مشتق دروغ [ ویرایش ]

مشتق دروغ مشتق دیگری است که کوواریانت است ، اما نباید آن را با مشتق کوواریانت اشتباه گرفت . حتی در صورت عدم وجود تانسور متریک نیز تعریف می شود. مشتق دروغ از یک نوع ( R ، s ) میدان کششی T در امتداد (جریان) یک میدان بردار متغیر X ρ ممکن است به صورت [17] بیان شود

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} ({\ mathcal {L}} _ {X} T) ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} & \\ = X ^ {\ gamma} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ بتا _ {s} ، \ gamma} & - \ ، X ^ {\ alpha _ {1}} {} _ {، \ gamma} T ^ {\ gamma \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r} } {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} - \ cdots -X ^ {\ alpha _ {r}} {} _ {، \ gamma} T ^ {\ alpha _ {1 } \ cdots \ alpha _ {r-1} \ gamma} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ & + \، X ^ {\ gamma} {} _ {، \ beta _ {1}} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ gamma \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} + \ cdots + X ^ {\ gamma} {} _ {، \ beta _ {s}} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ gamma} \ ،. \ end {تراز شده}}}

این مشتق با قاعده محصول مشخص می شود و این واقعیت است که مشتق از میدان بردار ضد متغیر X ρ صفر است.

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} X) ^ {\ rho} = [X، X] ^ {\ rho} = 0 \ ،.}

مشتق دروغ از یک نوع ( r ، s ) میدان تنسور نسبی Λ وزن w در امتداد (جریان) یک میدان بردار متغیر X ρ ممکن است به صورت [18] بیان شود

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} ({\ mathcal {L}} _ {X} \ Lambda) ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1 } \ cdots \ beta _ {s}} & \\ = X ^ {\ gamma} \ Lambda ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s} ، \ gamma} & - \، X ^ {\ alpha _ {1}} {} _ {، \ gamma} \ Lambda ^ {\ gamma \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} - \ cdots -X ^ {\ alpha _ {r}} {} _ {، \ gamma} \ Lambda ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r-1} \ gamma} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ & + \، X ^ {\ gamma} { } _ {، \ beta _ {1}} \ Lambda ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ gamma \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s} } + \ cdots + X ^ {\ gamma} {} _ {، \ beta _ {s}} \ Lambda ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ { 1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ gamma} \\ & + \، wX ^ {\ gamma} {} _ {، \ gamma} \ Lambda ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \ ،. \ end {تراز شده}}}

تانسورهای قابل توجه [ ویرایش ]

دلتا کرونکر [ ویرایش ]

دلتا کرونکر مانند ماتریس هویت است

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} \ دلتا _ {\ بتا} ^ {\ آلفا} \ ، A ^ {\ بتا} & = A ^ {\ alpha} \\\ دلتا _ {\ nu} ^ {\ mu } \ ، B _ {\ mu} & = B _ {\ nu} \ ، \ end {تراز شده}}}

هنگامی که ضرب و قرارداد شود. اجزای δα
βاست که در هر صورت و به صورت یک تانسور ثابت از نوع (1، 1) ، یعنی هویت بسته نرم افزاری مماس بر نقشه برداری هویت از منیفولد پایه ، و غیره اثری بر آن ثابت باشد. [19] آن اثری ابعاد از فضا است. برای مثال ، در فضای زمان چهار بعدی ،

{\ displaystyle \ delta _ {\ rho} ^ {\ rho} = \ delta _ {0} ^ {0} + \ delta _ {1} ^ {1} + \ delta _ {2} ^ {2} + \ دلتا _ {3} ^ {3} = 4.}

دلتا کرونکر یکی از خانواده دلتاهای کرونکر تعمیم یافته است. دلتای کرونکر تعمیم یافته درجه 2 p ممکن است از نظر دلتای کرونکر تعریف شود (یک تعریف مشترک شامل یک ضرب اضافی p ! در سمت راست است):

{\ displaystyle \ delta _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}} ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} = \ delta _ {\ beta _ {1} } ^ {[\ alpha _ {1}} \ cdots \ delta _ {\ beta _ {p}} ^ {\ alpha _ {p}]}}

و به عنوان ضد متقارن بر روی شاخص های p عمل می کند :

{\ displaystyle \ delta _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}} ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} \، A ^ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}} = A ^ {[\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}]}.}

تانسور متریک [ ویرایش ]

تنسور متریک g αβ برای کاهش شاخص ها استفاده می شود و طول هر منحنی فضا مانند را می دهد

{\ displaystyle {\ text {length}} = \ int _ {y_ {1}} ^ {y_ {2}} {\ sqrt {g _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} { d \ gamma}} {\ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ gamma}}}} \، d \ gamma \ ،،}

که در آن γ است هر صاف شدت یکنواخت پارامتر از مسیر. همچنین طول هر منحنی شبیه زمان را نشان می دهد

{\ displaystyle {\ text {duration}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {{\ frac {-1} {c ^ {2}}} g _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ gamma}} {\ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ gamma}}}} \، d \ gamma \ ،،}

که در آن γ هر پارامتر دقیقاً یکنواخت مسیر است. همچنین به عنصر خط مراجعه کنید .

معکوس ماتریس گرم αβ از تانسور متریک دیگر تانسور مهم، مورد استفاده برای بالا بردن شاخص است:

g ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta \ gamma} = \ delta ^ {\ alpha} _ {\ gamma} \ ،.

تانسور انحنای ریمان [ ویرایش ]

اگر این تانسور به این صورت تعریف شود

{\ displaystyle R ^ {\ rho} {} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ nu \ sigma، \ mu} - \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ sigma ، \ nu} + \ Gamma ^ {\ rho} {} _ {\ mu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ nu \ sigma} - \ Gamma ^ {\ rho } {} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ sigma} \ ،،}

سپس آن را به است کموتاتور از مشتق هموردا با خود: [20] [21]

A _ {\ nu؛ \ rho \ sigma} - A _ {\ nu؛ \ sigma \ rho} = A _ {\ beta} R ^ {\ beta} {} _ {\ nu \ rho \ sigma} \ ،،

از آنجا که اتصال Γ α βμ بدون پیچش است ، به این معنی که کشش پیچشی است

{\ displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} - \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ nu \ mu} \،}

محو می شود

این را می توان برای بدست آوردن کموتاتور برای دو مشتق متغیر یک سنسور دلخواه به شرح زیر تعمیم داد:

{\ displaystyle {\ start {تراز شده} & T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}؛ \ gamma \ دلتا } -T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}؛ \ delta \ gamma} \\ = - & R ^ {\ alpha _ {1}} {} _ {\ rho \ gamma \ delta} T ^ {\ rho \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} - \ cdots -R ^ {\ alpha _ {r}} {} _ {\ rho \ gamma \ delta} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r- 1} \ rho} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ {} + {} & R ^ {\ sigma} {} _ {\ beta _ {1} \ gamma \ delta} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ sigma \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} + \ cdots + R ^ {\ sigma } {} _ {\ beta _ {s} \ gamma \ delta} T ^ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ { s-1} \ sigma} \ ، \ end {تراز شده}}}

که اغلب به آنها هویت ریچی گفته می شود . [22]

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Ricci_calculus