشد باید برآورده شود و بعد آن تعداد محدودیتهایی است که برای داشتن معادله باید حل شود.

بعد هسته هسته و بعد تصویر (رتبه) به بعد فضای هدف اضافه می شوند. برای ابعاد محدود ، این بدان معناست که بعد فضای ضریب W / f ( V ) بعد فضای هدف منهای بعد تصویر است.

به عنوان یک مثال ساده ، نقشه f را در نظر بگیرید : R 2 → R 2 ، داده شده توسط f ( x ، y ) = (0، y ). سپس برای اینکه یک معادله f ( x ، y ) = ( a ، b ) یک راه حل داشته باشد ، باید a = 0 (یک محدودیت) داشته باشیم ، و در این صورت فضای محلول ( x ، b ) یا معادل آن بیان شده است ، ( 0 ، ب ) + ( x ، 0) ، (یک درجه آزادی). هسته ممکن است به صورت زیرفضا ( x ، 0) < V بیان شود: مقدار x آزادی در یک راه حل است - در حالی که هسته می تواند از طریق نقشه W → R بیان شود ،{\ textstyle (a، b) \ mapsto (a):}با توجه به بردار ( ، ب )، ارزش است انسداد به یک راه حل وجود دارد.

مثالی صورت نامحدود بعدی است که توسط نقشه را فراهم F : R ∞ → R ∞ ، 

{\ textstyle \ چپ \ {a_ {n} \ راست \} \ mapsto \ چپ \ {b_ {n} \ راست \}}با b 1 = 0 و b n + 1 = a n برای n > 0. تصویر آن از تمام توالی های دارای عنصر اول 0 تشکیل شده است و بنابراین کوکرنل آن از کلاس دنباله هایی با عنصر اول یکسان تشکیل شده است. بنابراین ، در حالی که هسته آن دارای بعد 0 است (فقط دنباله صفر را به دنباله صفر ترسیم می کند) ، هسته هسته آن دارای بعد 1 است. از آنجا که دامنه و فضای هدف یکسان هستند ، رتبه و بعد هسته به هم اضافه می شوند به همان مبلغ رتبه و بعد هسته هسته ({\ textstyle \ aleph _ {0} + 0 = \ aleph _ {0} +1}) ، اما در حالت بی نهایت بعدی نمی توان استنباط کرد که هسته و هسته هسته یک اندومورفیسم دارای همان بعد هستند (1 0 0). بدست می آورد وضعیت معکوس برای نقشه را ساعت : R ∞ → R ∞ ،{\ textstyle \ چپ \ {a_ {n} \ راست \} \ mapsto \ چپ \ {c_ {n} \ راست \}}با c n = a n + 1 . تصویر آن کل فضای هدف است و از این رو هسته هسته آن دارای بعد 0 است ، اما از آنجا که تمام توالی هایی را که در آنها فقط اولین عنصر غیر صفر تا دنباله صفر است نقشه برداری می کند ، هسته آن دارای بعد 1 است.

فهرست [ ویرایش ]

برای یک اپراتور خطی با هسته بعدی و هسته هسته ، ممکن است شاخص را به صورت زیر تعریف کنید :

{\ displaystyle \ operatorname {ind} (f): = \ dim (\ ker (f)) - \ dim (\ operatorname {coker} (f))،}

یعنی درجات آزادی منهای تعداد محدودیت ها.

برای تحولی بین فضاهای بردار بعدی متناسب ، این فقط تفاوت dim ( V ) - dim ( W ) ، بر اساس درجه-بطلان است. این نشان می دهد که چقدر راه حل یا محدودیت وجود دارد: اگر نقشه برداری از یک فضای بزرگتر به یک فضای کوچکتر باشد ، نقشه ممکن است به داخل باشد ، و بنابراین حتی بدون محدودیت از درجه آزادی برخوردار خواهد بود. برعکس ، اگر از یک فضای کوچکتر به یک فضای بزرگ تر نقشه برداری شود ، نمی توان نقشه را در آن قرار داد ، بنابراین حتی بدون درجات آزادی نیز محدودیت هایی خواهد داشت.

شاخص یک اپراتور دقیقاً مشخصه اولر مجموعه 2 دوره ای 0 → V → W → 0 است. در تئوری اپراتور ، شاخص اپراتورهای فردهلم مورد مطالعه است ، و نتیجه اصلی آن قضیه شاخص آتیه-خواننده است. . [11]

طبقه بندی های جبری تحولات خطی [ ویرایش ]

هیچ طبقه بندی از نقشه های خطی نمی تواند جامع باشد. لیست ناقص زیر برخی از طبقه بندی های مهم را برشمرده است که نیازی به ساختار اضافی در فضای بردار ندارند.

اجازه دهید V و W نشانگر فاصله های بردار بیش از یک قسمت F و اجازه دهید T : V → W یک نقشه خطی باشد.

تعریف : T گفته می شود تزریقی یا monomorphism اگر هر یک از شرایط معادل زیر صدق کند:

  1. T است یک به یک به عنوان یک نقشه از مجموعه .
  2. ker T = {0 V }
  3. کم نور (ker T ) = 0
  4. T قابل انعطاف است یا از حالت چپ پذیر ، یعنی برای هر فضای برداری U و هر جفت نقشه خطی R : U → V و S : U → V ، معادله TR = TS حاکی از R = S است .
  5. T است چپ معکوس ، است که می گویند وجود دارد یک نقشه خطی وجود دارد S : W → V به طوری که ST است نقشه هویت در V .

تعریف : در صورت صحیح بودن هر یک از شرایط معادل زیر ، T گفته می شود که مصنوعی یا اپیمورفیسم است:

  1. T است بر روی یک نقشه از مجموعه.
  2. coker T = {0 W }
  3. T است حماسه یا راست لغو، است که می گویند، برای هر فضای برداری U و هر جفت از خطی نقشه R : W → U و S : W → U ، معادله RT = ST دلالت R = S .
  4. T است راست معکوس ، است که می گویند وجود دارد یک نقشه خطی وجود دارد S : W → V به طوری که TS است نقشه هویت در W .

تعریف : گفته می شود T اگر هم چپ باشد و هم راست قابل برگشت نباشد ، ایزومورفیسم است. این معادل است به T را که هر دو یک به یک و بر روی (یک پوشا و یکبهیک از مجموعه) و یا همچنین به T را که هر دو حماسه و MONIC، و به همین یک bimorphism .

اگر T : V → V یک اندومورفیسم است ، پس:

  • اگر ، برای برخی از عدد صحیح مثبت n ، تکرار n -th از T ، T n ، به طور یکسان صفر باشد ، گفته می شود که T توان ضعیف دارد .
  • اگر T 2 = T ، آنگاه T گفته می شود که بیکار است
  • اگر T = kI ، جایی که k مقداری مقیاس است ، گفته می شود T یک نقشه تحول مقیاسی یا ضرب مقیاسی است. ماتریس اسکالر را ببینید .

تغییر اساس [ ویرایش ]

مقالات اصلی: مبانی (جبر خطی) و تغییر مبنا

با توجه به یک نقشه خطی که یک اندومورفیسم است که ماتریس آن A است ، در اساس B فضا مختصات بردار [u] را به صورت [v] = A [u] تبدیل می کند. همانطور که بردارها با معکوس B تغییر می کنند (بردارها متنوع هستند ) تغییر شکل معکوس آن [v] = B [v '] است.

جایگزین کردن این در اولین عبارت

{\ displaystyle B \ left [v '\ right] = AB \ left [u' \ right]}

از این رو

{\ displaystyle \ left [v '\ right] = B ^ {- 1} AB \ left [u' \ right] = A '\ left [u' \ right].}

بنابراین ، ماتریس در مبنای جدید A ′ = B -1 AB است ، که B ماتریس مبنای داده شده است.

بنابراین ، گفته می شود که نقشه های خطی اجسام 1-co-1-counter- variant یا نوع (1 ، 1) سنسور هستند .

تداوم [ ویرایش ]

مقالات اصلی: اپراتور خطی پیوسته و نقشه خطی ناپیوسته

یک تغییر شکل خطی بین فضاهای بردار توپولوژیک ، به عنوان مثال فضاهای هنجاردار ، ممکن است پیوسته باشد. اگر دامنه و کد دامنه آن یکسان باشد ، پس یک عملگر خطی مداوم خواهد بود . یک عملگر خطی در یک فضای خطی هنجاردار پیوسته است اگر و فقط در صورت محدود بودن ، به عنوان مثال ، هنگامی که دامنه متناهی است. [12] یک دامنه با اندازه نامحدود ممکن است عملگرهای خطی ناپیوسته داشته باشد .

مثالی از تحول خطی بی حد و مرز ، از این رو ناپیوسته ، ایجاد تمایز در فضای توابع صاف مجهز به هنجار برتر است (یک تابع با مقادیر کوچک می تواند مشتق با مقادیر بزرگ داشته باشد ، در حالی که مشتق 0 0 است). برای یک مثال خاص ، sin ( nx ) / n به 0 همگرا می شود ، اما مشتق آن cos ( nx ) نیست ، بنابراین تمایز در 0 پیوسته نیست (و با تغییر این استدلال ، در هیچ کجا مداوم نیست).

برنامه ها [ ویرایش ]

یک کاربرد خاص از نقشه های خطی برای تبدیل هندسی است ، مانند آنهایی که در گرافیک رایانه انجام می شود ، جایی که ترجمه ، چرخش و مقیاس گذاری اشیا 2 2D یا 3D با استفاده از ماتریس تحول انجام می شود . از نگاشت های خطی نیز به عنوان مکانیزمی برای توصیف تغییر استفاده می شود: به عنوان مثال در حساب با مشتقات مطابقت دارد. یا در نسبیت ، به عنوان وسیله ای برای پیگیری تغییرات محلی فریم های مرجع استفاده می شود.

کاربرد دیگر این تحولات در بهینه سازی کامپایلر کد حلقه تو در تو و موازی سازی تکنیک های کامپایلر است.

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید